康 軍

0 引言

統(tǒng)計過程控制（Statistical Process Control簡稱SPC)是應用統(tǒng)計技術對過程中的各個階段進行評估和監(jiān)控，建立并保持過程處于可接受的且穩(wěn)定的水平，從而保證產品與服務符合規(guī)定的要求的一種質量管理技術。統(tǒng)計過程控制理論一是利用控制圖分析過程的穩(wěn)定性,對過程存在的異常因素進行預警；二是計算過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）分析穩(wěn)定的過程能力滿足技術要求的程度,對過程質量進行評價。SPC在推動工業(yè)生產過程的改進、生產率的提高和產品質量的改善等方面都起到了巨大的推動作用。通過實施SPC，可以實現(xiàn)過程的可控性、可度量性、可預測性。

1 問題的提出

統(tǒng)計過程控制的核心是控制圖，控制圖的繪制基本可以分為兩個過程，首先是分析用控制圖繪制階段；其次是控制用控制圖階段。分析用控制圖的主要目的是尋找過程的穩(wěn)態(tài)，即過程只有偶然因素沒有異常因素的狀態(tài)，判斷過程是否達到穩(wěn)態(tài)的依據(jù)是判穩(wěn)準則，這種穩(wěn)態(tài)稱為統(tǒng)計穩(wěn)態(tài)；然后再根據(jù)技術標準和技術要求判斷過程是否達到技術穩(wěn)態(tài)，當過程同時達到統(tǒng)計穩(wěn)態(tài)和技術穩(wěn)態(tài)時，即認為過程處于受控狀態(tài)，此時將分析用控制圖的控制限延長作為控制用控制限（主要適用于常規(guī)控制圖），進入控制用控制圖階段?？刂朴每刂茍D階段的目的是保持過程的穩(wěn)態(tài)，利用判異準則來判斷過程是否處于異常，如果出現(xiàn)異常，立即進行現(xiàn)場分析、查找異常原因，使過程回歸穩(wěn)態(tài)。

經(jīng)過上述控制圖的繪制步驟可以發(fā)現(xiàn)，首先需要繪制分析用控制圖，判斷過程是否處于穩(wěn)態(tài)。繪制控制圖的過程包括收集樣本數(shù)據(jù)、計算控制限、作圖、分析等幾個主要步驟，其中收集樣本數(shù)據(jù)時又包括樣本組數(shù)量和組內樣本量兩個指標，一般組內的樣本量為4～6（根據(jù)過程的穩(wěn)定性進行確定，無論過程是否接近正態(tài)分布，經(jīng)證實組內4～6個樣本量已能保證Xbar的分布接近正態(tài)分布）。樣本組主要反映組間差異，所以應達到一定的數(shù)量，以充分反映組間差異，然而，我們在對控制圖的學習過程中，發(fā)現(xiàn)了在繪制分析用控制圖時，不同的文獻中對樣本組數(shù)量的要求是不同的，分別有20組，25組，20～25組之間和35組等幾種不同的情況，這對控制圖的學習和使用帶來了困惑，以下是國內常見的質量管理學教材和參考書的統(tǒng)計結果（以常用的的均值-極差控制圖為例）。

1． 1 抽取20組

《質量管理學》（第3版）（龔益鳴、蔡樂儀、陳森編著，復旦大學出版社（2010））第240～241頁，例2中，取“ 20組數(shù)據(jù)”繪制Xbar-R圖?！豆I(yè)工程典型案例分析》（蔣祖華、奚立峰等編著，清華大學出版社（2005））第197頁中，“繪制分析用控制圖，抽取20組以上的數(shù)據(jù)”。

1． 2 抽取20～25組之間

《質量管理》（Howard S.Gitlow著，張杰等譯，機械工業(yè)出版社（2008））第159頁例子中則給出抽取了22組數(shù)據(jù)（每組6個數(shù)據(jù)）；國家標準GB/T4091-2001《常規(guī)控制圖》中規(guī)定選取20～25組?！独砉た聘怕式y(tǒng)計》（美）（Ronald E.Walpole等著，周勇等譯，機械工業(yè)出版社（第8版））第502頁中“抽取k個樣本，其中k不少于20。每個樣本容量通常較少，如取4，5或6”；在第509頁的例17.2中，則取了25個樣本。

