鐘無涯，顏 瑋

0 引言

在社會經(jīng)濟統(tǒng)計的應(yīng)用實踐中，包括居民生活消費情況統(tǒng)計、房地產(chǎn)價格變化統(tǒng)計等大量的社會調(diào)查是建立在統(tǒng)計抽樣的基礎(chǔ)上完成的。這類通過樣本信息推測總體信息的統(tǒng)計工作，以及其他許多必須通過參數(shù)估計、統(tǒng)計推斷和統(tǒng)計檢驗的工作都必然要涉及到自由度（degree of freedom，DF）的概念。然而目前國內(nèi)的大部分統(tǒng)計學教材對于自由度概念產(chǎn)生的背景、原因和性質(zhì)等方面沒有給出相關(guān)的解釋，也沒有對自由度概念作出完整、統(tǒng)一的定義。在實踐中對涉及自由度的應(yīng)用也大都直接在公式中生成，或機械套用。李友平（2007）探討了社會經(jīng)濟問題研究中統(tǒng)計假設(shè)檢驗與統(tǒng)計抽樣分布中自由度的概念，并通過案例給出了自由度的粗略計算。程志明和韓兆洲（2011）則綜合了相關(guān)文獻在基于獨立性、樣本量等不同角度下對自由度的理解從而給出了自由度的一般性定義，并同時對自由度在幾何、樣本方差、回歸分析、獨立性檢驗和擬合度檢驗中的應(yīng)用進行了闡述。在文獻中他們對自由度的概念和計算做了一定程度的說明，并列舉了自由度在多個領(lǐng)域的應(yīng)用實踐。但對自由度概念的產(chǎn)生以及應(yīng)用中自由度具體形式的取舍原因并未詳細說明。本文將在此基礎(chǔ)上，立足于自由度在經(jīng)濟統(tǒng)計實踐中的應(yīng)用特點，力圖以更簡潔和直觀的方式闡明自由度的產(chǎn)生背景與原因，列舉自由度的應(yīng)用案例并嘗試給出一個社會經(jīng)濟統(tǒng)計角度的自由度概念。

1 自由度概念的產(chǎn)生

自由度概念的產(chǎn)生與抽樣調(diào)查密不可分。抽樣調(diào)查能夠解決全面調(diào)查無法解決或較難解決的問題，并且可以補充和修訂全面調(diào)查的結(jié)果。相比總體調(diào)查方式，抽樣調(diào)查方式具有經(jīng)濟性、時效性、準確性和靈活性等優(yōu)越性。雖然限制在許多嚴格的條件假設(shè)以及諸多定律、定理如中心極限定理等基礎(chǔ)之上，也建立起相應(yīng)的假設(shè)檢驗體系，但是，以點測面，或者以偏概全的抽樣調(diào)查方式卻仍然無法排除抽樣方法本身產(chǎn)生失真的風險性。因此，為了降低判斷失真的風險，提高抽樣樣本與總體樣本的相關(guān)性，必須在形成抽樣樣本的數(shù)據(jù)構(gòu)成上特別慎重，同時也必須在樣本數(shù)據(jù)的處理上權(quán)衡斟酌。自由度的概念就是在這樣的背景和要求中產(chǎn)生的。

一般情況下，在確定樣本數(shù)量n后，樣本是由總體中任意抽取n個元素構(gòu)成。這個過程是完全任意的，即所謂的“自由”，并且抽取的方式是多樣的。若以H代表總體，n代表樣本數(shù)量的話，抽取的方式將是CnH種。但是，基于抽樣樣本的性質(zhì)需要以及用途等方面的要求，抽樣樣本必須體現(xiàn)出總體樣本的特定特征要求，因此必然使得抽樣樣本的形成在某些方面受到約束，比如均值xˉ要求、方差σ2要求等等，因此，樣本組成并不能完全隨機的選取n個元素，即必須放棄某些樣本的自由選擇機會以滿足相關(guān)約束條件或特征目標。出于滿足樣本和總體之間某些約束條件的原因，通過限制部分變量或者元素的可調(diào)整性以實現(xiàn)這樣的目的，這是樣本選擇過程中自由度概念產(chǎn)生的最基本原因。

