金士威 唐正姣 孫煒 歐陽(yáng)貽德

(武漢工程大學(xué)化工與制藥學(xué)院 湖北武漢 430073)

精餾過(guò)程的計(jì)算通常涉及2種類(lèi)型：一類(lèi)是設(shè)計(jì)型，其任務(wù)是根據(jù)規(guī)定的分離要求，選擇精餾的操作條件，計(jì)算所需的理論塔板數(shù)；另一類(lèi)是操作型，其任務(wù)是在設(shè)備(精餾段塔板數(shù)及全塔理論板數(shù))已定的條件下，由指定的操作條件預(yù)計(jì)精餾操作的結(jié)果。這2類(lèi)計(jì)算均為精餾單元操作原理及其規(guī)律的具體應(yīng)用，是學(xué)生必須掌握的重要知識(shí)點(diǎn)，也是化工原理課程液體精餾一章的教學(xué)重點(diǎn)。以上2類(lèi)計(jì)算均需進(jìn)行逐板計(jì)算或圖解繪梯級(jí)，尤其是操作型計(jì)算，需多次逐板計(jì)算或繪梯級(jí)方能得解，計(jì)算強(qiáng)度較大。筆者在多年的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生對(duì)設(shè)計(jì)型計(jì)算尚存耐心，卻畏懼操作型計(jì)算，不希望老師布置操作型問(wèn)題的作業(yè)。

孫健哲[1]結(jié)合正、反分段函數(shù)插值法和離散點(diǎn)下的數(shù)值積分，進(jìn)行間歇蒸餾的設(shè)計(jì)型和操作型計(jì)算，并開(kāi)發(fā)了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)軟件；荊濤等[2]以同樣的方法對(duì)間歇蒸餾的操作型問(wèn)題進(jìn)行逐板計(jì)算，編寫(xiě)了計(jì)算機(jī)程序；潘文群等[3]運(yùn)用Visual Basic編制出精餾操作型計(jì)算軟件。焦勇等[4]介紹了應(yīng)用PRO-Ⅱ精餾多級(jí)計(jì)算程序進(jìn)行間歇精餾的擬穩(wěn)態(tài)和嚴(yán)格模擬計(jì)算；張治山等[5]介紹了流程模擬軟件Aspen Plus的一般使用方法及其在理想二元溶液板式精餾塔操作型問(wèn)題中的應(yīng)用。Matlab語(yǔ)言是一種廣泛應(yīng)用于工程計(jì)算和數(shù)值分析領(lǐng)域的新型高級(jí)語(yǔ)言，擁有強(qiáng)大的運(yùn)算和圖形處理功能，筆者曾應(yīng)用Matlab語(yǔ)言估算二元系的UNIQUAC模型參數(shù)[6]及求解精餾過(guò)程中的操作型計(jì)算[7]；蘇學(xué)軍等[8]用Matlab語(yǔ)言開(kāi)發(fā)了雙組分精餾設(shè)計(jì)型計(jì)算程序。上述計(jì)算要么需用算法語(yǔ)言編程，程序冗長(zhǎng)，學(xué)生掌握有一定困難；要么需要購(gòu)買(mǎi)模擬軟件，而國(guó)內(nèi)多數(shù)高校沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)。

Excel是Microsoft Office系列辦公軟件之一，擁有功能強(qiáng)大、使用方便的表格式數(shù)據(jù)綜合管理和分析系統(tǒng)，能提供豐富的函數(shù)，可方便地繪出各種專(zhuān)業(yè)圖表，可以說(shuō)是最易學(xué)習(xí)與使用的中文電子表格應(yīng)用軟件[9-10]。筆者在教學(xué)中，對(duì)用Excel軟件解決精餾過(guò)程的計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行了探索，曾介紹過(guò)用Excel 2000處理精餾塔全塔效率測(cè)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法[11]。下面介紹用Excel 2000求解雙組分精餾過(guò)程的設(shè)計(jì)型與操作型計(jì)算的方法。

