張文照，肖昌潤(rùn)，劉瑞杰

（海軍工程大學(xué)，武漢 430033）

1 引 言

參數(shù)辨識(shí)結(jié)合水下自航模試驗(yàn)技術(shù)，在獲得潛艇耦合水動(dòng)力系數(shù)和研究大機(jī)動(dòng)條件下的潛艇操縱性有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。由于自航模處于潛航狀態(tài)具有光學(xué)不可觀測(cè)性，因而水聲定位技術(shù)是獲取自航模水下運(yùn)動(dòng)軌跡的唯一方法[1]。該方法的測(cè)量誤差與定位站的幾何布置有著密切的關(guān)系，在一定的約束條件下，如何獲取一個(gè)精度相對(duì)較高的定位站布置是一項(xiàng)關(guān)鍵的技術(shù)，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的研究目前在國(guó)內(nèi)開(kāi)展不多，主要是因?yàn)閮?yōu)化變量數(shù)目多，目標(biāo)函數(shù)不易表達(dá)。本文通過(guò)遺傳算法，嘗試優(yōu)化了不同模型下水聽(tīng)器的布陣形式。

2 試驗(yàn)中實(shí)際問(wèn)題及優(yōu)化模型的提出

由于自航模試驗(yàn)屬于外場(chǎng)試驗(yàn)，因而在試驗(yàn)中，水聽(tīng)器的布放會(huì)受到自然場(chǎng)地的限制。本文所討論的試驗(yàn)場(chǎng)自然場(chǎng)地如圖1所示。綜合考慮試驗(yàn)條件的限制與試驗(yàn)精度的要求，將試驗(yàn)中實(shí)際的水聽(tīng)器布放方案抽象為如下數(shù)學(xué)模型（如圖2所示，圖中線段AB代表水壩，C點(diǎn)代表試驗(yàn)基地，斜線部分為由試驗(yàn)條件限制決定的水下水聽(tīng)器布放區(qū)域）:方案一:AB之間布置2個(gè)水聽(tīng)器，C點(diǎn)處布置1個(gè)水聽(tīng)器，水下布置1個(gè)水聽(tīng)器；方案二:AB之間布置2個(gè)水聽(tīng)器，水下布置2個(gè)水聽(tīng)器；方案三:AB之間與C點(diǎn)各布置一個(gè)水聽(tīng)器，水下布置2個(gè)水聽(tīng)器。由于水下水聽(tīng)器位置的最優(yōu)解可能出現(xiàn)在邊界附近，為了在優(yōu)化算法中能方便地處理邊界條件，因此以C點(diǎn)為極點(diǎn)，岸邊方向?yàn)闃O軸，建立柱坐標(biāo)系，將水下水聽(tīng)器在該坐標(biāo)系中的極徑ρ和極角θ作為優(yōu)化變量。該數(shù)學(xué)模型的具體表達(dá)如表1所示。

圖1 試驗(yàn)場(chǎng)實(shí)際情況Fig.1 Environment of test field

圖2 抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型Fig.2 The math model

表1 優(yōu)化模型數(shù)學(xué)表達(dá)Tab.1 Mathematical expression of optimization models

其中，當(dāng)在水底布放2個(gè)水聽(tīng)器時(shí)，這兩者是等效的，為了出現(xiàn)避免出現(xiàn)重復(fù)解，人為的加上邊界條件令其中一個(gè)的y值大于另一個(gè)。另外根據(jù)已有的研究，同步式水聲定位的幾何精度和目標(biāo)位置距到基站位置的矢量?jī)蓛芍g的夾角相關(guān)，總體而言，夾角越大則精度越高，根據(jù)幾何上得大角對(duì)大邊的定理，也就是各基站之間的連線越長(zhǎng)則定位精度越高，因此對(duì)于水壩上布置兩個(gè)水聽(tīng)器的情況，人為地將其布置在A、B兩點(diǎn)。

