張文照，肖昌潤，劉瑞杰

（海軍工程大學(xué)，武漢 430033）

1 引 言

參數(shù)辨識結(jié)合水下自航模試驗技術(shù)，在獲得潛艇耦合水動力系數(shù)和研究大機(jī)動條件下的潛艇操縱性有著獨特的優(yōu)勢。由于自航模處于潛航狀態(tài)具有光學(xué)不可觀測性，因而水聲定位技術(shù)是獲取自航模水下運(yùn)動軌跡的唯一方法[1]。該方法的測量誤差與定位站的幾何布置有著密切的關(guān)系，在一定的約束條件下，如何獲取一個精度相對較高的定位站布置是一項關(guān)鍵的技術(shù)，對于這個問題的研究目前在國內(nèi)開展不多，主要是因為優(yōu)化變量數(shù)目多，目標(biāo)函數(shù)不易表達(dá)。本文通過遺傳算法，嘗試優(yōu)化了不同模型下水聽器的布陣形式。

2 試驗中實際問題及優(yōu)化模型的提出

由于自航模試驗屬于外場試驗，因而在試驗中，水聽器的布放會受到自然場地的限制。本文所討論的試驗場自然場地如圖1所示。綜合考慮試驗條件的限制與試驗精度的要求，將試驗中實際的水聽器布放方案抽象為如下數(shù)學(xué)模型（如圖2所示，圖中線段AB代表水壩，C點代表試驗基地，斜線部分為由試驗條件限制決定的水下水聽器布放區(qū)域）:方案一:AB之間布置2個水聽器，C點處布置1個水聽器，水下布置1個水聽器；方案二:AB之間布置2個水聽器，水下布置2個水聽器；方案三:AB之間與C點各布置一個水聽器，水下布置2個水聽器。由于水下水聽器位置的最優(yōu)解可能出現(xiàn)在邊界附近，為了在優(yōu)化算法中能方便地處理邊界條件，因此以C點為極點，岸邊方向為極軸，建立柱坐標(biāo)系，將水下水聽器在該坐標(biāo)系中的極徑ρ和極角θ作為優(yōu)化變量。該數(shù)學(xué)模型的具體表達(dá)如表1所示。

圖1 試驗場實際情況Fig.1 Environment of test field

圖2 抽象出來的數(shù)學(xué)模型Fig.2 The math model

表1 優(yōu)化模型數(shù)學(xué)表達(dá)Tab.1 Mathematical expression of optimization models

其中，當(dāng)在水底布放2個水聽器時，這兩者是等效的，為了出現(xiàn)避免出現(xiàn)重復(fù)解，人為的加上邊界條件令其中一個的y值大于另一個。另外根據(jù)已有的研究，同步式水聲定位的幾何精度和目標(biāo)位置距到基站位置的矢量兩兩之間的夾角相關(guān)，總體而言，夾角越大則精度越高，根據(jù)幾何上得大角對大邊的定理，也就是各基站之間的連線越長則定位精度越高，因此對于水壩上布置兩個水聽器的情況，人為地將其布置在A、B兩點。

3 基于GDOP指數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的提出

它反映了給定陣型空間各點的定位誤差隨基站幾何關(guān)系的水聽器測距誤差放大系數(shù)。對于給定的定位問題，如果將定位區(qū)域均勻劃分一定數(shù)量的網(wǎng)格，設(shè)定某一誤差限σ0，統(tǒng)計出區(qū)域中所有GDOP值小于σ0的網(wǎng)格節(jié)點的個數(shù)，即可以評判出這種水聽器布陣方式的優(yōu)劣，定義這些點個數(shù)與總的網(wǎng)格數(shù)的比值為陣型性能指數(shù)C。為了驗證陣型性能指數(shù)用來衡量陣型性能的有效性，可以選擇一個已知最優(yōu)陣型和另外2個對比陣型分別計算它們的陣型指數(shù)，并比較結(jié)果。由于無約束條件下，當(dāng)4個水聽器的測距誤差相同的情況下，4點定位的最優(yōu)陣型為正四面體，因此構(gòu)造尺寸為200×173×163的計算域，以計算域的一個邊構(gòu)造出一個正四面體，使該四面體的一個面與立方體的下底重合，將水聽器布置在四面體的四個頂點上作為陣型1。在陣型1的基礎(chǔ)上移動四面體底面所對的頂點處的水聽器來構(gòu)造陣型2和陣型3（見圖3），各水聽器的誤差都設(shè)置為1，則平均誤差σm=1，設(shè)定誤差限為5σm，10σm和15σm，分別計算不同的陣型性能指數(shù)，結(jié)果如表2所示。