1 相關(guān)知識(shí)簡(jiǎn)介

用Excel求解精餾單元操作的設(shè)計(jì)型與操作型問(wèn)題，主要有3個(gè)難點(diǎn)：① 線性代數(shù)方程組的求解；② 根據(jù)條件選值；③ 單變量非線性方程的求解。前2點(diǎn)可利用Excel 2000提供的函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，第3點(diǎn)可利用Excel 2000附帶的單變量求解工具完成。

1.1 解線性代數(shù)方程組

已知線性代數(shù)方程組：AX=b。根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，其解為：X=A-1·b。因此，要獲得線性代數(shù)方程組的解須對(duì)矩陣求逆和進(jìn)行矩陣相乘操作。Excel提供了專(zhuān)門(mén)的矩陣求逆函數(shù)minverse和矩陣相乘函數(shù)mmult。二者的使用方法為:

① minverse函數(shù)

語(yǔ)法：minverse(array)

功能：返回?cái)?shù)組array所代表的矩陣的逆。

② mmult函數(shù)

語(yǔ)法：mmult(array1,array2)

功能：返回?cái)?shù)組array1與array2的乘積，結(jié)果矩陣的行數(shù)與array1相等，列數(shù)與array2相等。

1.2 條件選擇

Excel提供了專(zhuān)門(mén)用于對(duì)數(shù)值和公式進(jìn)行條件檢測(cè)的IF函數(shù)，其使用方法為：

語(yǔ)法：IF(logical_test,value_if_true,value_if_false)

功能：logical_test表示計(jì)算結(jié)果為T(mén)RUE或FALSE的任意值或表達(dá)式。value_if_true是logical_test為T(mén)RUE時(shí)的返回值，value_if_false是logical_test為FALSE時(shí)的返回值。該函數(shù)最多支持7層嵌套。

1.3 解非線性方程

Excel提供了單變量求解工具，只要使用者輸入目標(biāo)函數(shù)所在單元格地址、未知變量所在單元格地址及目標(biāo)函數(shù)值就可以得解，不需要編程，而且使用方便，簡(jiǎn)單易學(xué)，詳見(jiàn)計(jì)算示例。

2 雙組分精餾過(guò)程的設(shè)計(jì)型計(jì)算

算例1[12]：加料熱狀態(tài)對(duì)所需理論板數(shù)的影響。

欲在常壓下用連續(xù)精餾塔分離苯-甲苯混合液。原料流量qn,F=100kmol/h，組成xF=0.40(苯的物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)，下同)。要求餾出液流量qn,D=40kmol/h，餾出液產(chǎn)品組成xD=0.9，釜液產(chǎn)品組成xW=0.0667。操作時(shí)所用回流比R=1.875，泡點(diǎn)回流，塔頂為全凝器。求采用冷液進(jìn)料(q=1.396)與氣液混合物加料(q=3/4)時(shí)所需的最少理論板數(shù)。已知：常壓下苯-甲苯混合物可視為理想物系，相對(duì)揮發(fā)度α=2.47。

解：相平衡方程為：

(1)

精餾段操作線方程為：

(2)

提餾段操作線方程為：

(3)

q=1.396時(shí)，式(3)化為：

yn+1=1.396xn-0.0264

(3a)

q=3/4時(shí)，式(3)化為：

yn+1=1.667xn-0.0444

(3b)

式(1)～式(3)中，x、y分別指液相與氣相中輕組分苯的物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)，下標(biāo)n(或(n+1))為塔板序號(hào)，塔板自塔頂開(kāi)始計(jì)數(shù)。

令精餾段與提餾段操作線方程的交點(diǎn)坐標(biāo)為(xq，yq)，自塔頂開(kāi)始逐板計(jì)算求取理論板數(shù)的計(jì)算思路見(jiàn)圖1。顯然，當(dāng)完成分離任務(wù)所需的塔板數(shù)目較多時(shí)，手算過(guò)程很繁瑣。

