黃文博，張 強，肖 飛，張為華

(1.國防科技大學(xué)航天與材料工程學(xué)院，長沙 410073;2.陸軍航空兵學(xué)院，北京 101123)

0 引言

空間快速響應(yīng)［1］是指發(fā)生戰(zhàn)爭或自然災(zāi)害等突發(fā)事件時，運載系統(tǒng)能夠在短時間內(nèi)實現(xiàn)機動、完成測試并發(fā)射，當(dāng)有效載荷入軌后能馬上執(zhí)行預(yù)定任務(wù)，而不需經(jīng)過長時間的在軌調(diào)整［2］。針對突發(fā)事件，運載器需要滿足“機動性”和“快速性”的要求，與液體火箭比較，小型固體運載器更適合作為“空間快速響應(yīng)”任務(wù)的發(fā)射工具。

當(dāng)前航天器飛行軌跡規(guī)劃的研究主要分為軌道規(guī)劃［3］和彈道規(guī)劃［4－5］兩部分。通常軌道規(guī)劃任務(wù)主要完成軌道要素的設(shè)計，彈道規(guī)劃將軌道要素作為終端約束，選擇發(fā)射點和發(fā)射時刻，并設(shè)計從發(fā)射點到入軌點的飛行彈道，軌道規(guī)劃和彈道規(guī)劃需進(jìn)行反復(fù)迭代最終完成規(guī)劃任務(wù)?！翱臻g快速響應(yīng)”的特點是任務(wù)具有不確定性，軌道參數(shù)與發(fā)射諸元參數(shù)需在接到任務(wù)后進(jìn)行規(guī)劃設(shè)計，要求軌道/彈道規(guī)劃設(shè)計的時間越短越好。如果采用傳統(tǒng)設(shè)計方法，規(guī)劃迭代時間較長，勢必影響其“快速性”。因此，將軌道/彈道作為一個整體進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計是實現(xiàn)快速性的有效方法。由于設(shè)計參數(shù)多，單一優(yōu)化算法很難對此復(fù)雜問題進(jìn)行優(yōu)化。近年來，改進(jìn)的智能優(yōu)化算法在飛行器軌跡優(yōu)化設(shè)計［6－7］領(lǐng)域得到應(yīng)用，混合優(yōu)化方法［8］和分級規(guī)劃策略［9－10］由于綜合收斂性好，也在軌跡優(yōu)化中得到迅速發(fā)展。

本文從任務(wù)需求出發(fā)，使用分級規(guī)劃策略，采用改進(jìn)的粒子群算法和牛頓迭代算法，將空間快速響應(yīng)航天器軌道、彈道進(jìn)行一體化混合優(yōu)化求解。最終實現(xiàn)軌道/彈道一體化快速規(guī)劃設(shè)計。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 軌道規(guī)劃

空間快速響應(yīng)的一個重要任務(wù)為對地觀察，為滿足可見光照相偵察任務(wù)需求，有效載荷經(jīng)過目標(biāo)區(qū)域的光照條件應(yīng)基本一樣，另考慮到重訪的需求，星下點軌跡還應(yīng)周期性重復(fù)，故目標(biāo)軌道應(yīng)該選擇圓形太陽同步回歸軌道。對這種近圓軌道，近地點不確定，可采用如下軌道要素描述:半長軸a、偏心率e、軌道傾角i、升交點赤經(jīng)Ω、緯度幅角u(由于太陽同步軌道不會出現(xiàn)i=0°或 i=180°，因此此處不涉及赤道軌道的特例)。軌道規(guī)劃即是確定以上除e以外的4個參數(shù)。

(1)半長軸

圓軌道半長軸由軌道高度h決定。對采用可見光的有效載荷，限制軌道高度的因素主要有成像分辨率、測控、軌道壽命、安全性和回歸性等。

(2)軌道傾角

在J2項攝動下，利用太陽同步軌道的軌道面進(jìn)動角速率與平太陽在赤道上移動的角速度相等的特點，確定軌道傾角i。

(3)升交點赤經(jīng)與緯度幅角

緯度幅角u決定有效載荷在軌道面內(nèi)的位置，任務(wù)規(guī)劃時按光照條件需求，規(guī)劃星下點軌跡過目標(biāo)點的當(dāng)?shù)貢r。參見圖 1，λtgt、φtgt為目標(biāo)點經(jīng)緯度，在由u0、φtgt和λ0構(gòu)成的球面直角三角形中有如下關(guān)系式:

由式(1)可求出λ0和u0，進(jìn)而求得Ω:

式中 S0為當(dāng)前時刻零經(jīng)度線到真春分點的角距。

需說明的是升交點赤經(jīng)設(shè)計除了考慮軌道過目標(biāo)的升降關(guān)系，還要綜合考慮軌道過目標(biāo)點的地方時、目標(biāo)區(qū)域的光照情況、太陽高度角及衛(wèi)星對目標(biāo)區(qū)域的覆蓋情況。詳細(xì)設(shè)計過程參見文獻(xiàn)［3］。

1.2 彈道規(guī)劃

本文研究的運載器由三級固體發(fā)動機和液體末助推級組成。運載器采用直接入軌方式，飛行彈道分為7段:一級動力飛行段、一級滑行段、二級動力飛行段、二級滑行段、三級動力飛行段、三級滑行段、四級末助推段。運載火箭俯仰程序角設(shè)計與參考文獻(xiàn)［6］類似，不同之處有:

(1)一級飛行段負(fù)攻角轉(zhuǎn)彎段

俯仰角設(shè)計采用文獻(xiàn)［11］中三角函數(shù)型飛行程序角:

式中 t1為垂直起飛結(jié)束時刻;t2為負(fù)攻角轉(zhuǎn)彎結(jié)束時刻。

(2)一級、二級滑行段

滑行段結(jié)束不以飛行時間t而以當(dāng)前飛行高度作為判斷準(zhǔn)則，以一級滑行段為例，程序角設(shè)計為

其中，h1為一級滑行結(jié)束高度。仿真中使用simulink自帶的stateflow工具，來實現(xiàn)飛行時間t和飛行高度h的綜合邏輯判斷。

程序角設(shè)計變量有:

式中 tmax為最大攻角出現(xiàn)時刻;αm為攻角絕對值最大值;˙φi(i=2，3，4)為各級動力飛行段俯仰角變化率;h2為二級滑行結(jié)束高度;tc3為三級滑行時間;t4為末助推級飛行時間。

每一組狀態(tài)X對應(yīng)一條運載段彈道，彈道規(guī)劃過程即是變量X的優(yōu)化求解過程。

2 算法設(shè)計

2.1 數(shù)學(xué)模型求解過程分析

彈道規(guī)劃是進(jìn)行飛行程序角參數(shù)X、發(fā)射方位角A、發(fā)射點經(jīng)緯度(λlch，φlch)和發(fā)射時刻 t0的設(shè)計優(yōu)化，以使有效載荷能在適當(dāng)?shù)臅r刻進(jìn)入預(yù)定軌道，并使軌道調(diào)整時間盡量少。由軌道設(shè)計知，A、(λlch，φlch)和t0的初值由有效載荷星下點軌跡決定，給定X初值進(jìn)行彈道積分，就可計算出實際入軌軌道要素，通過實際軌道要素與期望軌道要素的比較結(jié)果，對設(shè)計參數(shù)進(jìn)行迭代計算或?qū)?yōu)搜索，得到滿足入軌條件的彈道設(shè)計參數(shù)。按照物理意義的不同，軌道要素可分為3類:一是決定軌道形狀及大小的a、e;二是決定軌道在慣性空間方位的i、Ω;三是決定當(dāng)前時刻有效載荷在軌道上位置的u。將上升段彈道近似認(rèn)為在發(fā)射平面內(nèi)飛行，則a和e由飛行程序角參數(shù)X決定;i、Ω和u由發(fā)射諸元A、(λ0，φ0)和t0共同決定，彈道規(guī)劃參數(shù)對軌道要素的影響如圖2所示，粗線表示影響較大，細(xì)實線表示影響較小。對于不同的軌道任務(wù)，a和e的變化比較大，X的優(yōu)化值與設(shè)計初值一般相差較大;而發(fā)射諸元優(yōu)化值與由軌道規(guī)劃得到的諸元初值相差較小。若在優(yōu)化時采取分級規(guī)劃優(yōu)化策略，將2類參數(shù)使用粒度不同的優(yōu)化方法，可提高優(yōu)化的效率。

