石照耀，康 焱

以黃潼年先生為主的我國科技工作者于1970年在世界上首創(chuàng)了齒輪整體誤差測量技術[1-2]，這項被譽為新中國機械工程領域首項原創(chuàng)性的成果，在《中國科學》[3]得到全面介紹．經(jīng)過后續(xù)20多年的發(fā)展，齒輪整體誤差測量技術已成為系統(tǒng)的齒輪整體誤差理論[4]．它主要包括 3方面內容：齒輪整體誤差概念及其分析方法、齒輪整體誤差的獲取方法和齒輪整體誤差應用[5-7]．我國曾生產(chǎn)了 1,000多臺各式齒輪整體誤差測量儀器，并出口到一系列國家，其中錐齒輪整體誤差測量技術的專利于 1989年賣給了德國的Klinglnberg公司，實現(xiàn)了新中國機械工程領域的首項高技術出口[8]．目前仍有200多臺齒輪整體誤差測量儀器應用在生產(chǎn)現(xiàn)場[9]．但很遺憾，近10多年來齒輪整體誤差測量技術未得到應有的發(fā)展．

齒輪整體誤差通過特殊跳牙標準件與齒輪的嚙合測量獲取，得到的是單個齒輪的誤差信息，其關鍵之處是使標準件與被測齒輪的重合度ε＜1．從技術上講，齒輪整體誤差具有 3個鮮明的特點[7]：一是反映了齒輪的全部誤差信息；其次是形象而精確地揭示了齒輪各單項誤差的變化規(guī)律以及彼此間的消長關系；三是反映了齒輪傳動的嚙合過程．

實際應用中，齒輪是成對使用的．由于主、從動輪都有誤差，實際傳動效果是主、從動輪共同作用的結果．由于齒輪副的重合度ε＞1，從常規(guī)的齒輪傳動誤差不能厘清實際齒輪的嚙合過程及其與誤差相關的各種問題[10]．為此，筆者將單個齒輪的整體誤差概念拓展到了齒輪副，提出了齒輪副整體誤差(gear pair integrated error，GPIE)的基本概念[11]、數(shù)學模型、理論方程、單元曲線和基本算法，給出了具體可行的獲取方法，并開發(fā)了測量系統(tǒng)．

1 數(shù)學模型與單元曲線

1.1 齒輪副整體誤差的數(shù)學模型

齒輪傳動依靠主動輪的輪齒依次推動從動輪的輪齒進行工作，其推動過程通過共軛齒面的交替嚙合來實現(xiàn)．如圖 1所示[12]，1U和2U是一對漸開螺旋共軛齒面，iM為某一時刻的嚙合點，嚙合點在空間的軌跡形成嚙合線，嚙合線是共軛齒面?zhèn)鬟f位移和力的作用線．圖 1 中，σ(O2，n，τ，η)為與基架固連的基礎標架，其中，O2為從動輪固定軸線的對稱中心點，n為齒輪副嚙合線上的單位矢量，η為從動輪固定軸線的單位矢量，τ 與n和η一塊組成右旋直角坐標系．

由于制造與安裝等方面的原因，實際齒輪的齒面總是存在各種偏差，而且各齒面間的位置關系也可能存在偏差．設 Σ1和 Σ2分別為共軛齒面 U1和 U2對應的含有偏差的實際齒面，Q1和 Q2為理論嚙合點 Mi在實際齒面 Σ1和 Σ2上對應的實際接觸點．一般而言，Q1、Q2和 Mi在空間的位置很接近，為了表示方便，這里放大了它們之間的相對距離．

在嚙合點iM 處建立活動標架σM(iM ，ni，τi，ηi)，ni為共軛齒面的單位法矢量，τi和ηi為iM 點處切平面上互相垂直的 2個單位矢量．由嚙合線的性質可知：iM必然落在n軸線上的理論嚙合線范圍內，故

在活動標架σM中，設

設Ei為從動輪的一個補償位移矢量，且滿足

利用矢量關系，式(3)可變?yōu)?/p>

由式(4)可知，只要再給從動輪一個補償位移 Ei時，實際齒面 Σ1和 Σ2上的實際接觸點1Q和2Q就會在理論嚙合點iM 處嚙合．可見，矢量 MiQ1和 MiQ2之差在 ni方向的分量使得實際齒面和理論共軛齒面在iM 點處沿著嚙合線方向產(chǎn)生大小為 Δi的偏差，使其偏離了預定的運動規(guī)律．這種真實值和理論值之間的偏差正是齒輪副在該時刻的運動誤差．

