楊世勇，張景輝，譚 翚

（煙臺(tái)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，山東煙臺(tái)264005）

1 引言

在經(jīng)典控制理論中，根軌跡法是一種分析和設(shè)計(jì)線性定常系統(tǒng)的圖解方法，由于它具有方便快捷的特點(diǎn)，已經(jīng)成為經(jīng)典控制理論中最基本的方法之一。關(guān)于根軌跡法校正，有不少文獻(xiàn)給出了較詳細(xì)的介紹［1、2]，還總結(jié)出了一些具體實(shí)現(xiàn)方法，如幾何法、解析法等，它們的校正補(bǔ)償器都采用固定的結(jié)構(gòu)模式。然而，實(shí)踐中控制對(duì)象通常是較復(fù)雜的，因此在實(shí)際的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，校正補(bǔ)償器有時(shí)不必拘泥于采用某種固定的模式，而應(yīng)該以達(dá)到預(yù)期的性能指標(biāo)為目的，方法越簡(jiǎn)單越好。倒立擺是自動(dòng)控制領(lǐng)域典型的控制對(duì)象，經(jīng)常用來(lái)研究和檢驗(yàn)控制策略與方法［3] ［4]。本文以直線一級(jí)倒立擺為研究對(duì)象，采用一種根軌跡校正法，無(wú)須繁瑣的幾何作圖和復(fù)雜的數(shù)學(xué)解析，僅需遵循繪制根軌跡的基本原則和一些定性的分析，便完成了控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，達(dá)到了預(yù)期的性能指標(biāo)，方法簡(jiǎn)單、快捷，對(duì)于高階控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值。

2 控制對(duì)象的建模及其分析［3] ［4]

若忽略各種阻力和摩擦力，可將直線一級(jí)倒立擺抽象成小車和均勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 倒立擺示意系統(tǒng)

圖中小車質(zhì)量 M＝1.096kg，擺桿質(zhì)量 m＝0.109kg，半桿長(zhǎng)l＝0.25m，小車摩擦系數(shù)b＝0.1N／m／sec，擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I＝0.0034kgm2，重力加速度g＝9.8m／s2，φ 是擺桿與垂線向上的夾角（rad），x是小車的水平位移（m），u是加在小車上的控制。倒立擺是一個(gè)多變量系統(tǒng)，而經(jīng)典控制理論研究的對(duì)象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，因此本文只探討對(duì)擺桿角度的平衡控制問(wèn)題。運(yùn)用牛頓力學(xué)定律建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，消掉中間變量，將方程在平衡點(diǎn)（φ＝0，x＝0）附近線性化處理，經(jīng)過(guò)整理后可以得到以控制u為輸入、擺桿角度φ為輸出的倒立擺對(duì)象開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

其中 q＝［（M+m）（I+ml2）-（ml）2]

代入實(shí)際參數(shù)后：

對(duì)控制對(duì)象的模型分析如下：

（1）開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)

一個(gè)零點(diǎn)：z0＝0（原點(diǎn)處）；

三個(gè)極點(diǎn)：p1＝-5.2780，p2＝-0.0830，p3＝5.2727（在右半平面）。

（2）校正前開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡如圖2（a）所示，由于存在一個(gè)右極點(diǎn)，系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定，其脈沖響應(yīng)如圖2（b）所示。

3 根軌跡法的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)［5] ［6]

控制系統(tǒng)原理如圖3（a）所示，在圖中輸出被控量y為擺桿與垂直線的夾角，輸入給定r＝0，即擺桿垂直角度的控制目標(biāo)為零，f是對(duì)系統(tǒng)施加的脈沖擾動(dòng)，u是加在小車上的控制?？紤]到給定r＝0，原理圖變換成圖 3（b）所示。

圖2 校正前系統(tǒng)的根軌跡及脈沖響應(yīng)

圖3 基于根軌跡法校正的原理圖

系統(tǒng)設(shè)計(jì)的性能指標(biāo)要求為：試設(shè)計(jì)控制器以產(chǎn)生合適的控制u，使得擺桿能夠克服外界脈沖擾動(dòng)f的影響，以較小的超調(diào)量σ%＜1.5%，較短的調(diào)節(jié)時(shí)間ts＜2s恢復(fù)到垂直平衡的位置。根軌跡法控制器設(shè)計(jì)的基本思想是借助根軌跡曲線進(jìn)行控制系統(tǒng)的校正設(shè)計(jì)。由于決定系統(tǒng)性能的主導(dǎo)極點(diǎn)往往不在系統(tǒng)的根軌跡上，而添加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)可使根軌跡曲線發(fā)生改變，因此只要在s平面恰當(dāng)?shù)奈恢迷鎏黹_(kāi)環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)，使得閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡出現(xiàn)的方位和形狀朝有利于性能提高的方向變化，就能夠達(dá)到期望的性能指標(biāo)要求。下面將詳細(xì)介紹校正設(shè)計(jì)的全過(guò)程。

