杜 鵬，賈俊梅

（1.天津市市政工程設(shè)計(jì)研究院，天津市 300051；2.中交第一航務(wù)工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司，天津市 300222）

0 前言

目前，隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，許多大跨度橋梁相繼建成。為了保證大跨度橋梁的抗震安全，需要對(duì)其進(jìn)行專門的抗震分析。在以往的橋梁抗震設(shè)計(jì)中，人們趨向于只考慮單點(diǎn)平動(dòng)輸入下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)，然而隨著近年來地震觀測(cè)資料的不斷豐富，人們發(fā)現(xiàn)地震波在沿大跨度結(jié)構(gòu)傳播過程中會(huì)有顯著的變化[1]，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)不同支點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)明顯不同，因此采用多點(diǎn)非一致激勵(lì)對(duì)大跨度橋梁進(jìn)行地震反應(yīng)分析顯得十分的重要。

引起地震動(dòng)時(shí)空變化的因素歸結(jié)起來有以下幾個(gè)方面[2]：一是“行波效應(yīng)”；二是“部分相干性的影響”；三是“局部場(chǎng)地效應(yīng)的影響”。可以看出，一致激勵(lì)實(shí)際上相當(dāng)于多點(diǎn)非一致激勵(lì)作了波速無窮大、各個(gè)支點(diǎn)運(yùn)動(dòng)完全相干、場(chǎng)地均勻等假定后的簡(jiǎn)化模型。

在求解大跨度結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)方面，DerKiureghian和Neuenhofer[2]、Loh和Ku[3]提出了基于反應(yīng)譜的方法去考慮地震動(dòng)的空間效應(yīng)。這些研究都是基于地震動(dòng)為平穩(wěn)隨機(jī)過程的前提下提出的，而且其計(jì)算效率及精度都存在不小的問題[4]。但是，眾所周知，地震動(dòng)是一個(gè)強(qiáng)非平穩(wěn)過程，對(duì)于地震動(dòng)非平穩(wěn)模型的模擬，一些學(xué)者也提出了一些擬合模型，如：Kameda[5]，Li和 Kareem[6-8]，Conte Peng[9]提出 的 一 維 非 平 穩(wěn) 擬 合 模 型 ，Li 和 Kareem[6，8]，Deodatis[10]提出的多維非平穩(wěn)擬合模型，以上這些學(xué)者在提出地震動(dòng)非平穩(wěn)擬合的時(shí)候都沒有提出好的估計(jì)地震波演變功率譜密度的方法，因此這些方法應(yīng)用起來并不方便。

本文在前人工作的基礎(chǔ)上，基于小波理論對(duì)非平穩(wěn)地震動(dòng)過程進(jìn)行了合理的擬合，該荷載模型不但可以模擬非平穩(wěn)荷載幅值及頻率同時(shí)為非平穩(wěn)過程的特性，而且該模型還考慮了多點(diǎn)激勵(lì)下荷載行波效應(yīng)及場(chǎng)地土部分相干性的影響;其次，本文基于小波理論多點(diǎn)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程在小波域內(nèi)對(duì)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)進(jìn)行求解，得到了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時(shí)功率譜密度函數(shù)和響應(yīng)瞬時(shí)均方值的表達(dá)式，最后，本文利用一個(gè)三跨連續(xù)梁橋的算例，對(duì)所提的方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 非一致地震激勵(lì)的多尺度小波譜模擬

考慮到大跨度結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)問題，可以將任一個(gè)支點(diǎn)的非平穩(wěn)地震動(dòng)激勵(lì)用x¨gr（t）來表示，其中r=1，2，…，n，表示支點(diǎn)的位置，而第 r個(gè)支點(diǎn)的地震動(dòng)x¨gr（t）可以用Priestly提出的演變隨機(jī)過程[11]的公式來表達(dá)：

式（1）中Ar（t，ω）為隨時(shí)間和頻率同時(shí)變化的確定性調(diào)制函數(shù)，而dGr（ω）表示對(duì)應(yīng)支點(diǎn)處的正交增量過程，其中：