圖1 逐板計(jì)算法求理論塔板數(shù)的計(jì)算思路

若用Excel軟件來(lái)完成計(jì)算，則過(guò)程相對(duì)輕松。以冷液進(jìn)料(q=1.396)為例，具體做法為：

① 新建Excel文檔，創(chuàng)建“設(shè)計(jì)型”工作表。

② 先在單元格區(qū)域G3:J6，L5:L6中輸入如圖2所示內(nèi)容；再選中單元格區(qū)域K5:K6，輸入“=mmult(minverse(H5:I6),J5:J6)”；然后同時(shí)按下Ctrl+Shift+Enter組合鍵，將公式以數(shù)組的形式輸入，則在單元格區(qū)域K5:K6立即顯示得到的結(jié)果(圖3)，即交點(diǎn)坐標(biāo)為xq=0.4562，yq=0.6104。

圖2 操作線方程

圖3 兩條操作線方程的解

③ 在單元格區(qū)域A1:E5中輸入圖4所示內(nèi)容。

④ 在單元格C6中輸入“=B4”即y1=xD。

⑤ 在單元格B6中輸入“=C6/(2.47-1.47*C6)”，并將單元格B6的公式復(fù)制至單元格區(qū)域B7:B14，即按式(1)由氣相組成yn求液相組成xn。

⑥ 在單元格D7中輸入“=0.652*B6+0.313”，并將單元格D7的公式復(fù)制至單元格區(qū)域D8:D14，即根據(jù)式(2)由xn求yn+1；在單元格E7中輸入“=1.396*B6-0.0264”，并將單元格E7的公式復(fù)制至單元格區(qū)域E8:E14，即根據(jù)式(3a)由xn求yn+1；在單元格C7中輸入“=IF(B6>$D$4,D7,E7)”，并將單元格C7的公式復(fù)制至單元格區(qū)域C8:C14，即根據(jù)塔板處于精餾段還是提餾段選擇yn+1值。

完成步驟③～⑥后得到計(jì)算結(jié)果(圖4)?？梢?jiàn)冷液進(jìn)料(q=1.396)時(shí)至少需9塊理論塔板，加料于第4板(x4<0.4562)。

欲求氣液混合物加料(q=3/4)時(shí)所需的最少理論塔板數(shù)，只需將單元格D4的值改為0.3521，將E7的公式改為“=1.667*B6-0.0444”，就可求得結(jié)果(圖5)?？梢?jiàn)，氣液混合物加料(q=3/4)時(shí)至少需12塊理論塔板，加料于第6板(x6<0.3521)。上述計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]一致。

圖4 算例1計(jì)算結(jié)果(q=1.396)

圖5 算例1計(jì)算結(jié)果(q=3/4)

3 雙組分精餾過(guò)程的操作型計(jì)算

算例2[13]：計(jì)算回流比變化時(shí)的產(chǎn)品組成及塔板組成分布。

解：原工況(R=5)時(shí)，據(jù)全塔物料衡算，有：

新工況(R=8)時(shí)，據(jù)全塔物料衡算，有：

(4)

相平衡方程為：

(5)

精餾段操作線方程為：

(6)

提餾段操作線方程為：

(7)

在式(4)～式(7)中，x、y分別指液相與氣相中苯的物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)，下標(biāo)n(或(n+1))為塔板序號(hào)，塔板自塔頂開(kāi)始計(jì)數(shù)。

計(jì)算方法是以xW為試差變量，利用式(4)～式(7)求出xD及塔板上兩相組成分布(圖6)。若│xW-x10│≤ε(ε為收斂精度)，則表明假設(shè)的xW值正確，計(jì)算終止。

圖6 塔板組成的計(jì)算思路

由上述分析可知，盡管運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜，但僅有一個(gè)未知變量xW，可用Excel提供的單變量求解工具解決。具體做法為：

① 在單元格區(qū)域A1:E1, A2:C2中輸入圖7所示內(nèi)容。

② 在單元格D2中輸入“0.085”，即按R=5時(shí)的產(chǎn)品組成對(duì)xW賦初值。

③ 在單元格E2中輸入“=(C2-D2*(1-A2))/A2”，即按照式(4)求xD。

④ 在單元格C4中輸入“=E2”，即y1=xD。

⑤ 在單元格B4中輸入“=C4/(2.47-1.47*C4)”，并將單元格B4的公式復(fù)制至單元格區(qū)域B5:B13，即按照式(5)由氣相組成yn求液相組成xn。