1． 3 抽取25組

《質量管理學》（第3版）（孫靜主編，高等教育出版社，第196頁中，“收集25組大小為4或5的子組”?！禥S9000參考手冊學習與理解——統(tǒng)計過程控制》（王霄鋒編著，清華大學出版社）第43頁中，“在控制圖上采用25個或更多個子組”。《質量工程師手冊》（張公緒、孫靜主編，企業(yè)管理出版社）第337頁中“至少取25組”?！稒C械工業(yè)質量管理教程》（張維德主編，劉源張主審，機械工業(yè)出版社）第566頁例22-4中，選取“25組樣本”?！蹲再|量工程師手冊》（美國質量協(xié)會著，克勞士比中國學院譯，中國城市出版社）第412頁）中“需要收集并記錄25個或更多小組數(shù)據(jù)（每組4或5個數(shù)據(jù)）”。《統(tǒng)計質量控制Statistical Quality Control》（Seven edition,Eugene L.Grant,Richard S.Leavenworth著，清華大學出版社影印版（2002））第44頁說明“至少取25個子組”。

1． 4 抽取35組：

《接近零不合格過程的質量控制》（孫靜著，清華大學出版社）第55頁，“Xbar-R控制圖的操作步驟的步驟2：取預備數(shù)據(jù)。①根據(jù)對判穩(wěn)準則的分析，至少應取35組樣本”。《兩種質量診斷理論及其應用》（張公緒著，科學出版社（2001））第43頁，“步驟2：取預備數(shù)據(jù)。①根據(jù)判穩(wěn)準則（2），至少取35組”。

對同一理論有不同的取樣結果，這樣就給實際使用帶來了困惑，所以就帶來了問題——基于過程控制的目的，樣本組的數(shù)量應該是多少最合適呢？

2 統(tǒng)計過程控制狀態(tài)的理論分析

統(tǒng)計過程控制狀態(tài)，也稱穩(wěn)態(tài)，即過程中只有偶然因素沒有異常因素。穩(wěn)態(tài)是生產追求的目標，在穩(wěn)態(tài)下：對產品的質量有完全的把握，通?？刂茍D的控制限都在規(guī)格界限內，故在穩(wěn)態(tài)下至少有99.73%的產品是合格品。用統(tǒng)計學來描述即為，由于控制圖是基于正態(tài)分布的（即使過程不是正態(tài)分布，但根據(jù)中心極限定理——大量的獨立隨機變量之和具有近似于正態(tài)的分布）可以得出獨立隨機變量的均值Xˉ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），即Xˉ～N（μ，σ2）），那么Xˉ處于［μ-3σ，μ+3σ］范圍內的概率為99.73%，處于該范圍外的概率為（1-99.73%）=0.27%，而落在大于（μ+3σ）或小于（μ-3σ）一側的概率為0.27%/2=0.135%。即如果過程處于統(tǒng)計控制狀態(tài)（即沒有異常因素），應至少有99.73%的數(shù)據(jù)在控制限內，而落在控制限任何一側的數(shù)據(jù)則只有0.135%的可能性。根據(jù)小概率事件原理，如果有點子出界，則可以判斷過程出現(xiàn)異常，所以就得出最基本的判異準則“點出界就判異”。

在控制圖中，如一個點子落在控制限內，是否可以判斷過程處于穩(wěn)態(tài)呢？一種情況是，過程處于穩(wěn)態(tài)，此時點子落在界內的概率為99.73%，另一種情況是，過程出現(xiàn)異常，但是卻發(fā)生了漏發(fā)警報的錯誤，此時出現(xiàn)界內點的概率為β（稱為第二類錯誤或漏發(fā)警報錯誤），但無論是哪種情況，都不再是小概率事件了，無法做出過程處于穩(wěn)態(tài)的判斷，所以根據(jù)一個界內點不能立即判斷過程處于穩(wěn)態(tài)。如果接連出現(xiàn)m個點子都未出界，則情況大不相同，這時m個界內點出現(xiàn)漏發(fā)警報的概率為βm=βm,要比一個點子落在界內的漏發(fā)警報概率β小得多，于是根據(jù)小概率事件原理，可以判斷過程處于穩(wěn)態(tài)。如果接連落在控制界內的點子更多，則即使有個別點子偶然出界，過程仍可判斷為穩(wěn)態(tài)，這就是判穩(wěn)準則的設計思想。

2． 1 控制圖穩(wěn)態(tài)的判穩(wěn)準則

判穩(wěn)準則主要用于判斷過程是否處于穩(wěn)態(tài)，除了最基本的準則“點出界就判異”外，還包括，在點子隨機排列的情況下，符合下列條件之一的過程判斷為穩(wěn)態(tài)（簡稱為判穩(wěn)準則）：

連續(xù)25個點，界外點數(shù)d=0；

連續(xù)35個點，界外點數(shù)d≤1;

連續(xù)100個點，界外點數(shù)≤2。

針對該判穩(wěn)準則，各個文獻都是一致的，區(qū)別在于，對于同樣的判穩(wěn)準則，不同的文獻中對樣本組數(shù)的抽取是不同的，有20組，25組，20～25組之間和35個樣本組的差別。