圖1 齒輪副整體誤差的數(shù)學模型Fig.1 Mathematical model of the GPIE

從偏差產(chǎn)生的原因來講，MiQ1是主動輪在iM 點的原始偏差矢量，MiQ2是從動輪在 Mi點的原始偏差矢量，分別由主從動輪的各單項偏差(如基圓齒距偏差、齒廓偏差等)在該點的綜合作用引起．

從上述數(shù)學模型可知，在主從動輪的原始誤差矢量中，只有沿嚙合線 n方向的分量最終引起齒輪副的運動誤差，從而影響傳動質量．

齒輪副整體誤差把主、從動輪所有共軛齒面上的誤差視為一個整體，并把各共軛齒面上各接觸點的誤差按實際嚙合順序統(tǒng)一在嚙合線(或嚙合線族)上而形成的一種齒輪副誤差集合．從而把主、從動輪的幾何量誤差和齒輪副傳動時的運動量誤差合為一體，把齒輪誤差和齒輪傳動時的傳動特性聯(lián)系在一起，組成一個完整的集成體．

圖1中iM點的齒輪副整體誤差iF可以表示為

式中MiQ1·n和 MiQ2·n分別表示主從動輪的各單項偏差在嚙合線方向綜合作用的效果．

齒輪整體誤差反映了齒輪各單項偏差在嚙合線方向的綜合作用[13]，設 fi1、fi2分別為主從動輪在接觸點 Mi的齒輪整體誤差，則有

由式(5)～式(7)可得，在任意的接觸點iM 處齒輪副整體誤差和主從動輪整體誤差存在的關系為

在齒輪整體誤差理論中，規(guī)定齒廓誤差曲線上的“＋”偏差代表齒面凸起的誤差[3]，式(8)中，把使從動輪滯后的齒輪副整體誤差規(guī)定為“－”．

1.2 單元齒輪副整體誤差曲線

把齒輪副整體誤差用誤差曲線[12]的形式記錄下來即可得到齒輪副整體誤差曲線．由齒輪的結構特點和齒輪嚙合原理可知，相鄰兩嚙合齒對的齒輪副整體誤差曲線相對獨立，單對齒的齒輪副整體誤差曲線是齒輪副整體誤差曲線的基本組成單元，因此，把單對齒的齒輪副整體誤差曲線稱為單元齒輪副整體誤差曲線．

單元齒輪副整體誤差曲線由3部分組成，如圖2所示，依據(jù)嚙合順序依次是：、和，描述了一個嚙合齒對的完整嚙合過程．其中：段和段分別是從動輪和主動輪的頂刃嚙合階段，段是正常漸開線嚙合階段．理論單元齒輪副整體誤差曲線方程可表示[11,14]為

式中：rb1*和 rb2*分別為主、從動輪的實際基圓半徑；rb1和rb2分別為主、從動輪的理論基圓半徑；αt1和αt2分別為主、從動輪的齒頂壓力角；Z2為從動輪齒數(shù)；A0為長周期誤差的幅值；ω2為從動輪回轉角頻率；Bn為短周期誤差的幅值；ωg為嚙合角頻率；φn為短周期誤差的相位角；fpb1、fpb2分別為主、從基圓齒距偏差．

圖2 單元齒輪副整體誤差曲線Fig.2 Unit GPIE curve

2 齒輪副整體誤差曲線的獲取方法

由式(8)可知，齒輪副整體誤差可采用間接測量法獲得．首先利用齒輪整體誤差儀器 CZ450測量主從動輪的齒輪整體誤差，然后合成得到齒輪副整體誤差曲線．間接法獲取齒輪副整體誤差時，分為2步．

1)單元齒輪副整體誤差曲線的獲取

以平行軸直齒輪副為例[15]．圖 3表示了平行軸漸開線直齒輪副的幾何特點，主動輪O1和從動輪O2均為有誤差的實際齒輪，繞著各自的固定軸線旋轉．齒輪副的整個嚙合過程都在接觸面上進行，圖 3中的中間圖表示接觸面的投影圖，其中，用粗實線組成的矩形為嚙合域，接觸面上間隔為基節(jié)bP的直線帶表示齒輪副各嚙合齒對的接觸線．在齒輪嚙合過程中，對于主動輪齒面的任意一個接觸點，從動輪對應的共軛齒廓上有且只有一點與之對應．