然后，對(duì)于x¨gr（t）在任意一個(gè)給定尺度aj上進(jìn)行小波變換并將式（1）帶入其中可以得到：

由于小波基函數(shù)的局部化特性，可以近似認(rèn)為Ar（t，ω）在時(shí)刻b附近不隨時(shí)間發(fā)生波動(dòng)；并且，由于調(diào)幅函數(shù)是一個(gè)慢變函數(shù)，因此可以近似地認(rèn)為，在尺度aj所對(duì)應(yīng)的頻帶上調(diào)制函數(shù)Ar（b，ω）不隨頻率變化，從而式（3）可以表示為：

其中：

其中：Arj（b）為在aj尺度上的確定性均勻調(diào)制函數(shù)，在每一個(gè)尺度上Arj（b）為不同的均勻調(diào)制函數(shù)，由此可以看出，模擬的隨機(jī)過程本質(zhì)上是一個(gè)分段平穩(wěn)過程，但此分段平穩(wěn)過程可以根據(jù)所要模擬的非平穩(wěn)過程的局部特性來劃分頻帶的寬度，從而根據(jù)不同的頻帶寬度來選擇均勻調(diào)制函數(shù)的形式。由式可以得到不同支點(diǎn)處地震波小波系數(shù)的互相關(guān)函數(shù)在尺度aj上的表達(dá)式：

其中：

在式（6）中，τr分別代表頻帶j上的地震波從到達(dá)結(jié)構(gòu)第一個(gè)支點(diǎn)到第r個(gè)支點(diǎn)傳播的時(shí)間，τr=Lr/Vj其中Lr代表第一個(gè)支點(diǎn)和第r個(gè)支點(diǎn)之間的距離，Vj代表在尺度j上地震波傳播的速度；同樣τl與Ll也具有同樣的意義。式（7）中的E[dG~r（ω）dG~l（ω'）]表示在支點(diǎn)r和l處正交過程的互功率譜密度，其可以表示由于行波效應(yīng)引起的地震動(dòng)空間相關(guān)性。其中，支點(diǎn)r和l之間地震動(dòng)的互功率譜密度可以表示為：

其中：γrl（ω）為不同支點(diǎn)處地震動(dòng)的相干函數(shù)。

由此，式（6）為不同支點(diǎn)處地震動(dòng)荷載小波系數(shù)的互相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式，也可以說式（6）為地震動(dòng)荷載的小波譜表達(dá)式，該式表征非一致隨機(jī)激勵(lì)荷載的統(tǒng)計(jì)特性。

2 大跨度結(jié)構(gòu)體系非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)分析的小波方法

對(duì)于有N個(gè)地面支座、n個(gè)自由度的離散線性結(jié)構(gòu)，在多點(diǎn)激勵(lì)下求解結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的基本運(yùn)動(dòng)方程可以寫成如下形式[13]：

式（9）為多點(diǎn)激勵(lì)下n個(gè)自由度結(jié)構(gòu)體系地震響應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程，而結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)可以表達(dá)為振型向量{φ（j）}（j=1,2，…，n）與廣義坐標(biāo)ηj（t）（j=1，2，…，n）乘積之和的形式，即：

當(dāng)結(jié)構(gòu)的阻尼為比例阻尼時(shí)，式（9）可以解耦為n個(gè)單自由度結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程，其結(jié)構(gòu)響應(yīng)即為式（10）中的廣義坐標(biāo)，其中第j個(gè)振型所對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo)的動(dòng)力方程為：其中：ωj，ξj，αjr(={φ（j）}T[Mss]{F（r）}/{φ（j）}T[Mss]{φ（j）})分別表示第j階模態(tài)的固有頻率、阻尼比及振型參與系數(shù)。

對(duì)式（10）兩邊進(jìn)行連續(xù)小波變換可以得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的小波系數(shù)，其中第i個(gè)自由度對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)為：其中：φi（j）為振型向量（φ（j））中第i個(gè)元素，對(duì)式（12）兩邊取平方期望可以得到：

為了確定式中（13）每一階振型所對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)的自相關(guān)小波系數(shù)與互相關(guān)小波系數(shù)，將ηj（t），x¨br（t）按照Alkemede提出的離散化方案[14]進(jìn)行離散化，該離散化的形式是令：aj=σj，bj=（j-1）Δb，由此可以得到：

利用此離散化形式，ηj（t），x¨br（t）可以寫為：

其中）。

將其代入到式（11）中并對(duì)方程的左右兩邊進(jìn)行Fourier變換可以得到：

其中：

為了對(duì)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，小波基函數(shù)選取Basu與Gupta提出的正交小波基函數(shù)[12]，式（18）可以化簡(jiǎn)為：