2.2 分級規(guī)劃優(yōu)化模型

采用分級規(guī)劃的思想，將航天器軌道/彈道一體化規(guī)劃主要分為3個層次(分別對應(yīng)圖3中從里到外3個回路):彈道規(guī)劃(求解滿足入軌軌道高度、偏心率要求的彈道參數(shù))、發(fā)射諸元迭代求解(在上一層次規(guī)劃結(jié)果基礎(chǔ)上設(shè)計發(fā)射方位角，發(fā)射時刻等)、軌道/彈道一體化規(guī)劃(在上一層次基礎(chǔ)上進(jìn)行軌道/彈道一體化優(yōu)化設(shè)計，對上2層次設(shè)計結(jié)果進(jìn)行微小調(diào)整，得到軌道、彈道所有參數(shù)優(yōu)化結(jié)果)。

分級規(guī)劃優(yōu)化步驟如下:

(1)由任務(wù)需求(如對目標(biāo)最短觀測時間、最早發(fā)射時間等)和發(fā)射點初始位置及發(fā)射車機動能力，對期望軌道進(jìn)行規(guī)劃，設(shè)計期望軌道的軌道要素。

(2)利用軌道傾角、升交點赤經(jīng)為終端約束條件，計算運載器發(fā)射方位角和發(fā)射時刻初始值。

(3)以軌道高度、軌道偏心率為終端約束條件，優(yōu)化計算彈道規(guī)劃參數(shù)，如優(yōu)化結(jié)果無解，轉(zhuǎn)到(1)，重新調(diào)整期望軌道要素;否則繼續(xù)。

(4)以軌道傾角、升交點赤經(jīng)為終端約束條件，以(3)計算結(jié)果進(jìn)行發(fā)射方位角和發(fā)射時刻精確計算，如滿足精度要求，轉(zhuǎn)到(5);否則轉(zhuǎn)到(1)。

(5)以所有軌道要素作為終端約束條件進(jìn)行優(yōu)化求解，如優(yōu)化結(jié)果不滿足入軌精度要求，轉(zhuǎn)到(1);否則，轉(zhuǎn)到(6)。

(6)結(jié)束。

一體化規(guī)劃中最重要環(huán)節(jié)分別為軌道規(guī)劃、彈道規(guī)劃、發(fā)射諸元迭代求解和一體化優(yōu)化規(guī)劃，以下對各環(huán)節(jié)優(yōu)化方法進(jìn)行說明。

2.2.1 彈道規(guī)劃

(1)約束條件。運載器彈道設(shè)計優(yōu)化的約束條件包括終端約束和路徑約束。

(2)終端約束

式中 h、v、e分別為實際入軌高度、入軌速度和偏心率，帶obj下標(biāo)的參數(shù)分別為目標(biāo)軌道相應(yīng)參數(shù)。

(3)路徑約束

式中 nx、ny、q和qα分別為軸向過載、法向過載、動壓和動壓與攻角乘積，帶max下標(biāo)的參數(shù)分別為相應(yīng)參數(shù)的最大限定值。

(4)目標(biāo)函數(shù)。運載器前三級固體發(fā)動機均采用耗盡關(guān)機工作模式，末助推級液體推進(jìn)劑除了用于入軌段修正外，剩余推進(jìn)劑還為有效載荷提供軌道維持和軌道機動的能量。因此，以末助推發(fā)動機工作時間最小為目標(biāo)函數(shù)，即

(5)優(yōu)化方法。粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是一種基于群體智能的優(yōu)化算法。標(biāo)準(zhǔn)PSO存在不能自適應(yīng)平衡全局搜索和局部搜索性能，易陷入局部最優(yōu)、搜索精度不高等問題［6］。因此，彈道優(yōu)化問題需對標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)，如文獻(xiàn)［7］引入動態(tài)初始化策略對PSO進(jìn)行改進(jìn)。慣性權(quán)重ω是粒子群優(yōu)化算法的關(guān)鍵參數(shù)，用來平衡粒子的全局和局部搜索能力，較大的慣性權(quán)重可使粒子具有較好的探索能力，而較小的慣性權(quán)重則可使粒子具有較好的開發(fā)能力。優(yōu)化初始階段偏向于探索能力，后期偏向于開發(fā)能力。因此，本文對慣性權(quán)重進(jìn)行動態(tài)調(diào)節(jié)，以增強其自適應(yīng)尋優(yōu)能力。