2． 2 判穩(wěn)準則的α分析

判穩(wěn)準則用以對隨機現(xiàn)象進行判定，故也可能發(fā)生兩種錯誤（即第一類錯誤α和第二類誤β），根據(jù)上述判穩(wěn)準則，分別計算各自的α錯誤（也稱顯著性水平）。連續(xù)25個點，界外點數(shù)d=0；

α1=1-P（連續(xù)25點，d＝0）

連續(xù)35個點，界外點數(shù)d≤1;

α2=P（連續(xù)35點，d＞1）=1-P(連續(xù)35點，d≤1)＝1-0.9959=0.0041

連續(xù)100個點，界外點數(shù)≤2

α3=P（連續(xù)100點，d＞2）＝1-P(連續(xù)100點，d≤2)(0.9973)98(0.0027)2}＝1-0.9974=0.0026

上式表示，在過程正常的情況下，連續(xù)35點出現(xiàn)d＞1是小概率事件，它實際上不發(fā)生，若發(fā)生即判斷過程不穩(wěn)，α2就是執(zhí)行該判穩(wěn)準則時犯第一類錯誤的概率，也稱為顯著性水平。其余依次類推。

這里需要注意的是，α1=0.0654比α2=0.0041和α3=0.0026要大得多，比控制圖中點出界的概率0.0027大一個數(shù)量級，所以，該判穩(wěn)準則中犯第一類錯誤的可能性大增。據(jù)此有國外的專家建議取消該判穩(wěn)準則。

通過上述計算，解釋了樣本組取25組和35組的原因，即接近控制圖設計時的第一類錯誤α=0.0027，也就是小概率事件原理。

但為何有的文獻中又取20組樣本呢？同樣對第一類錯誤α進行計算。

α4=1-P（連續(xù)20點，d＝0）=1＝1-0.9474=0.0526

與α1=0.0654比較接近，處于同一數(shù)量級。所以，基于該原因，部分文獻中抽取20組樣本進行過程的穩(wěn)態(tài)判斷。優(yōu)點是樣本量少，可以節(jié)約取樣成本，尤其是針對一些破壞性的測試。但是，既然第一類錯誤α基本相同，為什么判穩(wěn)準則中只規(guī)定“連續(xù)25個點中，界外點數(shù)d=0”，而沒有規(guī)定“連續(xù)20個點中，界外點數(shù)d=0”呢？

3 樣本組數(shù)量的研究

子樣數(shù)的大小應滿足“組間差異大，而組內差異應小”的原則。從過程角度來看，收集越多的子樣可以確保變差的主要原因有機會出現(xiàn)。一般情況下，包含100個或更多單值讀數(shù)或更多子樣可以很好地用來檢驗穩(wěn)定性。如果過程已穩(wěn)定，則可以得到過程位置和分布寬度有效的估計值。樣本收集的越多，所經(jīng)歷的時間越長，所以越能體現(xiàn)出樣本組之間的差異，即符合“組間差異大，而組內差異應小”的要求，這樣能夠反映出過程的波動問題。在第一類錯誤α基本一致的情況下，為了保證組間變差的出現(xiàn)，應盡可能多的收集樣本組，這就是在綜合考慮準確性和經(jīng)濟性的前提下，采用了25組樣本組而不是采用20組樣本組的原因。同樣的，由于第一類錯誤α1=0.0654和α4=0.0526是基本一致的，所以在保證相同準確度的同時，為減少抽樣成本，部分文獻中也采用了20組樣本進行過程穩(wěn)態(tài)的判斷。

無論是25組還是20組樣本組，其第一類錯誤的概率α1=0.0654和α4=0.0526均比0.0027要高一個數(shù)量級，與統(tǒng)計過程控制設計時的α=0.0027有較大差異，所以會有部分國外專家提出要取消“25組中，d=0”的判穩(wěn)準則。但由于該判穩(wěn)準則一直沿用了較長時間，且基本能夠滿足對過程控制的要求，所以該準則仍保留至今。