2 自由度的概念界定

通常情況下，自由度是指當以樣本的統(tǒng)計量來估計總體的參數(shù)時，樣本中獨立或能自由變化的數(shù)據(jù)或元素的個數(shù)。謝啟南、韓兆洲（1991）認為自由度是指在一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的個數(shù)。Gravetter和Wallnau(2008)認為：自由度是指樣本中有多少個數(shù)是獨立的，并可以自由變換的。以上學者的自由度概念偏重于起源思想和數(shù)量概念，且與本文中所提出的自由度概念的產(chǎn)生原因相契合；Mayhew(2004)則從樣本量和顯著性兩個角度界定自由度，認為在統(tǒng)計檢驗中自由度甚至有時直接等于樣本容量，有時卻要根據(jù)樣本容量來調(diào)整計算；而對于不同的顯著性檢驗，自由度的計算也是不一樣的，正確地選擇樣本自由度是進行顯著性檢驗的基礎(chǔ)。Joseph(2008)認為，自由度是在不違背約束條件前提下可以隨意變化信息的數(shù)量。這兩位學者的自由度概念偏重于應(yīng)用實踐的范疇。筆者認為，如果單從社會經(jīng)濟統(tǒng)計的實踐角度出發(fā)，統(tǒng)計樣本的代表性、統(tǒng)計過程的科學性、統(tǒng)計檢驗的合理性以及統(tǒng)計結(jié)果的真實性應(yīng)該是決定統(tǒng)計工作質(zhì)量的主要方面，而這些方面工作的質(zhì)量又都取決于統(tǒng)計工作的力足點，即統(tǒng)計樣本。因此，在形成統(tǒng)計樣本之初進行自由度的選擇和確定，其重要性不言而喻。此外，因為形成統(tǒng)計樣本的主要目的是為了體現(xiàn)出總體樣本特征的，因此界定自由度必然應(yīng)該從把握樣本與總體關(guān)系進行契入。但是，抽樣樣本與統(tǒng)計總體的關(guān)系基于統(tǒng)計目的、統(tǒng)計性質(zhì)、統(tǒng)計方法、統(tǒng)計主體以及統(tǒng)計數(shù)量的不同而各異，因此不可能從統(tǒng)計方法角度去對自由度概念進行概括定義。根據(jù)以上分析，筆者認為，自由度應(yīng)該是在體現(xiàn)樣本與總體關(guān)系（出于統(tǒng)計目標的不同，關(guān)系描述和特征目標也有所差異），且不違背相關(guān)約束條件前提下可以隨意選擇、變化的元素數(shù)量。從另外一個角度看，自由度實際上是樣本構(gòu)成中真正體現(xiàn)隨機選擇的有效元素數(shù)量，是實際樣本容量與有效樣本容量的區(qū)別。

既然涉及到容量，或者元素數(shù)量，因此必須考察自由度的數(shù)量問題。以一個相對簡單的自由度應(yīng)用公式-樣本,這是大部分教科書提供的計算公式。如果n非常大，則從整體角度觀察，n與n-1所引起的數(shù)值區(qū)別幾乎可以忽略；而當n的數(shù)值不大，那么對于整個的統(tǒng)計體系而言，由于采用n與n-1兩種不同取值，就有可能帶來結(jié)果之間很大的差額。這僅僅是一個單一變量方差計算應(yīng)用，如果涉及到多變量、協(xié)方差或者其他相關(guān)性分析，不同的自由度取值對于建立在抽樣樣本基礎(chǔ)之上的整個統(tǒng)計體系的影響之大是顯而易見的。一般而言，相關(guān)變量少、元素數(shù)量少的抽樣樣本對自由度取值的敏感性很大，相對而言，對于元素數(shù)量較多，相關(guān)變量多的抽樣樣本對自由度取值的敏感性相對較弱。

