魏 超

(西南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 北碚 400715)

1 預備知識

1．1 主要記號

Sn-1表示Rn中的n-1維單位球面．

表示與x方向垂直的超平面．

若ρK(u)是連續(xù)的，則稱K是星體．

特別地，對于每一個u∈Sn-1，都有

1．2 經(jīng)典的Busemann不等式［1］

設K為歐式空間Rn中的對稱凸體(即含有非空內(nèi)點的緊的凸集)，那么函數(shù)

是一個范數(shù)．

1．3 Busemann不等式的一種推廣形式(A．Giannopoulos［2］)

設2≤k≤n-1，E為Rn中的k維余子空間，對任意的z∈E⊥∩Sn-1，定義

此款產(chǎn)品的傳感元件在2～8 kHz頻率范圍內(nèi)提供5 mV/g的輸出，并通過激光焊接密封在一個堅固的、耐刮擦的鈦外殼內(nèi)。該傳感器的總立方體尺寸僅為7.1 mm，質量為1 g，適合在空間受限的測試點進行測試。典型的應用包括環(huán)境應力篩選和在高溫環(huán)境下的NVH測試。

那么函數(shù)

是一個定義在E⊥上的范數(shù)．

相交體IK首先由Lutwak［3］定義和研究，其定義由下式給出

相交體在解決Busemann-Petty問題當中起到了關鍵作用．

廣義相交體Ip，kK按照下式定義：

θ∈ Sn-1．

其中，〈x，θ〉表示向量x與θ的普通內(nèi)積，E(θ)按照(6)式定義．

2 主要結果

定理1 設K是Rn中的對稱凸體，2≤k≤n-1，E為Rn中的k維余子空間，對任意的z∈E⊥∩ Sn-1，定義

那么函數(shù)

是一個定義在E⊥上的范數(shù)．

本文的另一個目的就是定義一種特殊的新的廣義相交體．設K是Rn中的對稱凸體，2≤k≤n-1，E為Rn中的k維余子空間，E(θ)按照(6)式定義．我們按下式定義一種特殊的新的廣義相交體：

根據(jù)定理 1，顯然 I0，2K=IK．

本文的另一個結果就是給出這一特殊的廣義相交體的對偶Brunn-Minkowski不等式．

定理2 設K、L是Rn中的對稱凸體，那么

等號成立當且僅當K和L位似．

3 定理1的證明

根據(jù)Zhang的內(nèi)容，我們知道，當考慮一個定義在支持函數(shù)上的函數(shù) F(hK)=V(K1，…，Kn-1，K)時，利用混合體積的單調(diào)性，當f≥0時，有下式成立：

定理1的證明 在(13)式中令f(u)=1，dμ =dx(x∈K∩E(z))，則有

這樣，(9)式便可寫成：

根據(jù)預備知識中提到的Busemann不等式的一種推廣形式，我們得到：(9)式是一個定義在E⊥上的范數(shù)．至此，定理1證畢．

4 特殊的廣義相交體對偶Brunn-Minkowski不等式

結合定理1，我們從另一個角度定義一種特殊的新的廣義相交體I0，2K．

定義1 設K是Rn中的對稱凸體，2≤k≤n-1，E為Rn中的k維余子空間，E(θ)按照(6)式定義．那么I0，2K定義為：

定理2的證明 對于θ∈Sn-1，由于

由(4)式，有

利用Minkowski積分不等式，我們有

由(19)式和Minkowski積分不等式，有

而我們知道

這樣，我們可知

根據(jù)Minkowski積分不等式，上述等號成立當且僅當ρK(·)與ρL(·)成比例，即K與L位似．這樣，定理2證畢．

［1］Busemann H．Volume in terms of concurrent crosssections［J］．Pacific J Math，1953(3)：1-12．

［2］Giannopoulos A，Milman VD．Extremal problems and isotropic positions of convex bodies［J］．Israel J Math，2000，117：29-60．

［3］Lutwak E．Intersection bodies and dual mixed volumes［J］．Adv Math，1988，71：232-261．