隨著技術和經(jīng)濟的進步、產品結構的復雜和對可靠性要求的提高，尤其是對零缺陷和卓越績效的追求，組織的過程控制能力要求越來越高，通過過程來保證產品質量的理念越來越深入人心。為了減少過程中發(fā)生第一類錯誤的風險，降低對生產過程和產品的影響，滿足顧客要求，追求顧客滿意，對過程質量的控制應采取較嚴格的控制。根據(jù)上述分析計算，建議在分析用控制圖階段采用“35組樣本中d≤1”作為判穩(wěn)準則，理由是：首先該判穩(wěn)準則是在嚴格的數(shù)學計算的基礎上，符合控制圖設計的3σ控制限的思想，即第一類錯誤α=0.0027,35組樣本中d≤1的概率0.0041接近0.0027。其二是該判穩(wěn)準則同時兼?zhèn)淞藘煞N情況，即“點出界就判異”和“連續(xù)點子中部分點子出界”?？刂茍D的基本準則是“點出界就判異”，當35點中出現(xiàn)1個界外點時，首先檢查過程是否出現(xiàn)異常還是虛發(fā)警報，如果是過程出現(xiàn)異常導致的點子出界，對過程中的4M1E因素進行調整，使過程回歸穩(wěn)態(tài)；如果過程沒有異常，僅僅是虛發(fā)警報的問題，則可以判斷過程處于正常。在該判穩(wěn)準則下，如果沒有點子出界，則表明過程處于正常狀態(tài)，如果點子出界，則需要對進行過程進行仔細的分析，所以該準則是一個比較穩(wěn)健的準則，即既考慮了點出界的情況，又確保點出界僅是虛發(fā)警報，對過程質量的判斷是極為謹慎的。這對分析用控制圖是至關重要的，在該階段采取了謹慎的做法，確保過程是穩(wěn)定的，對后續(xù)控制用控制階段，能夠確保過程是穩(wěn)定的，即為過程的穩(wěn)態(tài)判斷提供了“雙保險”。另外，抽取較多的樣本組，能夠較好的反應組間的情況——組間差異，如果較長時間內組間沒有差異，則說明過程是持續(xù)穩(wěn)定的。所以以“35組樣本中d≤1”是值得推薦的一種判穩(wěn)準則，可以較全面的反應過程質量。同時由于分析用控制圖的目的是先判斷過程是否達到穩(wěn)態(tài)以及將過程調整為穩(wěn)態(tài)，然后進入過程控制階段，所以分析用控制圖階段體現(xiàn)的是事前控制而不是事后控制的思路，體現(xiàn)的是源頭控制的思想。盡管從表面看來似乎多抽取了10組樣本，提高了抽樣成本，但是從“確保過程穩(wěn)態(tài)、減少判斷失誤帶來嚴重后果”的角度來分析還是合適的。最后，盡管判穩(wěn)準則“100個樣本組中d≤2”犯第一類錯誤的概率α3=0.0026最接近0.0027，但是其樣本量太大，且對兩個樣本出界情況的分析要復雜得，費時較長，所以不推薦在分析用控制圖階段優(yōu)先采用該準則。

“35組樣本中d≤1”的準則只適用于過程控制的分析階段，即分析用控制圖階段，不適用于控制用控制圖階段。從數(shù)學的角度看，分析用控制圖階段就是過程參數(shù)未知的階段，而控制用控制圖階段則是過程參數(shù)已知的階段。既然參數(shù)已知，那么只要用樣本統(tǒng)計量與參數(shù)進行對比即可。這時使用的是判異準則而不是判穩(wěn)準則，對樣本組數(shù)是沒有要求的。這時是一個實時過程，只要出現(xiàn)了判異準則中的情況，即可判斷過程出現(xiàn)異常，進行問題查找、原因分析，解決問題，使過程重新回到受控狀態(tài)，實現(xiàn)過程的控制。

4 局限性

上述分析都是基于減少第一類錯誤α的風險，該風險一般也稱為生產方風險。但隨著“以顧客為關注焦點”等質量管理原則的貫徹，在過程質量控制時更應該考慮使用方風險，即第二類錯誤β，或者考慮造成的“社會成本最小”。鑒于傳統(tǒng)的統(tǒng)計過程控制理論較為完善和使用范圍較廣，所以本文仍以控制第一類錯誤α為主，這是本文的局限所在。

[1]龔益鳴,蔡樂儀,陳森.質量管理學（第3版）[M].上海：復旦大學出版社，2010.

[2]蔣祖華，奚立峰等.工業(yè)工程典型案例分析[M].北京：清華大學出版社，2005.

[3]孫靜.質量管理學（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]王霄鋒.QS9000參考手冊學習與理解——統(tǒng)計過程控制[M].北京：清華大學出版社，2004.

[5]張公緒，孫靜.質量工程師手冊[M].北京：企業(yè)管理出版社，2005.

[6]張維德.機械工業(yè)質量管理教程[M].北京：機械工業(yè)出版社，2008.

[7]美國質量協(xié)會.注冊質量工程師手冊[M].克勞士比中國學院譯.北京：中國城市出版社，2003.

[8]Howard S.Gitlow(霍華德S吉特洛).質量管理[M].張杰等譯.北京：機械工業(yè)出版社，2008.

[9]國標GB/T4091-2001《常規(guī)控制圖》[S].

[10]孫靜.接近零不合格過程的質量控制[M].北京：清華大學出版社，2001.