3 基于GDOP指數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的提出

它反映了給定陣型空間各點(diǎn)的定位誤差隨基站幾何關(guān)系的水聽(tīng)器測(cè)距誤差放大系數(shù)。對(duì)于給定的定位問(wèn)題，如果將定位區(qū)域均勻劃分一定數(shù)量的網(wǎng)格，設(shè)定某一誤差限σ0，統(tǒng)計(jì)出區(qū)域中所有GDOP值小于σ0的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可以評(píng)判出這種水聽(tīng)器布陣方式的優(yōu)劣，定義這些點(diǎn)個(gè)數(shù)與總的網(wǎng)格數(shù)的比值為陣型性能指數(shù)C。為了驗(yàn)證陣型性能指數(shù)用來(lái)衡量陣型性能的有效性，可以選擇一個(gè)已知最優(yōu)陣型和另外2個(gè)對(duì)比陣型分別計(jì)算它們的陣型指數(shù)，并比較結(jié)果。由于無(wú)約束條件下，當(dāng)4個(gè)水聽(tīng)器的測(cè)距誤差相同的情況下，4點(diǎn)定位的最優(yōu)陣型為正四面體，因此構(gòu)造尺寸為200×173×163的計(jì)算域，以計(jì)算域的一個(gè)邊構(gòu)造出一個(gè)正四面體，使該四面體的一個(gè)面與立方體的下底重合，將水聽(tīng)器布置在四面體的四個(gè)頂點(diǎn)上作為陣型1。在陣型1的基礎(chǔ)上移動(dòng)四面體底面所對(duì)的頂點(diǎn)處的水聽(tīng)器來(lái)構(gòu)造陣型2和陣型3（見(jiàn)圖3），各水聽(tīng)器的誤差都設(shè)置為1，則平均誤差σm=1，設(shè)定誤差限為5σm，10σm和15σm，分別計(jì)算不同的陣型性能指數(shù)，結(jié)果如表2所示。

圖3 用于驗(yàn)證的三個(gè)特定陣型Fig.3 Three specific arrangements for validation

表2 不同陣型的陣型指數(shù)Fig.2 Arrangement Index for different arrays

由已知理論[2]陣型1是最優(yōu)的，計(jì)算結(jié)果符合這一結(jié)論，同時(shí)減小誤差限可以提高最優(yōu)陣型與其他陣型之間陣型性能指數(shù)的差異，更利于優(yōu)選出最優(yōu)陣型。本文中的計(jì)算選擇誤差限為5σm。

實(shí)際問(wèn)題中因?yàn)樗虏挤诺乃?tīng)器的位置不能通過(guò)精度相對(duì)較高的GPS定位來(lái)得出，因此其測(cè)距精度要比岸邊布置的水聽(tīng)器差一些，通過(guò)試驗(yàn)中的標(biāo)定，設(shè)定計(jì)算中岸邊水聽(tīng)器的測(cè)距精度誤差σ=0.01 m，水下水聽(tīng)器的測(cè)距精度為σ=0.03 m。

綜上所述，本文的優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)可以描述為:

其中Xi為定位水聽(tīng)器位置坐標(biāo)，xi為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，F(xiàn)（xi）=0為邊界條件，count為計(jì)數(shù)函數(shù)。

4 本文采用遺傳算法的建立

遺傳算法是以生物進(jìn)化理論為基礎(chǔ)，并結(jié)合計(jì)算機(jī)的快速迭代技術(shù)而發(fā)展起來(lái)的全局搜索優(yōu)化算法；它顯著的優(yōu)點(diǎn)是優(yōu)化的對(duì)象無(wú)嚴(yán)格的解析式要求，同時(shí)也適合于各種變量形式特別是離散變量，并且能優(yōu)化得到全局最優(yōu)解。經(jīng)過(guò)若干代的選種、雜交、變異、繁殖操作后，便可得到較優(yōu)良的改進(jìn)解[3]。

4.1 優(yōu)化問(wèn)題特點(diǎn)分析

水聽(tīng)器布陣位置的優(yōu)化實(shí)際上是在一定的空間區(qū)域里探索點(diǎn)的坐標(biāo)的過(guò)程。為了方便最優(yōu)解的探索過(guò)程，因而選用實(shí)值種群，種群中每個(gè)個(gè)體由優(yōu)化變量實(shí)際取值組成，其重組過(guò)程采用中間重組策略，其物理意義為從選定交叉的兩個(gè)父代點(diǎn)所組成的扇形區(qū)域里隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)子代點(diǎn)（參見(jiàn)圖4）。

