樊迎迎，劉卓夫，湯泰青

（哈爾濱理工大學 通信工程系，黑龍江 哈爾濱 150080）

Hilbert-Huang算法研究

樊迎迎，劉卓夫，湯泰青

（哈爾濱理工大學 通信工程系，黑龍江 哈爾濱 150080）

非線性、非平穩(wěn)信號處理一直是熱點問題。Hilbert-Huang變換是一種新的信號處理方法，它通過經驗模態(tài)分解EMD算法和Hilbert變換能夠得到信號的時間-頻率-能量分布特征。但其在應用中，處理結果精確度不高?；谔岣逪ilbert-Huang變換的處理結果的精確度，提出了一些改進方法，通過MATLAB進行仿真，驗證了改進方法的可行性及有效性。

Hilbert-Huang變換；經驗模態(tài)分解；固有模態(tài)函數(shù)；曲線擬合

生活中存在很多非線性、非平穩(wěn)信號需要我們對其進行處理分析，而傳統(tǒng)的信號分析如傅立葉變換和小波分析都建立在線性、高斯性和平穩(wěn)性的基礎上[1]，因此它們不適合用于非平穩(wěn)信號。文中介紹的希爾伯特-黃變換 （Hilbert-Huang Transform，簡稱HHT）是一種全新的信號處理方法，對于處理非線性、非平穩(wěn)信號有清晰的物理意義，能夠得到信號的時間-頻率-能量分布特征，且是一種自適應性的信號處理方法[2]。

1 HHT基本原理

1.1 EMD基本原理方法

EMD的基本原理和算法描述如下。

1.1.1 本征模態(tài)函數(shù)（IMF）定義

本征模態(tài)函數(shù)必須滿足以下2個條件[3]:

1）在全局特性上看，整個數(shù)據(jù)的極值點數(shù)和過零點數(shù)相差不能超過一個；

2）在局部特性上看，任意數(shù)據(jù)點處由局部極大值點定義的包絡線和局部極小值定義的包絡線的均值都為0。

1.1.2 經驗模態(tài)分解方法

經驗模態(tài)分解（EMD）：假設任何信號都可以由一系列的IMF所組成，這些IMF表征著信號的內在波動特征。EMD過程就是將非線性不平穩(wěn)信號由高頻到低頻分解成若干個IMF的過程，并且每個IMF的頻率分辨率也是隨著原始信號的變化而變化，是一種自適應的信號處理方法。

對信號x（t），其信號分解過程[4]為：

1）首先求出序列x（t）所有的極大值點和極小值點，再利用三次樣條曲線進行插值擬合，得到數(shù)據(jù)的上、下包絡線，并計算出上、下包絡線的均值m1，從而求出原始數(shù)據(jù)序列x（t）和包絡均值的差值h1=x（t）-m1。

2）判斷h1是不是IMF，如果不是則對其重復上述過程，直到第k次的h1k為IMF，令c1=k1k，c1為從原始數(shù)據(jù)中提取出來的第1個IMF，包括信號的最高頻率成分。

3）求出原數(shù)據(jù)x（t）與第 1 個 IMFc1的差值r1=x（t）-c1，將r1作為新數(shù)據(jù)序列重復上述過程，可以遞推得到其他IMF，直至趨勢分量rn單調或只有一個極值。

4）原數(shù)據(jù)序列最終可分解為：

其中rn為趨勢分量，為單調函數(shù)或均值函數(shù)，代表信號的平穩(wěn)趨勢；c1，c2，…，cn為所得到的各個IMF分量，包含了信號由高頻到低頻段的不同成分。

1.2 HHT時頻分析方法

HHT處理非平穩(wěn)信號的過程包含了上述EMD分解過程，并且進一步將由EMD分解得到的每一個IMF進行Hilbert變換，從而形成原始信號的Hilbert譜。具體如下：

圖1 由EMD法分解的仿真信號的IMFFig.1 IMF of the simulated signal through empirical mode decomposition

式中，Re表示取實部。

式（3）中每個分量的幅值和相位都是隨時間變化的時間函數(shù)。式（3）的右部稱為信號x（t）的Hilbert時頻表示，記為：

應用式（4）可以將信號的時間-頻率-幅值的三維關系表達出來。

圖2 仿真信號的Hilbert譜圖Fig.2 Hilbert spectrum of the simulated signal

上述EMD分解和對應的Hilbert變換統(tǒng)稱為Hilbert-Huang變換。

2 HHT的問題及改進

2.1 擬合方法的改進

從前文介紹的EMD方法認識到，擬合方法對求取包絡線有著重要影響，通過極值點擬合上下包絡線，進而求均值線的步驟是分解的基礎，也是整個HHT的起始，這個過程決定著HHT分析結果的可信程度。