第1步：在原點(diǎn)處添加一個(gè)極點(diǎn)p0＝0，抵消掉原點(diǎn)處的零點(diǎn)z0＝0。這是對(duì)圖2（a）的根軌跡圖分析后采取的初步策略。這時(shí)根軌跡變?yōu)閳D4，還剩下三個(gè)極點(diǎn)：p1＝－5.2780，p2＝－0.0830，p3＝5.2727，它們是對(duì)應(yīng)的三條根軌跡的起點(diǎn)，其中第一條起于p1，在負(fù)實(shí)軸上向左終止于無(wú)限遠(yuǎn)處，而后兩條根軌跡在正實(shí)軸上會(huì)合后分別向上向下分離，并分別沿著與正實(shí)軸成±60度的兩條漸近線，向右半平面終止于無(wú)限遠(yuǎn)處，它們永遠(yuǎn)不會(huì)到達(dá)左半平面，系統(tǒng)不會(huì)穩(wěn)定。

圖4 消掉原點(diǎn)處零點(diǎn)后的根軌跡

第2步：基于主導(dǎo)極點(diǎn)的初步校正。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，而且還要滿足期望的性能指標(biāo)，必須設(shè)法使右半平面的兩條根軌跡“調(diào)頭”轉(zhuǎn)向左半平面，而且迫使它們的方位和形狀有利于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能。根據(jù)根軌跡“起于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)”和“對(duì)稱于實(shí)軸”的基本規(guī)律，應(yīng)在左半平面“恰當(dāng)?shù)亍碧砑觾蓚€(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)z1和z2，問(wèn)題的關(guān)鍵是如何確定z1和z2的具體位置。由于根軌跡的實(shí)質(zhì)是系統(tǒng)閉環(huán)特征根在s平面上變化的軌跡，因此要確定兩個(gè)零點(diǎn)，即“終點(diǎn)”的位置，必須首先研究根軌跡“路徑”即特征根所應(yīng)遵循的規(guī)律。

由于倒立擺是一個(gè)高階系統(tǒng)，它應(yīng)具有一對(duì)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)，其位置對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能起決定性的影響，因此可把系統(tǒng)近似成二階欠阻尼系統(tǒng)來(lái)處理，相應(yīng)地可把對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)要求轉(zhuǎn)化為對(duì)系統(tǒng)希望的主導(dǎo)極點(diǎn)位置的要求［5]。本文中對(duì)系統(tǒng)期望的性能指標(biāo)為：超調(diào)量σ%＜1.5%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts＜2s。圖5展示了二階欠阻尼系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)位置、結(jié)構(gòu)參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系。根據(jù)對(duì)性能指標(biāo)超調(diào)量的要求 σ%＜1.5%，對(duì)應(yīng)的阻尼比 ξ＞0.8，圖中β＝arcosξ＝arcos0.8≈37°，則可確定期望的主導(dǎo)極點(diǎn)應(yīng)位于圖中β＜37°且β＞－37°虛線夾角的扇形區(qū)域內(nèi)。對(duì)調(diào)節(jié)時(shí)間 ts＜2s，由 ts＝4／ξωn得 ξωn＝4／ts＝4／2＝2，可知希望的主導(dǎo)極點(diǎn)應(yīng)在圖中垂直虛線（小于－2）之左?，F(xiàn)在要同時(shí)滿足超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間的指標(biāo)，希望的極點(diǎn)應(yīng)位于圖5中黑線區(qū)域以內(nèi)。

圖5 確定主導(dǎo)極點(diǎn)范圍的示意圖

通過(guò)對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的位置與動(dòng)態(tài)性能關(guān)系的進(jìn)一步研究表明［5] ［6]：要提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性以減小響應(yīng)超調(diào)，應(yīng)使閉環(huán)極點(diǎn)靠近實(shí)軸；要提高系統(tǒng)的快速性，則閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離虛軸；要求動(dòng)態(tài)過(guò)程盡快結(jié)束，應(yīng)該使閉環(huán)極點(diǎn)在容許的區(qū)域內(nèi)遠(yuǎn)離原點(diǎn)。但閉環(huán)極點(diǎn)距離虛軸或原點(diǎn)也不宜過(guò)遠(yuǎn)，否則控制力會(huì)過(guò)大，在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和硬件上會(huì)受到制約。綜合上述的分析并根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，可以將“希望的主導(dǎo)極點(diǎn)范圍”限制在圖5中下列區(qū)域：①必須在黑線區(qū)域以內(nèi)；②盡量靠近負(fù)實(shí)軸；③相對(duì)比較靠近－2垂直線。