⑥ 在單元格C5中輸入“=$B$2/($B$2+1)*B4+$E$2/($B$2+1)”，并將單元格C5的公式復(fù)制至單元格區(qū)域C6:C11，即對(duì)精餾段根據(jù)式(6)由xn求yn+1。

⑦ 在單元格C12中輸入“=($B$2+1/$A$2)*B11/($B$2+1)-(1/$A$2-1)*$D$2/($B$2+1)”，并將單元格C12的公式復(fù)制至單元格C13，即對(duì)提餾段根據(jù)式(7)由xn求yn+1。

⑧ 在單元格D4中輸入“=1e5*(B13-D2)”，即f(xW)=105(xW,計(jì)-xW,初)(采用105(xW,計(jì)-xW,初)作為目標(biāo)函數(shù)是為了提高計(jì)算結(jié)果的精度)，完成以上步驟后得圖7。

⑨ 選擇“工具”菜單中的“單變量求解…”命令，打開(kāi)“單變量求解對(duì)話框”，在目標(biāo)單元格中填入“D4”，在目標(biāo)值中填入“0”，在可變單元格中填入“$D$2”，單擊“確定”，得“單變量求解狀態(tài)對(duì)話框”；再單擊“確定”，得圖8。

圖7 算例2中間計(jì)算結(jié)果

圖8 算例2計(jì)算結(jié)果

新工況下xW=0.0821，xD=0.9928，各板的氣液相組成詳見(jiàn)圖8。算例2表明，Excel的單變量求解工具對(duì)非線性方程f(x)=0中的函數(shù)f(x)的定義十分靈活，只要f(x)中僅包含一個(gè)未知變量即可。

若要預(yù)測(cè)其他回流比下塔頂、塔底的產(chǎn)品組成xD、xW及塔內(nèi)各板的氣液相組成，只需要修改圖7中的B2單元格的值，然后操作步驟⑨，就可獲得結(jié)果。表1列出了其他條件同算例2，僅改變回流比時(shí)的塔頂、塔底產(chǎn)品組成。結(jié)果表明，隨著回流比R增加，xD升高，xW降低。

表1 不同回流比下的塔釜產(chǎn)品組成(其他條件同算例2)

4 教學(xué)效果評(píng)價(jià)

由以上示例可知，應(yīng)用Excel求解雙組分精餾過(guò)程的設(shè)計(jì)型與操作型計(jì)算，關(guān)鍵在于理清解決問(wèn)題的思路和掌握Excel相關(guān)函數(shù)(如IF函數(shù)、mmult函數(shù)、minverse函數(shù))和工具(如單變量求解工具)的使用方法。依筆者的多年教學(xué)實(shí)踐，在教師提供詳細(xì)的計(jì)算示例后，學(xué)生對(duì)用Excel解決精餾過(guò)程的設(shè)計(jì)型與操作型問(wèn)題表現(xiàn)出濃厚的興趣，面對(duì)繁瑣的計(jì)算過(guò)程，心態(tài)也會(huì)由先前的不耐煩、畏懼變成躍躍欲試。平時(shí)只要公式中一個(gè)數(shù)據(jù)發(fā)生改變就要重新計(jì)算一遍，而Excel會(huì)自動(dòng)根據(jù)新的數(shù)據(jù)更新計(jì)算結(jié)果。Excel不僅可以免除繁瑣的試差計(jì)算過(guò)程，節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間，還可以將數(shù)據(jù)直接代入到函數(shù)中，自動(dòng)返回計(jì)算后的結(jié)果，使學(xué)生能迅速知道操作條件變化后的情況，用計(jì)算所得佐證自己對(duì)問(wèn)題所作的定性分析，加深對(duì)精餾操作原理和一些概念的理解,將理論與實(shí)際更好地聯(lián)系起來(lái)，從而大大提高學(xué)習(xí)的積極性。

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