HHT的發(fā)明者Huang使用了三次樣條擬合法進行包絡線擬合，但在實驗過程中發(fā)現(xiàn)三次樣條擬合法雖然光滑性很好[5]，但容易造成過沖和欠沖現(xiàn)象，如圖3所示。為了克服三次樣條擬合的缺點，我們需要選擇其他擬合方法來生成上、下包絡線，B樣條擬合函數(shù)有許多樣條函數(shù)沒有的優(yōu)點[4]，如移動某個節(jié)點只會影響臨近的幾段曲線，便于對生成的曲線進行局部修改，可以靈活地構造成任意形狀的曲線等。因而應用B樣條擬合法，符合EMD方法的初衷：非線性信號的局部化處理。

圖3 三次樣條擬合過沖或欠沖的表現(xiàn)Fig.3 Appearance of overshoot and undershoot of the three times spline curve fitting

2.2 邊界效應

HHT的核心是EMD。每個IMF都需要經多次篩選來實現(xiàn)，而每次篩選必須找到局部極值點構成的包絡線并用插值法來計算出上下包絡的平均值。因為信號端點一般不會是局部極值點，所以必須對信號進行外延，以確保包絡線能夠抵達端點。包絡線外延不準確會引起誤差，而這種誤差會隨著IMF分解個數(shù)的增加而向內傳播，繼而污染整個序列，使得最后的分解結果失去意義。盡管Huang宣稱解決了邊界問題，但他同時也指出，EMD方法面臨的邊界問題還沒完全解決，因此解決邊界問題對于HHT的理論研究具有重要意義。

目前主要的邊界處理方法有：線性外拓法；多項式擬合法；神經網絡預測方法及端點鏡像方法。

胡維平[6]對這些方法做了比較和總結：線性外拓法盡管比較粗糙，但它在處理隨機信號和漸變準周期信號時優(yōu)于多項式擬合法，鑒于該算法的簡單高效，可以在實時處理的場合得到應用；多項式延拓在處理準周期信號時比較出色，但在隨機信號上相對較差，這說明多項式法的EMD并不適用于無規(guī)律的信號處理；神經網絡算法由于其預測信號序列方法的局限性，預測的準確度與預測的長度成反比，以及對隨機信號準確預測的困難性，因此無論是處理隨機信號還是漸變準周期信號都與鏡像算法有一定的差距；而鏡像法無論在隨機信號還是在準周期信號中都以較明顯的優(yōu)勢成為首選。因為對于長短周期信號來說，鏡像法基本上都能夠很好的保留邊界上的信號特征，在準周期信號和隨機信號的處理中都具有很好的作用。

3 結 論

文中基于提高Hilbert-Huang變換的處理結果精度，提出了對EMD算法的改進，通過MATLAB仿真比較各種算法，找到了最合適的算法，解決了Hilbert-Huang算法處理精確度不高的問題。

[1]劉魯源，李宗勃.從傅里葉變換到小波變換[J].自動化與儀表，2000（6）:18-23.

LIU Lu-yuan，LI Zong-bo.From Fourier transform to wavelet[J].Automation and Instrument，2000（6）:18-23.

[2]Huang N E，Shen Z，Long S R，et al.The empirical mode decomposition and Hilbert spectrum for nonlinear and nonstationary time series analysis[J].Pro Royal Society London A，1998：903-905.

[3]楊世錫，吳勁松，吳昭同.基于高次樣條插值的經驗模態(tài)分解方法研究[J].浙江大學學報，2004，38（4）:267-270.

YANG Shi-xi，WU Jin-song，WU Zhao-tong.Research on empirical mode decomposition based on high times spline fitting[J].Zhejiang University Journal，2004，38（4）:267-270.

[4]Huang N E，WU M L，QU W D，et al.Applications of Hilbert-Huang transform to non-stationary financial time series analysis[J].Applied Stochastic Models in Business and Industry,2003，19（3）:245-268.

[5]宋松.B樣條插值曲線的快速算法 [J].系統(tǒng)工程與電子技術，1995（12）:44-52.

SONG Song.The quick algorithm of B spline[J].System Engineering and Electronic Techlogy，1995（12）:44-52.

[6]胡維平，莫家玲，龔英姬，等.經驗模態(tài)分解中多種邊界處理方法的比較研究 [J].電子與信息學報，2007，29（6）:1394-1398.

HU Wei-ping，MO Jia-ling，GONG Ying-ji，et al.Research on the comparison among the several boundary processing method of empirical mode decomposition[J].Electronic and Information Journal，2007，29（6）:1394-1398.

Research on Hilbert-Huang transform

FAN Ying-ying， LIU Zhuo-fu， TANG Tai-qing
（Department of Communication Engineering，Harbin University of Science and Technology，Harbin150080，China）

Nonlinear and non-stationary signal processing has been always a hot issue.Hilbert-Huang transform is a new signal processing method，which can get the time-frequency-energy distribution characteristics of the signals through the empirical mode decomposition （EMD） and Hilbert transform.But when it is in application， the results gained are not very precise，some improvements are proposed，and it proved feasibility and useful through MATLAB simulation.

Hilbert-Huang transform；empirical mode decomposition；intrinsic mode function；curve fitting

TN911.7

A

1674－6236（2012）06-0023-03

2011-12-31稿件編號：201112169

樊迎迎（1986—），女，黑龍江雞西人，碩士。研究方向：信號與信息處理。