為了防止優(yōu)化結(jié)果收斂于局部極值，變異的加入也是很重要的，對(duì)于實(shí)值種群的變異，其物理意義為在變異點(diǎn)附近產(chǎn)生一個(gè)新的點(diǎn)（參見(jiàn)圖5）。

圖4 實(shí)種群的重組Fig.4 Real population’s recombination

圖5 實(shí)種群的變異Fig.5 Real population’s mutation

本文采用了精英保留政策，第一步選擇90%的個(gè)體參與新的個(gè)體的產(chǎn)生（即代溝為0.9），第二步，對(duì)選擇出的個(gè)體實(shí)施交叉，變異運(yùn)算；第三步，將父代中前10%的最優(yōu)的個(gè)體插入到上步所產(chǎn)生的種群中，形成子代個(gè)體。上述操作過(guò)程可以通過(guò)以下的偽代碼予以描述:

4.2 邊界條件的處理

對(duì)于優(yōu)化模型中的幾何邊界，本文采用懲罰函數(shù)的方法，即如果種群里點(diǎn)的坐標(biāo)出現(xiàn)x<30或者y<30中的任何一種情況，目標(biāo)函數(shù)值則取0。對(duì)于為了避免出現(xiàn)重復(fù)解而人為設(shè)定的條件，則在每執(zhí)行一步遺傳運(yùn)算的同時(shí)加入判斷環(huán)節(jié)，即判斷如果第一個(gè)點(diǎn)的極徑小于第二個(gè)點(diǎn)那么就將兩者易位。

5 三種模型的優(yōu)化結(jié)果

5.1 優(yōu)化模型1的優(yōu)化與遺傳算法的驗(yàn)證

對(duì)于優(yōu)化模型Ⅰ，可以將水下水聽(tīng)器要布放的平面區(qū)域離散化，求出離散后各網(wǎng)格點(diǎn)所對(duì)應(yīng)定位陣型的陣型指數(shù)，在其中尋找陣型指數(shù)最大的一個(gè)點(diǎn)，從而近似得到優(yōu)化模型Ⅰ所對(duì)應(yīng)問(wèn)題的最優(yōu)解（如圖6所示），并且離散網(wǎng)格劃分得越細(xì)，通過(guò)這種方法得到的數(shù)值最優(yōu)解越接近真實(shí)解。

如果將上述方法得出的最優(yōu)解與通過(guò)遺傳算法得出的最優(yōu)解予以比較的話，即可以驗(yàn)證遺傳算法的有效性。經(jīng)過(guò)數(shù)值模擬，可以得到模型Ⅰ問(wèn)題最優(yōu)點(diǎn)坐標(biāo)為（182.75，79.45），最佳的陣型系數(shù)為0.1656，通過(guò)遺傳算法得到的最優(yōu)點(diǎn)為（177，78.20），最佳陣型系數(shù)為0.1659，最佳布陣型式的俯視圖如圖7所示，可以分析出，數(shù)值模擬和優(yōu)化的結(jié)果不同的原因是數(shù)值模擬的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)不夠精細(xì)，最優(yōu)點(diǎn)與網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)不重合。同時(shí)也可以得出結(jié)論，這種遺傳算法的優(yōu)化程序在優(yōu)化水聽(tīng)器布陣型式的問(wèn)題上是適用的。

圖6 優(yōu)化模型Ⅰ的數(shù)值模擬Fig.6 Numerical simulation for optimization modelⅠ

圖7 優(yōu)化模型Ⅰ遺傳算法計(jì)算結(jié)果Fig.7 GA’s result for optimization modelⅠ

5.2 優(yōu)化模型Ⅱ、Ⅲ的優(yōu)化與結(jié)果分析

模型Ⅱ、Ⅲ的優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 模型Ⅱ、Ⅲ遺傳算法優(yōu)化結(jié)果Tab.3 GA’s result for optimization modelsⅡ andⅢ