參考上述主導(dǎo)極點(diǎn)的范圍，確定兩個(gè)零點(diǎn)的位置就比較有把握了。為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，取兩個(gè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)，初步將兩個(gè)零點(diǎn)確定在負(fù)實(shí)軸上的z1＝－2和z2＝－3的位置，此時(shí)繪制的根軌跡如圖6（a）所示，根軌跡的“形狀”達(dá)到了預(yù)期的目的：使右半平面的兩條根軌跡“調(diào)頭”轉(zhuǎn)向了左半平面，在負(fù)實(shí)軸上會(huì)合后，終止于這兩個(gè)零點(diǎn)。

第3步：檢驗(yàn)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)。通過(guò)第1步和第2步，共添加了一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和兩個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，為了檢驗(yàn)校正后控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，根據(jù)圖3的原理圖，在Matlab環(huán)境下編寫程序代碼，構(gòu)建倒立擺閉環(huán)控制系統(tǒng)，以單位脈沖信號(hào)來(lái)模擬干擾輸入f，計(jì)算并觀察閉環(huán)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)輸出y，程序中充分利用了Matlab提供的函數(shù)rlocfind［7]，它能使用戶非常容易得到根軌跡上的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根軌跡增益K，使得程序設(shè)計(jì)非常簡(jiǎn)便。在圖6（a）的根軌跡上，在其“希望的主導(dǎo)極點(diǎn)范圍”段上選取了一對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)-2.48+0.09i和-2.48-0.09i，并返回了增益值K＝85.5871來(lái)求取相應(yīng)的閉環(huán)脈沖響應(yīng)。此時(shí)擺桿角度的單位脈沖響應(yīng)如圖6（b）所示，可以看出系統(tǒng)的穩(wěn)定性和超調(diào)量滿足要求，但調(diào)節(jié)時(shí)間ts＞3s較長(zhǎng)，系統(tǒng)性能還有進(jìn)一步完善的空間。

圖6 初步校正后系統(tǒng)根軌跡及脈沖響應(yīng)

第4步：進(jìn)一步完善的校正。根據(jù)前面的研究表明，為了縮短調(diào)節(jié)時(shí)間，應(yīng)將主導(dǎo)點(diǎn)的位置向左做適當(dāng)移動(dòng)，這只需將兩個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的位置向左適當(dāng)移動(dòng)，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步調(diào)整，最終將兩個(gè)零點(diǎn)的位置確定為 z1＝-3 和 z2＝-4。此時(shí)的根軌跡如圖 7（a），按照與前面同樣的原則和方法，最終得到的單位脈沖響應(yīng)圖7（b）。系統(tǒng)的性能得到了提高，基本達(dá)到了預(yù)期的設(shè)計(jì)目標(biāo)。通過(guò)上述探討作出如下總結(jié)。

圖7 最終校正后系統(tǒng)根軌跡及脈沖響應(yīng)

實(shí)際的控制對(duì)象通常復(fù)雜多樣，有時(shí)可不拘泥于固定的方式，需要具體問(wèn)題具體分析，設(shè)計(jì)方法越簡(jiǎn)單快捷越好。因此在著手進(jìn)行根軌跡校正之前，要對(duì)控制對(duì)象的零極點(diǎn)分布情況、根軌跡曲線的特點(diǎn)和對(duì)象的特性進(jìn)行認(rèn)真的研究和分析。

對(duì)于高階或復(fù)雜系統(tǒng)的校正，通常不能一步到位，往往需要幾個(gè)步驟才能完成。本文首先在原點(diǎn)處添加一個(gè)極點(diǎn)消掉那里的零點(diǎn)，可使得下一步的校正工作更為簡(jiǎn)化。

采用根軌跡校正法要遵循根軌跡的基本法則，靈活運(yùn)用，不必?fù)傅锰?，面面俱到；開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)對(duì)根軌跡曲線的影響乃至對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)性能的影響是根軌跡校正法的基礎(chǔ)和靈魂。

本文的“主導(dǎo)極點(diǎn)法”是將高階系統(tǒng)近似成二階系統(tǒng)的處理方法，是一種很近似的工程設(shè)計(jì)方法，實(shí)際中要具體問(wèn)題具體分析，靈活應(yīng)用，不容易一步到位，往往還需根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行反復(fù)校正。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)倒立擺控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題，采用了一種根軌跡方法，完成了控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，滿足了預(yù)期的性能指標(biāo)。它以達(dá)到性能指標(biāo)為目的，以分析和改進(jìn)根軌跡曲線為主要手段，無(wú)須常規(guī)方法的幾何作圖或數(shù)學(xué)解析，設(shè)計(jì)過(guò)程簡(jiǎn)單、直觀、快捷，對(duì)于高階控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值。

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