主動輪上的輪齒是從齒根域附近的實際工作部分起點 R1開始接觸，最后從齒頂 T1脫離接觸；從動輪則相反，從齒頂 T2開始接觸，最后從齒根域附近的有效工作部分起點R2脫離接觸．當主動輪轉過Δθ1時，從動輪將會轉過相應的 Δθ2(Δθ1Δ θ2= i12，i12為傳動比)，這時主動輪和從動輪上的接觸點又組成共軛對，它們彼此的齒輪整體誤差共同構成該時刻的等效齒輪副整體誤差．

在接觸面上，建立圖 3所示的直角坐標系x0O0y0，稱為接觸面坐標系，其中，x0軸為接觸線的對稱線，用來表示接觸點距原點的橫向位置，縱坐標y0用來表示接觸點的軸向位置．在接觸面坐標系中，坐標對與嚙合過程中的接觸點一一對應．

在接觸面坐標系中，任意接觸點(x,y)的齒輪副整體誤差可以表示為

式中： (,)Fxy為齒輪副在接觸點(,)xy處的齒輪副整體誤差；1(,)fxy、2(,)f xy分別為主、從動輪在接觸點(,)xy處的齒輪整體誤差．

圖3 單元齒輪副整體誤差曲線的算法原理Fig.3 Basic arithmetic about unit GPIE curves

2) 完整嚙合周期上的齒輪副整體誤差曲線的獲取

用相同的方法得到所有嚙合齒對的單元齒輪副整體誤差曲線，最后根據(jù)它們實際的嚙合順序在接觸面坐標系中統(tǒng)一在一起，就得到完整嚙合周期上的齒輪副整體誤差曲線．

在完整嚙合周期中，主、從動輪的轉數(shù)分別為：N1=z2z1, z2，N2=z1z1, z2，其中， z1,z2為 z1和 z2的最大公因數(shù)．

這種移除其他齒的研究方法，可以在不考慮其他相鄰齒對影響下計算出嚙合齒對的齒輪副整體誤差，避開了實際齒輪嚙合過程中雙齒嚙合給測量帶來的不便．它可以應用于任何類型的齒輪，不僅僅局限于漸開線齒形，可以應用于平行軸齒輪副，也可以應用于交錯軸齒輪副．

3 測量系統(tǒng)及測量實例

以前述齒輪副整體誤差獲取方法為理論基礎，采用面向對象的程序設計方法，在齒輪整體誤差測量儀CZ450的硬件基礎上開發(fā)了齒輪副整體誤差測量系統(tǒng)．主界面是典型的Windows應用軟件風格，包含菜單欄、工具欄、狀態(tài)欄和客戶區(qū)窗口等．

圖4為齒輪副整體誤差測量系統(tǒng)的總體架構，分為3個模塊：硬件和數(shù)據(jù)采集模塊、齒輪整體誤差測量和存儲模塊以及齒輪副整體誤差計算和存儲模塊．其中，硬件和數(shù)據(jù)采集模塊是以齒輪整體誤差測量儀CZ450的硬件結構為基礎，重新設計和開發(fā)測量誤差數(shù)據(jù)采集單元，測量數(shù)據(jù)采集流程如圖5所示；齒輪為105．圖6所示為獲得的齒輪副整體誤差曲線及其幅頻曲線．整體誤差測量和存儲模塊主要由數(shù)據(jù)處理算法單元、誤差數(shù)據(jù)存儲單元和誤差數(shù)據(jù)輸出顯示單元組成[16]．數(shù)據(jù)處理算法單元采用最新的齒輪精度標準和規(guī)范來進行齒輪各項誤差數(shù)據(jù)的處理．

圖4 測量系統(tǒng)總體架構Fig.4 Architecture of the measuring system

表1 齒輪參數(shù)Tab.1 Gear’s parameters

圖5 測量數(shù)據(jù)采集流程Fig.5 Flow chart of measurement data

齒輪副整體誤差計算和存儲模塊由用戶交互單元、數(shù)據(jù)搜尋單元、GPIE算法單元、GPIE數(shù)據(jù)庫和輸出顯示單元 5部分組成．其中，GPIE算法單元為整個測量系統(tǒng)的關鍵模塊，涉及的關鍵問題有3個．