通常情況下，抽樣樣本的所有數(shù)據(jù)都可以通過統(tǒng)計分析工作得出，但是總體數(shù)據(jù)卻只能通過基于抽樣樣本的統(tǒng)計分析結(jié)果去推算測度，因此必然存在一個統(tǒng)計數(shù)據(jù)和真實數(shù)據(jù)之間的擬合度問題。通常所謂的客觀存在的統(tǒng)計總體的真實數(shù)據(jù)即“參數(shù)（Parameter）”。那么，有什么依據(jù)使得抽樣樣本與統(tǒng)計總體的內(nèi)在關(guān)系具備以推測估算的方式去洞察呢？其中一個基本要求就是抽樣樣本的統(tǒng)計量必須是總體參數(shù)的無偏估計，這是之所以可以通過抽樣樣本去估測統(tǒng)計總體的先決條件，同時也是社會經(jīng)濟統(tǒng)計學和計量經(jīng)濟學理論體系中的一個重要基石。一個比較形式的描述性證明過程如下：

總體H中有一樣本S(s1,s2,s3,...sn),E(Hˉ)=μ,D(H)=σ2；根據(jù)參數(shù)的無偏性估計特點，則必然有E(sˉ)=μ，方差的計算為例E(D(S))=σ2。以自由選擇的n個元素（即樣本元素全部自由選擇，而不采取n-1）構(gòu)成樣本S的情況說明，即：

由此可以看出，統(tǒng)計樣本S的n個元素如果全部自由選擇的話，E(D(S))≠σ2將無法滿足參數(shù)的無偏性估計特點。因此，當統(tǒng)計樣本S的放棄一個元素的自由選擇，即自由度為n-1時,卻能夠滿足參數(shù)的無偏性估計特點：

由此可以形成結(jié)論：放棄一個元素自由選擇機會的統(tǒng)計樣本S的方差是總體H方差的無偏估計量，而全部自由選擇元素的樣本方差卻不是總體H方差的無偏估計量。產(chǎn)生如此差異的關(guān)鍵因素在于抽樣樣本S的元素數(shù)量n的自由度選擇。這也說明大多數(shù)教科書并未解釋的樣本方差計算時為什么選擇n-1。

3 自由度在經(jīng)濟統(tǒng)計中的應(yīng)用

例1：某市統(tǒng)計局欲了解寬松貨幣政策環(huán)境下居民收入水平和消費水平的情況。調(diào)查采用隨機抽樣的方式在某居民小區(qū)完成，希望通過小區(qū)抽樣數(shù)據(jù)來推斷小區(qū)整體居民的收入情況和消費情況。該小區(qū)共有居民10000戶，采用隨機的方式抽取了2000戶居民組成樣本。因為選取的方式是在整體中隨機抽取，所以選取樣本的方式可以有C200010000種，但是在實踐操作過程中一般只會選取一個樣本。在選取樣本之前，整個小區(qū)作為數(shù)據(jù)總體有一個客觀存在的小區(qū)居民收入和消費情況，但對于調(diào)查者而言這個數(shù)據(jù)是未知的。中心極限理論支持隨機抽取的樣本數(shù)據(jù)整體呈現(xiàn)正態(tài)分布的特點，抽取的數(shù)據(jù)量越大，正態(tài)分布的特點越明顯。但是總體的實際分布情況卻并不一定如此，因此在以抽樣樣本估計統(tǒng)計總體是有風險的。統(tǒng)計理論要求樣本統(tǒng)計量必須與總體參數(shù)相等，因此，樣本組成元素的選取是受到一定條件約束的。比如最簡單的一個統(tǒng)計指標算術(shù)平均數(shù)xˉ，其計算方式即為，而且不同的樣本組成就有可能有不同的算術(shù)平均數(shù)xˉ以及其他相對應(yīng)的統(tǒng)計量。這是從不同樣本去推測總體數(shù)據(jù)的情況，但單就單個樣本而言，給定了xˉ，也就意外著給定。但是由于平衡關(guān)系，其中的n-1個元素還是可以自由變化的，第n個元素只需要平衡前面n-1個的波動就可以實現(xiàn)xˉ。因此，在這個居民收入和消費情況統(tǒng)計的抽樣樣本中，可以自由變化的戶數(shù)應(yīng)該是2000-1=1999戶，而不是2000。