模型布陣型式的俯視圖參見(jiàn)圖8。圖中，A，B點(diǎn)為岸邊布置的水聽(tīng)器，他們之間的連線簡(jiǎn)稱為岸邊基線，C，D點(diǎn)為水下水聽(tīng)器布置位置在水平面上的投影，O點(diǎn)為定位區(qū)域的中心點(diǎn)，虛線為岸邊兩水聽(tīng)器之間連線的中垂線（為方便敘述，以下簡(jiǎn)稱基線中垂線），雙點(diǎn)劃線為過(guò)O點(diǎn)與上述中垂線平行的直線（為方便敘述，以下簡(jiǎn)稱中心中垂線）。下面就其結(jié)果予以分析。

從結(jié)果可以看出，十字陣為最佳的定位陣型，該十字陣由岸邊兩水聽(tīng)器之間連線為一邊，以水下水聽(tīng)器連線為另一邊交叉而成，這與目前研究文獻(xiàn)中所述的一致。同時(shí)，水下水聽(tīng)器應(yīng)該布置在兩個(gè)岸基水聽(tīng)器的中垂線附近，但由于要考慮整體區(qū)域的定位效果，它們應(yīng)當(dāng)向中心中垂線偏置，其中一個(gè)距離岸邊較近，出現(xiàn)在邊界上，另外一個(gè)則需要布置在距離岸邊基線200 m（這個(gè)距離應(yīng)該是由約束條件和水聽(tīng)器定位精度決定的）附近，對(duì)于模型Ⅲ，D最遠(yuǎn)距離岸邊基線只能達(dá)到161.26 m，因此D點(diǎn)出現(xiàn)在邊界上。

圖8 優(yōu)化模型Ⅱ、Ⅲ遺傳算法計(jì)算結(jié)果Fig.8 GA’s result for optimization modelⅡ andⅢ

5.3 模型之間互相比較及分析

由于模型Ⅰ與模型Ⅱ、Ⅲ的水聽(tīng)器平均定位精度不同，不能直接予以比較，因此設(shè)定模型Ⅰ的截止誤差與模型Ⅱ、Ⅲ相同重新計(jì)算其陣型指數(shù)。結(jié)果如下表4所示。

表4 設(shè)定截止誤差相同后最優(yōu)陣型的陣型指數(shù)Tab.4 Arrangement Index of three optimum arrays after adjusting limitation error

可以看出，水下布置2個(gè)水聽(tīng)器比水下布置1個(gè)水聽(tīng)器而言具有較大優(yōu)勢(shì)。模型Ⅲ較模型Ⅱ來(lái)說(shuō)，由于其岸邊基線長(zhǎng)度較大，因而定位精度精確不少。通過(guò)數(shù)值模擬可以得到3種模型的GDOP空間分布切面圖，從中可以看出，對(duì)于模型Ⅲ的布置方式，空間中各點(diǎn)的定位精度都較高，這與陣型指數(shù)所描述的也是一致的（如圖9所示）。

圖9 三種模型最優(yōu)布陣的GDOP分布切片圖Fig.9 GDOP slice graph for three optimum array

6 結(jié) 論

通過(guò)本文的研究，可以得出如下結(jié)論:

（1）建立一種優(yōu)化水聽(tīng)器布陣的算法，并且通過(guò)一個(gè)特殊的算例予以驗(yàn)證。

（2）通過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果的分析，說(shuō)明了4個(gè)水聽(tīng)器定位的情況，十字陣為最佳布陣型式，其中岸邊基線的長(zhǎng)度對(duì)定位精度的影響較大，基線越長(zhǎng)定位精度越高。

（3）在今后的布陣工作中可以采取如下方法:首先在岸邊選取距離盡量遠(yuǎn)的點(diǎn)布置兩個(gè)水聽(tīng)器作為岸邊基線，之后在該基線的中垂線附近布放水下水聽(tīng)器。具體位置可以通過(guò)遺傳算法算出。

（4）可以看出4點(diǎn)定位的精度受岸邊基線長(zhǎng)度和水下水聽(tīng)器距岸邊基線距離影響較大，其中的關(guān)系可以進(jìn)一步研究。

[1]王 波,畢 毅.水聲式自航模運(yùn)動(dòng)軌跡實(shí)時(shí)測(cè)量系統(tǒng)[J].船舶工程,2003(2):13-17.

[2]孫仲康.定位導(dǎo)航與制導(dǎo)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,1987.

[3]雷英杰.MATLAB遺傳算法工具箱及應(yīng)用[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2005.