式中 i為當(dāng)前迭代次數(shù);Imax為最大迭代次數(shù);ib為控制慣性權(quán)重衰減率發(fā)生變化的節(jié)點迭代次數(shù);a、b分別為慣性權(quán)重在各階段的衰減率。

(6)發(fā)射諸元迭代求解。發(fā)射方位角和發(fā)射時刻優(yōu)化問題為非線性方程的優(yōu)化求解問題。在求解非線性方程的迭代方法中，牛頓迭代法收斂速度較快，因此選用牛頓迭代法進(jìn)行求解［4］。

(7)初值。運載器采用機動發(fā)射方式，最大機動速度為vmax，最遠(yuǎn)機動距離為dmax。由軌道要素生成軌道星下點軌跡，以發(fā)射車初始位置為圓心，dmax為半徑形成機動區(qū)域邊界圓，包含在邊界圓內(nèi)且滿足任務(wù)時間的星下點軌跡為可發(fā)射段。選可發(fā)射段上離初始點最近的點(λlch，φlch)為發(fā)射點，發(fā)射方位角A由軌道傾角i和發(fā)射點緯度φlch計算求得;發(fā)射時刻t0選為衛(wèi)星過發(fā)射點時刻。

(8)迭代過程。以發(fā)射方位角A求解為例，以入軌點軌道傾角i為目標(biāo)量，設(shè)目標(biāo)彈道傾角為i*，A按下述步驟確定:

1)令迭代次數(shù)控制變量k=0，給定A初值A(chǔ)0和迭代計算控制精度ε;

2)進(jìn)行彈道積分計算，得到入軌點軌道傾角ik，判斷是否有|ik－i*|＜ε，若是，轉(zhuǎn)步驟5)，否則轉(zhuǎn)下一步;

4)根據(jù)牛頓迭代公式:

令k=k+1，跳至步驟(2);

5)結(jié)束運算，輸出計算結(jié)果。

發(fā)射方位角t0求解過程類似，只是目標(biāo)量為入軌點緯度幅角u。

(9)軌道/彈道一體化混合優(yōu)化。嚴(yán)格說來，每一個彈道規(guī)劃參數(shù)對任意一個軌道要素均有影響，通過以上優(yōu)化，得到除發(fā)射點經(jīng)緯度外較優(yōu)化的彈道設(shè)計參數(shù)?？芍藭r的設(shè)計參數(shù)在設(shè)計變量空間中離最優(yōu)值已經(jīng)“很近”，再通過粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化，得到綜合最優(yōu)參數(shù)。此時的優(yōu)化設(shè)計變量X:

(10)終端約束變成為

路徑約束仍為式(7)。

綜合優(yōu)化結(jié)果即為軌道/彈道一體化優(yōu)化參數(shù)，運載器按照優(yōu)化彈道參數(shù)及發(fā)射諸元發(fā)射入軌，能在第1圈即進(jìn)入預(yù)定軌道實現(xiàn)軌道任務(wù)。

3 算例及結(jié)果

(1)任務(wù)背景

北京時間2010年4月14日7時49分，青海省玉樹地區(qū)(N33.05°，E96.85°)發(fā)生 7.1 級地震，造成重大傷亡，由于地理位置原因，沒有合適的在軌衛(wèi)星覆蓋此地區(qū)，為掌握第一手震區(qū)資料，需要1顆成像衛(wèi)星對玉樹地區(qū)形成每日觀察能力。

(2)任務(wù)需求

2010年4 月15日，開始形成對玉樹地區(qū)的觀察能力，衛(wèi)星過目標(biāo)地區(qū)當(dāng)?shù)貢r要求:8:00～17:00。

(3)初始條件

發(fā)射車初始發(fā)射車位置:湖南長沙(N28.19°，E112.97°);