對(duì)于第k階振型所對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)ηk（t）同樣也可以得到類似的形式：

對(duì)式（21）兩邊取共軛并與式（20）兩邊相乘并取期望，然后在方程左右兩邊對(duì)自變量ω進(jìn)行積分，根據(jù)小波基函數(shù)的正交性可以得到：

當(dāng)j=k時(shí)

當(dāng) j≠k 時(shí)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]所述，激勵(lì)小波系數(shù)在不同時(shí)刻的互相關(guān)系數(shù)項(xiàng)之和趨近于零，所以被省略掉了。根據(jù)Paserval定理可以知道Ydi（t）在所有頻帶總能量的平均值可以表示為

將式（13）、式（22）及式（23）代入到式（24）中來可以得到：

結(jié)構(gòu)響應(yīng)Ydt（t）在尺度ap所對(duì)應(yīng)的頻帶內(nèi)的瞬時(shí)均方能量為：

當(dāng)σ≈1時(shí)，對(duì)于每一尺度ap小波基函數(shù)所對(duì)應(yīng)的頻帶很窄，即式（26）的積分區(qū)間很小，因此可以近似地認(rèn)為被積函數(shù)相等，由此可以得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時(shí)功率譜密度函數(shù)的表達(dá)式為：結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時(shí)均方值可以表達(dá)為：

同理，也可以根據(jù)以上的推導(dǎo)過程得到結(jié)構(gòu)擬靜態(tài)位移響應(yīng)的瞬時(shí)功率譜密度與瞬時(shí)均方值的表達(dá)式，其表達(dá)式如下所示：

其中：Fui為支座第u個(gè)自由度方向的單位位移在結(jié)構(gòu)第i個(gè)自由度上產(chǎn)生的力，其它符號(hào)的意義與式（27）、式（28）相同。

則結(jié)構(gòu)相對(duì)地面的總位移響應(yīng)的瞬時(shí)功率譜密度為：

結(jié)構(gòu)相對(duì)地面的總位移響應(yīng)的均方值為：

3 三跨連續(xù)剛構(gòu)橋數(shù)值算例

3.1 工程概況

本文采用的三跨連續(xù)剛構(gòu)橋是武漢天興洲公鐵兩用長(zhǎng)江大橋公路引線工程南岸部分和平大道段的一座橋梁，其位于武昌區(qū)的和平大道處。本區(qū)段全長(zhǎng)206 m，采用（58+90+58）m一聯(lián)的三跨連續(xù)剛構(gòu)橋，按汽車6車道設(shè)計(jì)，梁的全斷面為單幅結(jié)構(gòu)分離式直腹單箱單室箱形梁，按橋中心線對(duì)稱布置，橋面采用結(jié)構(gòu)找坡，全聯(lián)平曲線3 500 m，其總體布置和箱梁截面尺寸如圖 1～圖 3所示。箱梁頂寬13.49 m，底寬7 m，中(邊)跨梁高由跨中(端部)2.4 m變化到根部5.0 m，梁下緣變化按圓曲線設(shè)置?？鐑?nèi)兩墩分別高33.044 m(1#墩)和31.77 m(2#墩)，均采用7 m×4 m矩形空心薄壁墩，壁縱向厚0.9 m，橫向0.6 m。梁體采用掛籃對(duì)稱懸臂現(xiàn)澆，邊跨箱梁和橋墩連接處設(shè)GPZ3.5DX和GPZ3.5SX盆式橡膠支座，路面鋪裝采用100 mm厚改性瀝青混凝土。其場(chǎng)地土類別為III類，抗震設(shè)防烈度VI度。

