高靜華，梁 波

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)

0 引言

微積分中，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的核心內(nèi)容，對于其它導(dǎo)數(shù)建立相應(yīng)的微積分理論也有部分研究，比如本文涉及的對稱導(dǎo)數(shù)(［1］)，其在文獻［2，3，4］中已有部分結(jié)果。不同于微積分中的普通導(dǎo)數(shù)(參考［5］)，在文獻［1］中，介紹了對稱導(dǎo)數(shù)的定義、運算法則及中值定理。這篇文章里，在［1］的基礎(chǔ)上，考慮對稱導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用價值，探討其和函數(shù)的單調(diào)性、極值之間的關(guān)系。

為文章完整性，先給出對稱導(dǎo)數(shù)定義:

定義1(參考［1］) 設(shè)函數(shù)f是定義在開區(qū)間J上的函數(shù)，［a，b］是J上的閉子區(qū)間，x∈［a，b］。若極限

則稱此極限的f在點x的對稱導(dǎo)數(shù)，記作fs(x)。

從對稱導(dǎo)數(shù)定義來看，如果一個函數(shù)在x點具有經(jīng)典導(dǎo)數(shù)，那么它一定對稱可導(dǎo)，并且導(dǎo)函數(shù)是相同的，這是因為:

假設(shè)函數(shù)f(x)在x點具有經(jīng)典導(dǎo)數(shù)，這意味著存在數(shù)f'(x)使得

驗證極限

上述討論，簡單地說就是可導(dǎo)必對稱可導(dǎo)。反之不是不對的，反例可參考文獻［1］和［2］。

下面逐一介紹對稱導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性，極值等問題上的結(jié)論。

1 主要結(jié)果

定理1(嚴格單調(diào)的充分條件)設(shè)函數(shù)f在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，fs在開區(qū)間(a，b)上存在且?x∈(a，b)，有fs(x)＞0(fs(x)＜0)，則函數(shù)f在區(qū)間［a，b］上嚴格增加(嚴格減少)。

證明僅證明嚴格增加的情況，類似的思路可證嚴格減少的情況。

?x1x2∈［a，b］，且x1＞x2，由對稱導(dǎo)數(shù)的廣義微分中值定理(定理內(nèi)容見［1］)，存在y1∈(a，b)，使得

于是，f(x1) ＞f(x2)，即函數(shù)f在［a，b］上嚴格增加。

在數(shù)學(xué)分析中，通過通常的導(dǎo)數(shù)的正負性可判斷一些函數(shù)的單調(diào)性。在這里，通過定理1可以發(fā)現(xiàn)，用對稱導(dǎo)數(shù)的正負性來判斷函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用的范圍廣了很多，這是由于通常的導(dǎo)數(shù)比對稱導(dǎo)數(shù)更強造成的。

通過例1可以知道，f在0點不存在通常的導(dǎo)數(shù)，所以無法借助通常的導(dǎo)數(shù)來解決此題，但f的對稱導(dǎo)數(shù)存在，可用定理1來解決這個問題，這是研究對導(dǎo)數(shù)的價值和優(yōu)點所在。以定理1為基礎(chǔ)，可獲得函數(shù)極值的判別法。

證明僅證極大點的情況，類似方法可證極小點的情況。?x∈(a-δ，a)，由題設(shè)知f在［a-δ，a］上連續(xù)，在(a- δ，a)上對稱導(dǎo)數(shù)存在且fs(x) ＞0，應(yīng)用定理 1，函數(shù)f在(a-δ，a］嚴格增加，即?x∈(a-δ，a］，有f(x)≤f(a)。

同理，?x∈(a，a+δ)，f在［a，a+δ］上連續(xù)，在(a，a+ δ)上對稱導(dǎo)數(shù)存在且fs(x) ＜0，由定理1，函數(shù)f在［a，a+δ)嚴格減少，則?x∈［a，a+δ)，有f(x)≤f(a)。

于是，?x∈(a-δ，a+δ)，有f(x)≤f(a)，即a是函數(shù)f的極大點，f(a)是極大值。

例2證明0是函數(shù)f(x)=|x|的一個極小點。

分析由于f(x)在0點不存在通常的導(dǎo)數(shù)，所以不能利用通常的導(dǎo)數(shù)來解決這個問題，但f(x)在0點存在對稱導(dǎo)數(shù)且fs(0)=0，套用定理2的條件可以證得此題，由此也進一步體現(xiàn)了對稱導(dǎo)數(shù)的優(yōu)點。

定理3函數(shù)f在a的某鄰域U(a)存在二階對稱導(dǎo)數(shù)，且fs(a)=0，f和fs連續(xù)。

1)當fss(x)＞0(?x∈U(a))時，a是極小點;

2)當fss(x)＜0(?x∈U(a))時，a是極大點。

證明僅證明情況1)，情況2)類似可證。由題設(shè)，?δ＞0，使得fs在［a-δ，a+δ］?U(a)上滿足廣義微分中值定理(參考［1］)條件，?x1(a-δ，a+δ)，使得

由定理2知，a是函數(shù)f的極小點。

例3證明0 是函數(shù)f(x)={x2，x≥0，2x2，x＜0，的極小點。

分析函數(shù)f在0點不存在二階通常的導(dǎo)數(shù)，所以不能利用通常的高階導(dǎo)數(shù)辦法解決此題，但我們可以利用定理3，因為fs(0)=0且即fss＞0，由定理3得證0是極小點。

關(guān)于對稱導(dǎo)數(shù)的研究不止于此，經(jīng)典微積分中涉及的有關(guān)導(dǎo)數(shù)的研究及應(yīng)用能否延伸到對稱導(dǎo)數(shù)上來，仍是較為有趣的問題。

［1］汪林.數(shù)學(xué)分析問題研究與評注［M］.北京:科學(xué)出版社，1995.

［2］梁波，王玉斌.對稱導(dǎo)數(shù)及其相關(guān)理論［J］.渤海大學(xué)學(xué)報，2004，12(4):25-28.

［3］祝英杰，李冠英.二元函數(shù)的對稱偏導(dǎo)數(shù)及其相關(guān)理論［J］.長春大學(xué)學(xué)報，2007(10):20-23.

［4］周相泉，于興江.對稱導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)［J］.聊城師院學(xué)報，1994，7(2):17-20.

［5］劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義［M］.北京:高等教育出版社，1992.