圖3 用于驗證的三個特定陣型Fig.3 Three specific arrangements for validation

表2 不同陣型的陣型指數(shù)Fig.2 Arrangement Index for different arrays

由已知理論[2]陣型1是最優(yōu)的，計算結(jié)果符合這一結(jié)論，同時減小誤差限可以提高最優(yōu)陣型與其他陣型之間陣型性能指數(shù)的差異，更利于優(yōu)選出最優(yōu)陣型。本文中的計算選擇誤差限為5σm。

實際問題中因為水下布放的水聽器的位置不能通過精度相對較高的GPS定位來得出，因此其測距精度要比岸邊布置的水聽器差一些，通過試驗中的標(biāo)定，設(shè)定計算中岸邊水聽器的測距精度誤差σ=0.01 m，水下水聽器的測距精度為σ=0.03 m。

綜上所述，本文的優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)可以描述為:

其中Xi為定位水聽器位置坐標(biāo)，xi為網(wǎng)格節(jié)點坐標(biāo)，F(xiàn)（xi）=0為邊界條件，count為計數(shù)函數(shù)。

4 本文采用遺傳算法的建立

遺傳算法是以生物進(jìn)化理論為基礎(chǔ)，并結(jié)合計算機(jī)的快速迭代技術(shù)而發(fā)展起來的全局搜索優(yōu)化算法；它顯著的優(yōu)點是優(yōu)化的對象無嚴(yán)格的解析式要求，同時也適合于各種變量形式特別是離散變量，并且能優(yōu)化得到全局最優(yōu)解。經(jīng)過若干代的選種、雜交、變異、繁殖操作后，便可得到較優(yōu)良的改進(jìn)解[3]。

4.1 優(yōu)化問題特點分析

水聽器布陣位置的優(yōu)化實際上是在一定的空間區(qū)域里探索點的坐標(biāo)的過程。為了方便最優(yōu)解的探索過程，因而選用實值種群，種群中每個個體由優(yōu)化變量實際取值組成，其重組過程采用中間重組策略，其物理意義為從選定交叉的兩個父代點所組成的扇形區(qū)域里隨機(jī)產(chǎn)生兩個子代點（參見圖4）。

為了防止優(yōu)化結(jié)果收斂于局部極值，變異的加入也是很重要的，對于實值種群的變異，其物理意義為在變異點附近產(chǎn)生一個新的點（參見圖5）。

圖4 實種群的重組Fig.4 Real population’s recombination

圖5 實種群的變異Fig.5 Real population’s mutation

本文采用了精英保留政策，第一步選擇90%的個體參與新的個體的產(chǎn)生（即代溝為0.9），第二步，對選擇出的個體實施交叉，變異運(yùn)算；第三步，將父代中前10%的最優(yōu)的個體插入到上步所產(chǎn)生的種群中，形成子代個體。上述操作過程可以通過以下的偽代碼予以描述:

4.2 邊界條件的處理

對于優(yōu)化模型中的幾何邊界，本文采用懲罰函數(shù)的方法，即如果種群里點的坐標(biāo)出現(xiàn)x<30或者y<30中的任何一種情況，目標(biāo)函數(shù)值則取0。對于為了避免出現(xiàn)重復(fù)解而人為設(shè)定的條件，則在每執(zhí)行一步遺傳運(yùn)算的同時加入判斷環(huán)節(jié)，即判斷如果第一個點的極徑小于第二個點那么就將兩者易位。

5 三種模型的優(yōu)化結(jié)果

5.1 優(yōu)化模型1的優(yōu)化與遺傳算法的驗證

對于優(yōu)化模型Ⅰ，可以將水下水聽器要布放的平面區(qū)域離散化，求出離散后各網(wǎng)格點所對應(yīng)定位陣型的陣型指數(shù)，在其中尋找陣型指數(shù)最大的一個點，從而近似得到優(yōu)化模型Ⅰ所對應(yīng)問題的最優(yōu)解（如圖6所示），并且離散網(wǎng)格劃分得越細(xì)，通過這種方法得到的數(shù)值最優(yōu)解越接近真實解。

如果將上述方法得出的最優(yōu)解與通過遺傳算法得出的最優(yōu)解予以比較的話，即可以驗證遺傳算法的有效性。經(jīng)過數(shù)值模擬，可以得到模型Ⅰ問題最優(yōu)點坐標(biāo)為（182.75，79.45），最佳的陣型系數(shù)為0.1656，通過遺傳算法得到的最優(yōu)點為（177，78.20），最佳陣型系數(shù)為0.1659，最佳布陣型式的俯視圖如圖7所示，可以分析出，數(shù)值模擬和優(yōu)化的結(jié)果不同的原因是數(shù)值模擬的網(wǎng)格節(jié)點不夠精細(xì)，最優(yōu)點與網(wǎng)格節(jié)點不重合。同時也可以得出結(jié)論，這種遺傳算法的優(yōu)化程序在優(yōu)化水聽器布陣型式的問題上是適用的。