3.2 計(jì)算模型參數(shù)及其動(dòng)力特性

圖1 連續(xù)剛構(gòu)橋結(jié)構(gòu)總體布置圖（單位：mm）

圖2 連續(xù)剛構(gòu)橋機(jī)構(gòu)剖面布置圖（單位：mm）

本文首先用通用有限元軟件ANSYS對(duì)連續(xù)剛構(gòu)橋進(jìn)行平面桿系建模，然后將模型的質(zhì)量，剛度矩陣導(dǎo)出，利用自編的MATLAB及FORTRAN程序進(jìn)行橋梁的地震響應(yīng)分析。全橋共離散成89個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中主梁75個(gè)節(jié)點(diǎn)，橋墩14個(gè)節(jié)點(diǎn)，主梁及橋墩均采用平面梁?jiǎn)卧狟EAM3進(jìn)行建模，為了計(jì)算簡(jiǎn)便將左右邊墩簡(jiǎn)化成兩個(gè)支座，支座僅約束主梁的豎向位移，主梁的混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C50，橋墩為 C40，泊松比 0.1667，混凝土容重26 000 N/m3。

利用上述所建立的有限元模型，用子空間法計(jì)算了該橋的前8階的頻率，周期及其振動(dòng)形式，如表1所示。

圖3 箱梁及墩身截面尺寸（單位：mm）

表 1計(jì)算模型前8階自振頻率及振型特性

3.3 三跨連續(xù)梁橋在實(shí)際地震動(dòng)作用下響應(yīng)分析

本小節(jié)選取的實(shí)際地震動(dòng)記錄為SMART1臺(tái)網(wǎng)所記錄的地震動(dòng)E-45的45條地震波進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，調(diào)制函數(shù)Gamma模型[15]，其參數(shù)按照表2選取，地震動(dòng)自功率譜密度模型選擇胡聿賢模型[16]，其參數(shù)按照表 3進(jìn)行選取地震波的波速為v=1 000 m/s，加載方向?yàn)轫槝蛳蚣虞d。

3.3.1一致激勵(lì)情況

從圖4及圖 5可以看出，在一致地震激勵(lì)作用下由實(shí)際地震動(dòng)計(jì)算統(tǒng)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時(shí)均方根值與由本文統(tǒng)計(jì)得到的荷載模型計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時(shí)均方根值基本一致，但是計(jì)算速度比用時(shí)程分析方法的計(jì)算速度快很多。

3.3.2非一致激勵(lì)情況

從圖6及圖7可以看出，在非一致地震激勵(lì)作用下由實(shí)際地震動(dòng)計(jì)算統(tǒng)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時(shí)均方根值與由本文統(tǒng)計(jì)得到的荷載模型計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時(shí)均方根值基本一致，但是計(jì)算速度比用時(shí)程分析方法的計(jì)算速度快很多。

表2 由SMART1臺(tái)網(wǎng)地震動(dòng)信號(hào)E-45確定的Gamma模型參數(shù)

表3 由SMART-1臺(tái)網(wǎng)地震動(dòng)信號(hào)E-45確定的功率譜參數(shù)（胡聿賢譜n=6）

圖4 一致地震動(dòng)激動(dòng)下連續(xù)剛橋左邊跨及中跨跨中豎向總相對(duì)位移響應(yīng)的瞬時(shí)均方根值對(duì)比圖（a：左邊跨，b：中跨）

通過以上的算例可以看出本文所提出的方法的計(jì)算結(jié)果與用時(shí)程分析方法計(jì)算統(tǒng)計(jì)的結(jié)果基本吻合，但是計(jì)算效率上卻要大大優(yōu)于時(shí)程分析方法，從而可以看出本文提出的方法在求解非一致地震響應(yīng)時(shí)的優(yōu)越性。

圖5 一致地震動(dòng)激動(dòng)下連續(xù)剛橋1#墩及2#墩墩頂順橋向總相對(duì)位移響應(yīng)的瞬時(shí)均方根值對(duì)比圖（a：#墩，b：2#墩）

圖6 非一致地震動(dòng)激動(dòng)下連續(xù)剛橋左邊跨及中跨跨中豎向總相對(duì)位移響應(yīng)的瞬時(shí)均方根值對(duì)比圖（a：左邊跨，b：中跨）

4 結(jié)論

本文利用小波理論首先提出了用于非一致激勵(lì)的非平穩(wěn)地震動(dòng)荷載模型，該模型可以很方便地考慮地震動(dòng)的行波效應(yīng)，場(chǎng)地土特性及部分相干性的影響，其次推導(dǎo)了多自由度結(jié)構(gòu)體系在非一致非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下響應(yīng)的瞬時(shí)功率譜密度及響應(yīng)的瞬時(shí)均方值的表達(dá)式，通過一座三跨連續(xù)剛構(gòu)橋的算例驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。

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