例2：某大型設(shè)備生產(chǎn)商擬進行生產(chǎn)工藝升級，希望實現(xiàn)流程改進，經(jīng)過研發(fā)部門的設(shè)計，現(xiàn)有2種生產(chǎn)流程備選，分別命名為流程A和流程B?，F(xiàn)在希望通過現(xiàn)場多次測試的方法來了解并判斷流程A和流程B的整體運行效率的差別，從而做出對這兩種流程的取舍決定。表1是測試數(shù)據(jù)，圖1是測試結(jié)果的直觀顯示。

表1 生產(chǎn)流程用時表 （單位：天）

圖1 生產(chǎn)流程用時柱形圖（單位：天）

一般情況下，對于兩個方案的取舍是通過計算其生產(chǎn)流程的平均用時來決定的，或者進行對兩種生產(chǎn)流程是否有明顯差距進行判斷，基于此，以兩樣本的假設(shè)檢驗判斷方式來進行自由度的使用說明。

這里對流程A和流程B的自由度選擇做一說明：

流程A和流程B的樣本方差，采用DF=n-1，理由已經(jīng)前述。

對兩樣本數(shù)據(jù)進行的假設(shè)檢驗需要用到流程A和流程B的合并樣本方差（Pooled Sample Variance），這里的自由度選擇DF=n1+n2-2。理由是因為流程A和流程B的樣本方差在樣本選擇之時已經(jīng)各舍棄一個自由度，因此基于獨立樣本方差基礎(chǔ)之上計算的合并樣本方差自然應(yīng)該延續(xù)單獨樣本方差的自由度的選擇。因此兩樣本的合并樣本方差應(yīng)該是由總的樣本數(shù)量n1+n2舍棄2個樣本控制量，即DF=n1+n2-2。根據(jù)流程A和流程B的測試次數(shù)數(shù)據(jù)可知：DF=5+6-2=9。假定此次假設(shè)檢驗采取的顯著性水平為0.10，由于給出的備擇假設(shè)H1未指明方向，故此次假設(shè)檢驗為雙尾檢驗。分析過程如下：

同理:s(B)=2.0976

因為流程A和流程B的測試次數(shù)較小（獲得的數(shù)據(jù)中流程A僅僅5次，流程B是6次），因此采用t值進行檢驗。

α=0.10，DF=9的t分布條件下，H0:μa=μb的接受域為[-1.833,1.833]，而我們計算出來的t=-0.662∈[-1.833,1.833]，因此不能拒絕H0:μa=μb。統(tǒng)計結(jié)論是流程A和流程B在生產(chǎn)過程中所占用的時間并沒有明顯的差距，這也和圖1測試時間柱狀圖所表現(xiàn)出來的情況類似。

4 總結(jié)

自由度是一個廣泛應(yīng)用于數(shù)理、經(jīng)濟、工程以及醫(yī)藥等多個學科統(tǒng)計分析工具的初級和基礎(chǔ)概念。根據(jù)國內(nèi)學者對自由度的理解和應(yīng)用等方面的相關(guān)文獻，同時參考了部分國外學者在該領(lǐng)域的一些代表性觀點、看法，本文從社會經(jīng)濟統(tǒng)計角度對自由度概念產(chǎn)生的原因和基礎(chǔ)進行了分析，并給出了自由度的基本定義，即：自由度應(yīng)該是在體現(xiàn)樣本與總體關(guān)系（出于統(tǒng)計目標的不同，關(guān)系描述和特征目標也有所差異），且不違背相關(guān)約束條件前提下可以隨意選擇、變化的元素數(shù)量。特別指出，自由度概念的界定應(yīng)該在全面的把握樣本與總體關(guān)系基礎(chǔ)上而不應(yīng)該僅僅從統(tǒng)計應(yīng)用的角度出發(fā)。本文通過兩個社會經(jīng)濟統(tǒng)計的實例，著重體現(xiàn)自由度在實際應(yīng)用中的變化調(diào)整，并對統(tǒng)計結(jié)論進行了解釋。

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