圖6 優(yōu)化模型Ⅰ的數(shù)值模擬Fig.6 Numerical simulation for optimization modelⅠ

圖7 優(yōu)化模型Ⅰ遺傳算法計算結(jié)果Fig.7 GA’s result for optimization modelⅠ

5.2 優(yōu)化模型Ⅱ、Ⅲ的優(yōu)化與結(jié)果分析

模型Ⅱ、Ⅲ的優(yōu)化結(jié)果見表3。

表3 模型Ⅱ、Ⅲ遺傳算法優(yōu)化結(jié)果Tab.3 GA’s result for optimization modelsⅡ andⅢ

模型布陣型式的俯視圖參見圖8。圖中，A，B點為岸邊布置的水聽器，他們之間的連線簡稱為岸邊基線，C，D點為水下水聽器布置位置在水平面上的投影，O點為定位區(qū)域的中心點，虛線為岸邊兩水聽器之間連線的中垂線（為方便敘述，以下簡稱基線中垂線），雙點劃線為過O點與上述中垂線平行的直線（為方便敘述，以下簡稱中心中垂線）。下面就其結(jié)果予以分析。

從結(jié)果可以看出，十字陣為最佳的定位陣型，該十字陣由岸邊兩水聽器之間連線為一邊，以水下水聽器連線為另一邊交叉而成，這與目前研究文獻(xiàn)中所述的一致。同時，水下水聽器應(yīng)該布置在兩個岸基水聽器的中垂線附近，但由于要考慮整體區(qū)域的定位效果，它們應(yīng)當(dāng)向中心中垂線偏置，其中一個距離岸邊較近，出現(xiàn)在邊界上，另外一個則需要布置在距離岸邊基線200 m（這個距離應(yīng)該是由約束條件和水聽器定位精度決定的）附近，對于模型Ⅲ，D最遠(yuǎn)距離岸邊基線只能達(dá)到161.26 m，因此D點出現(xiàn)在邊界上。

圖8 優(yōu)化模型Ⅱ、Ⅲ遺傳算法計算結(jié)果Fig.8 GA’s result for optimization modelⅡ andⅢ

5.3 模型之間互相比較及分析

由于模型Ⅰ與模型Ⅱ、Ⅲ的水聽器平均定位精度不同，不能直接予以比較，因此設(shè)定模型Ⅰ的截止誤差與模型Ⅱ、Ⅲ相同重新計算其陣型指數(shù)。結(jié)果如下表4所示。

表4 設(shè)定截止誤差相同后最優(yōu)陣型的陣型指數(shù)Tab.4 Arrangement Index of three optimum arrays after adjusting limitation error

可以看出，水下布置2個水聽器比水下布置1個水聽器而言具有較大優(yōu)勢。模型Ⅲ較模型Ⅱ來說，由于其岸邊基線長度較大，因而定位精度精確不少。通過數(shù)值模擬可以得到3種模型的GDOP空間分布切面圖，從中可以看出，對于模型Ⅲ的布置方式，空間中各點的定位精度都較高，這與陣型指數(shù)所描述的也是一致的（如圖9所示）。

圖9 三種模型最優(yōu)布陣的GDOP分布切片圖Fig.9 GDOP slice graph for three optimum array

6 結(jié) 論

通過本文的研究，可以得出如下結(jié)論:

（1）建立一種優(yōu)化水聽器布陣的算法，并且通過一個特殊的算例予以驗證。

（2）通過對計算結(jié)果的分析，說明了4個水聽器定位的情況，十字陣為最佳布陣型式，其中岸邊基線的長度對定位精度的影響較大，基線越長定位精度越高。

（3）在今后的布陣工作中可以采取如下方法:首先在岸邊選取距離盡量遠(yuǎn)的點布置兩個水聽器作為岸邊基線，之后在該基線的中垂線附近布放水下水聽器。具體位置可以通過遺傳算法算出。

（4）可以看出4點定位的精度受岸邊基線長度和水下水聽器距岸邊基線距離影響較大，其中的關(guān)系可以進(jìn)一步研究。

[1]王 波,畢 毅.水聲式自航模運(yùn)動軌跡實時測量系統(tǒng)[J].船舶工程,2003(2):13-17.

[2]孫仲康.定位導(dǎo)航與制導(dǎo)[M].北京:國防工業(yè)出版社,1987.

[3]雷英杰.MATLAB遺傳算法工具箱及應(yīng)用[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2005.