嚴蘭蘭， 梁炯豐， 黃 濤

（1. 東華理工大學數學與信息科學學院，江西 撫州 344000；

2. 東華理工大學土木與環(huán)境工程學院，江西 撫州 344000）

兩種帶形狀參數的三角曲線

嚴蘭蘭1， 梁炯豐2， 黃 濤1

（1. 東華理工大學數學與信息科學學院，江西 撫州 344000；

2. 東華理工大學土木與環(huán)境工程學院，江西 撫州 344000）

定義了帶形狀參數的三次三角多項式曲線和三次三角樣條曲線。前者具有與二次Bézier曲線類似的端點性質，但逼近性比二次Bézier曲線更好，且在拼接時能達到更高階的連續(xù)性。而后者與二次 B樣條曲線類似，其每一段由相繼的三個控制頂點生成。對于等距節(jié)點，在一般情況下曲線C2連續(xù)，在特殊條件下可達C3連續(xù)。

計算機應用；三角基；樣條曲線；形狀參數

曲線曲面設計是計算機輔助幾何設計的一個重要研究課題，現今較成熟的是非均勻有理B樣條(NURBS)方法，但NURBS在形狀設計中依然存在一些局限。為此，人們試圖在非多項式函數空間尋找新的曲線。文獻[1]構造了C3連續(xù)的二次三角多項式曲線；文獻[2]和[3]分別研究了帶一個形狀參數的二次和三次三角多項式曲線；文獻[4]構造了控制頂點數分別為3、4和5時的T-B樣條曲線；文獻[5]構造了G1連續(xù)的三次三角多項式樣條曲線，特殊條件下可達到G3連續(xù)；文獻[6]構造了類似于三次 Bézier曲線的含參數的三次三角多項式曲線；文獻[7]構造了G3連續(xù)的三次三角多項式樣條曲線，特殊條件下可達到G5連續(xù)。

這里在空間 {1 ,sint, c ost, s in2t, c os2t, s in3t,cos3t}上定義了兩種新曲線。由于含形狀參數，所以可以在不改變控制頂點的情況下對新曲線的形狀進行調整。與二次Bézier曲線類似，所構造的三角多項式曲線也由三個控制頂點生成，且曲線插值于控制多邊形首末端點并與端邊相切，但該曲線對控制多邊形的逼近性比二次 Bézier曲線更好。另外，兩條二次Bézier曲線在拼接時至多G1連續(xù)，而兩條新曲線在拼接時，只要端點之間滿足G1連續(xù)條件，曲線就會自動達到G3連續(xù)，特殊條件下還可達G5連續(xù)。與二次B樣條曲線類似，所構造的三角樣條曲線的每一段由相繼的三個控制頂點生成，但二次均勻B樣條曲線只有C1連續(xù)，而對于等距節(jié)點，新曲線C2連續(xù)，特殊情況下可達C3連續(xù)。當形狀參數滿足一定條件時，新曲線具有比二次B樣條曲線更好的對控制多邊形的逼近性。

1 三角多項式曲線

1.1 基函數的構造與性質

定義 1 對t∈ [ 0,π]， λ ∈[- 2 ,1]，稱函數2組

為帶參數的三次三角多項式基函數，簡稱λB基。

λB基具有下列性質

3） 端點性質

1.2 曲線的定義與性質

為帶參數的三次三角多項式曲線，簡稱λB曲線。由λB基的性質易知λB曲線具有對稱性、凸包性、幾何不變性等。另外λB曲線還具有端點性質

1.3 曲線的逼近性

由于B0(t)與B2(t)關于λ單調遞減，故由式(3)可知：λ越大，λB曲線與點P1靠得越近。即隨著λ的增大，λB曲線逐漸靠近其控制多邊形。

圖1 取不同參數值時的Bλ-曲線

1.4 曲線的拼接

圖2 兩段曲線的 G3 , G5 , C1 , C2拼接圖

圖3 兩段曲線的C 3拼接圖

2 三角樣條曲線

2.1 曲線的構造

2.2 曲線的連續(xù)性

2.3 曲線的逼近性

圖4 取不同參數值時的Bμ-曲線段

[1]朱仁芝, 程漠嵩. 擬合任意空間曲面的三角函數方法[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 1996, 8(2)：108-114.

[2]Han Xuli. Quadratic trigonometric polynomial curves with a shape parameter [J]. Computer Aided Geometric Design, 2002, 19(7)：479-502.

[3]Han Xuli. Cubic trigonometric polynomial curves with a shape parameter [J]. Computer Aided Geometric Design, 2004, 21(6)：535-548.

[4]蘇本躍. T-B樣條曲線及其應用[J]. 大學數學, 2005,21(1)：87-90.

[5]吳曉勤, 韓旭里. 帶參數的三次三角多項式樣條曲線[J]. 計算機應用與軟件, 2007, 24(4)：62-64.

[6]吳曉勤, 韓旭里, 羅善明.帶形狀參數的二次三角Bezier曲線[J]. 工程圖學學報, 2008, 29(1)：82-87.

[7]王成偉. 帶有參數的三次三角多項式樣條曲線[J].北京服裝學院學報, 2007, 28(3)：50-55.

Two kinds of trigonometric curves with shape parameters

Yan Lanlan1, Liang Jiongfeng2, Huang Tao1
( 1. College of Mathematics and Information Science, East China Institute of Technology, Fuzhou Jiangxi 344000, China;2. College of Civil and Environmental Engineering, East China Institute of Technology, Fuzhou Jiangxi 344000, China )

Two kinds of trigonometric curves with shape parameters are defined, they are trigonometric polynomial curves and cubic trigonometric spline curves. The former retains the main properties of the quadratic Bézier curve, and it is closer to the control polygon and can achieve higher order of continuity than the quadratic Bézier curve. The latter is similar to the quadratic B-spline curve, each piece of it is generated by three consecutive control points. For equidistant knots, the curves areC2continuous, and they areC3continuous under special conditions.

computer application; trigonometric basis; spline curve; shape parameter

TP 391

A

1003-0158(2012)01-0025-06

2008-12-23

嚴蘭蘭（1982-），女，湖北浠水人，講師，碩士，主要研究方向為計算機輔助幾何設計。