發(fā)射車機動能力:vmax=60 km/h，dmax=600 km;

接收命令時間:北京時間2010年4月14日12時。

3.1 軌道規(guī)劃

將地方時轉(zhuǎn)換為世界時(Universal Time，UT)，衛(wèi)星第1次過目標(biāo)地區(qū)時間需求:15 Apr 2010 02:00:00.00 UT ～ 15 Apr 2010 11:00:00.00 UT

接收命令時間:14 Apr 2010 04:00:00.00 UT

按照軌道規(guī)劃方法，目標(biāo)軌道為星下點軌跡過玉樹地區(qū)的太陽同步圓形軌道，軌道要素如表1所示。

表1 規(guī)劃軌道要素Table 1 The designed orbit elements

3.2 發(fā)射諸元初值

以軌道要素形成星下點軌跡，選擇運載器機動區(qū)域內(nèi)離發(fā)射點最近的點作為發(fā)射點，如圖4所示。

發(fā)射諸元初始值:經(jīng)緯度(N26.28°，E117.97°)，發(fā)射方位角 －172.69°，發(fā)射時刻15 Apr 2010 01:32:00 UT。通過計算知，機動距離為512 km，假設(shè)機動所需時間為7 h，規(guī)劃優(yōu)化計算2 h，測試、發(fā)射準(zhǔn)備4 h，則發(fā)射車可在14 Apr 2010 17:00:00.00 UT達(dá)到發(fā)射點，并進(jìn)入待發(fā)射狀態(tài)，早于發(fā)射窗口的發(fā)射時間15 Apr 2010 01:32:00 UT，滿足發(fā)射時間要求。

3.3 一體化規(guī)劃優(yōu)化結(jié)果

目標(biāo)軌道部分設(shè)計參數(shù)及約束如表2所示。粒子群算法種群規(guī)模取為40，進(jìn)化代數(shù)選為100，慣性權(quán)重最大值取0.9，最小值取 0.2，學(xué)習(xí)因子最大值為 2.5，最小值為0.5。初值取范圍內(nèi)的隨機值，程序角設(shè)計變量和優(yōu)化設(shè)計結(jié)果見表2。

發(fā)射諸元初值及迭代結(jié)果如表3所示。發(fā)射諸元只迭代5次就收斂到最優(yōu)值。

計算結(jié)果表明，各項約束條件均得到較好滿足。由表4可知，采用軌道/彈道一體化規(guī)劃設(shè)計的參數(shù)能達(dá)到任務(wù)需求。

表3 發(fā)射諸元迭代發(fā)射數(shù)據(jù)Table 3 Fire data of Newton iterative method

表4 入軌參數(shù)優(yōu)化結(jié)果和約束值Table 4 Orbit elements corresponding to optimal solution

4 結(jié)論

(1)采用基于分級策略的航天器軌道/彈道一體化規(guī)劃，比傳統(tǒng)軌道規(guī)劃完成后再進(jìn)行彈道規(guī)劃的方式設(shè)計效率更高，設(shè)計時間更少。主要原因是本文所采用迭代過程是在一個一體化的程序內(nèi)部進(jìn)行，而傳統(tǒng)設(shè)計方法迭代過程是在相對獨立的2個優(yōu)化程序之間通過人工方式進(jìn)行。

(2)將彈道規(guī)劃參數(shù)區(qū)分為程序角設(shè)計參數(shù)和發(fā)射諸元參數(shù)，由于2類參數(shù)的性質(zhì)不同分別采用改進(jìn)粒子群算法和牛頓迭代算法進(jìn)行優(yōu)化求解(避免了單一優(yōu)化算法對不同優(yōu)化參數(shù)權(quán)重分配困難的問題)，優(yōu)化算法收斂速度快，只需幾次迭代就能獲得最優(yōu)解，有利于工程實現(xiàn)。

(3)采用一體化規(guī)劃得到的飛行軌跡能滿足快速響應(yīng)任務(wù)精度要求，且減少了運載器入軌后，進(jìn)行的軌道調(diào)整時間，使有效載荷入軌后，飛行第1圈即可執(zhí)行預(yù)定任務(wù)。

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