(1) 確定主從動輪實際工作部分及其對應的誤差數(shù)據(jù)，并按照實際嚙合順序重新排序．其中，主動輪是從齒根域附近的實際工作部分起點進入嚙合，到齒頂處終止嚙合，而從動輪則是從齒頂開始，到實際工作部分起點處結束．

(2) 主從動輪對應共軛點處齒輪整體誤差的二次插值計算．根據(jù)傳動比，搜尋和計算主從動輪一一對應的共軛點及其對應的誤差值，如果前面測量得到的誤差數(shù)據(jù)中沒有對應共軛點的誤差值，則需要根據(jù)前后相鄰 2點的誤差值來插值計算．由于 1個輪齒上的數(shù)據(jù)采集點比較密集，一般為 100～130個采集點，因此這里選擇線性插值．

(3) 依據(jù)單元齒輪副整體誤差曲線的基本算法合成各共軛點處的齒輪副整體誤差值，并進行驗證．

另外，整個測量系統(tǒng)具有統(tǒng)一的系統(tǒng)流程管理服務層，為實現(xiàn)測量系統(tǒng)的各功能提供管理服務，主要包括用戶管理、數(shù)據(jù)規(guī)劃、算法管理和各類測量數(shù)據(jù)、誤差數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)庫管理．

在齒輪副整體誤差測量系統(tǒng)中，對表1所示的齒輪副進行測量．測量中，每個齒面上的數(shù)據(jù)采集點數(shù)

圖6 齒輪副整體誤差曲線及其幅頻曲線Fig.6 GPIE curve and the spectrum of the gear pair as shown in Tab.1

4 齒輪副整體誤差的優(yōu)點

(1) 齒輪副整體誤差曲線的外包絡線就是空載時的傳動誤差(transmission error，TE)曲線，如圖7所示．相對于傳動誤差，齒輪副整體誤差包含的誤差信息更全面，它既可以評定齒輪副的傳動質量，又可分析誤差來源于哪一對或哪幾對齒面，還可以研究在雙嚙區(qū)時，同時參與嚙合的2對輪齒的誤差是如何相互影響傳動質量，從而為更好地控制齒輪副的傳動質量，為調整齒輪工藝和改進齒輪設計提供了依據(jù)．

(2) 齒輪副整體誤差結合了主從動輪的整體誤差，不僅反映了嚙合過程中主從動輪誤差相互作用的結果，更重要的是反映了主從動輪誤差相互作用的形式和過程，尤其揭示了嚙合齒對的交替過程[17]．

(3) 齒輪副整體誤差把主從動齒輪的幾何誤差與齒輪副的運動誤差緊密地結合起來，能揭示有誤差的齒輪的實際嚙合過程和齒輪幾何誤差對傳動質量的影響[18]．

(4) 利用齒輪副整體誤差，可以研究齒輪承載后的誤差變化趨勢；與動力學結合，能研究齒輪沖擊，進而預報齒輪的動態(tài)特性，如振動和噪聲[19]．

圖7 齒輪副整體誤差曲線和傳動誤差曲線的比較Fig.7 Comparison between the GPIE curve and the TE curve

5 結 語

齒輪副整體誤差把主、從動輪所有共軛齒面上的誤差視為一個整體，提供了共軛齒面上完整的誤差信息，克服了傳動誤差在研究問題中的局限性，既可進行齒輪嚙合過程的研究和傳動質量的評定，又可用于誤差溯源，進行齒輪工藝誤差的分析．齒輪副整體誤差獲取方法，以齒輪整體誤差測量技術為基礎，既解決了傳動誤差測量中存在的問題，又發(fā)展了我國首創(chuàng)的齒輪整體誤差理論．開發(fā)的齒輪整體誤差測量系統(tǒng)可以提供齒輪副完整嚙合周期上的誤差數(shù)據(jù)和完整的誤差信息．

因此，對齒輪副整體誤差進行剖析，研究與之相關的其他齒輪問題，能夠得出一系列從前難以得到的結果，為齒輪的選配、控制齒輪傳動質量、降低齒輪振動和噪聲提供了一種新途徑．

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