王晶，紀(jì)超，曹柳林，靳其兵

(北京化工大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京，100029)

無模型自適應(yīng)控制器將不依賴被控對象具體數(shù)學(xué)模型的“泛模型”和某些“控制功能”模塊相結(jié)合[1-2]，采用邊建模邊控制的方式，得到新的觀測數(shù)據(jù)后，再建模再控制，使每次得到的“泛模型”逐漸精確，從而控制器的性能也隨之得到改善。無模型自適應(yīng)控制作為一種不依賴于對象數(shù)學(xué)模型的簡單、有效、具有廣泛適用性的先進(jìn)控制策略，在很多復(fù)雜過程控制中得到成功應(yīng)用[3]。但是對于相同的控制系統(tǒng)而言，不同的控制器參數(shù)所得到的控制效果完全不同。特別是當(dāng)工況發(fā)生改變時(shí)，對象特性將發(fā)生一些變化，當(dāng)前控制器參數(shù)可能造成響應(yīng)曲線的振蕩，導(dǎo)致生產(chǎn)事故的發(fā)生[4]。同時(shí)，當(dāng)代社會(huì)對節(jié)能減排的要求也越來越高，而較好的控制效果可以達(dá)到節(jié)能減排的目的。要獲得較好的控制效果，就需要較好的控制器參數(shù)。因此，優(yōu)化控制器參數(shù)是非常必要的。本文作者首先針對MFAC中的關(guān)鍵因素“泛模型”進(jìn)行改進(jìn)，由一階擴(kuò)展為二階“泛模型”，使得每次迭代得到的“泛模型”更加精確，從而大大提高控制精度。然后針對現(xiàn)階段無模型自適應(yīng)控制領(lǐng)域中參數(shù)整定問題研究較少的現(xiàn)狀，提出適用于改進(jìn)無模型自適應(yīng)控制的基于下降梯度法的參數(shù)優(yōu)化整定算法，并運(yùn)用不同的性能指標(biāo)進(jìn)行控制器參數(shù)整定和結(jié)果對比分析研究。

1 基于二階泛模型的改進(jìn)無模型自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

1.1 二階“泛模型”

對于一般離散時(shí)間非線性系統(tǒng)：

其中：y(k)和u(k)分別為系統(tǒng)的輸出與輸入；m和n分別為系統(tǒng)階數(shù)[5]。

首先假設(shè)：

假設(shè)1：系統(tǒng)(1)是輸入輸出可觀測的，可控制的。即：對某一系統(tǒng)一致有界的期望輸出信號 y*( k+ 1)，存在一致有界的可行控制輸入信號，使得系統(tǒng)在此控制輸入信號的驅(qū)動(dòng)下其輸出等于系統(tǒng)的期望輸出。

假設(shè)2：f (…)關(guān)于系統(tǒng)當(dāng)前的控制輸入信號u(k)的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。

假設(shè)3：系統(tǒng)(1)是廣義Lipsehitz的，即滿足對任意時(shí)刻的k和 Δu(k )≠0有：

其中：Δ y(k +1)=y(k+1) -y(k )；Δu(k)=u(k)-u(k -1)；b是1個(gè)大于0的常數(shù)。

對非線性系統(tǒng)(1)，如果滿足以上假設(shè)條件，那么當(dāng) Δu(k )≠0和 Δu(k - 1)≠0時(shí)，一定存在偽偏導(dǎo)數(shù)φ1(k )和φ2(k )，使得系統(tǒng)可以用下式表示[6]：

簡寫為：

稱式(3)為系統(tǒng)(1)的二階“泛模型”(Second-order universal model)。眾所周知，系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的輸出不僅與當(dāng)前時(shí)刻的輸入有關(guān)，而且與以前時(shí)刻的輸入相關(guān)，因此，上述二階泛模型的提出可以代表更廣泛的系統(tǒng)信息。

1.2 基于二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制規(guī)律

1.2.1 控制規(guī)律導(dǎo)出

考慮如下的控制輸入準(zhǔn)則函數(shù)：

其中：λ是權(quán)重因子； y*( k+ 1)是k+1時(shí)刻的給定值。λ[u (k)-u(k-1)]2的引入，使得控制輸入量的變化受到約束，且能克服穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。將式(3)代入式(5)，并對u(k)求導(dǎo)，令其為0，得：

根據(jù)下降梯度法，得：

其中：ρk(0＜ρk≤2)是步長序列[6]。

從控制律算法(6)可以看出：此類控制系統(tǒng)與受控系統(tǒng)參數(shù)數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)階數(shù)無關(guān)，僅用系統(tǒng)I/O數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)[7]。

1.2.2 偽偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)

傳統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)應(yīng)該是極小化系統(tǒng)模型輸出與系統(tǒng)真實(shí)輸出之差的平方，然而，應(yīng)用此類準(zhǔn)則函數(shù)推導(dǎo)出的參數(shù)估計(jì)算法在估計(jì)參數(shù)時(shí)，其參數(shù)的估計(jì)值經(jīng)常變化太快，或者就是對某些突變的個(gè)別不準(zhǔn)的干擾過于敏感，為此，提出如下新的參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)：

其中：y(k)為k時(shí)刻系統(tǒng)的輸出；μ1和μ2為權(quán)重因子。分別對 φ1(k )和φ2(k )求導(dǎo)并令其等于 0，得到偏偽導(dǎo)數(shù)估計(jì)：

其中：1η和2η為步長序列。

2 二階“泛模型”無模型控制器參數(shù)整定

針對無模型自適應(yīng)控制器參數(shù)較多、不易得到合適參數(shù)的特點(diǎn)，必須對其進(jìn)行控制器參數(shù)整定。首先，二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制器的可調(diào)參數(shù)為1ρ，2ρ，λ，1η，2η，1μ和2μ。經(jīng)過工程實(shí)踐與大量仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：λ，1η，2η，1μ和2μ對控制器影響很小，因此，參數(shù)整定的重點(diǎn)在于1ρ和2ρ。而2ρ又是在二階“泛模型”概念提出后才出現(xiàn)，根據(jù)式(6)可知：其在(0, 2)之間取定后，只要與1ρ的比值一定，對系統(tǒng)的影響并不明顯。因此，對于整個(gè)二階“泛模型”無模型控制器參數(shù)整定的核心在于1ρ的優(yōu)化。

參數(shù)優(yōu)化算法需要根據(jù)離線數(shù)據(jù)對被控對象辨識出一個(gè)簡單的模型，該模型只是被控對象的近似，在此對任何高階復(fù)雜對象均使用二階加純滯后模型近似，由于參數(shù)整定效果并未因辨識誤差較大而變差，因此此時(shí)的系統(tǒng)辨識并不違反無模型控制的宗旨。即假設(shè)所有對象經(jīng)系統(tǒng)辨識均近似為二階慣性純滯后對象，

式中：τ為純滯后時(shí)間。

傳統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化算法比較簡單[8]，基本原理較容易理解，使用起來比較方便，計(jì)算量不大。但對于比較復(fù)雜的被控對象，傳統(tǒng)整定方法難以使用。因此，需要選擇一種優(yōu)化精度高且可以適用于較為復(fù)雜的被控對象的參數(shù)優(yōu)化算法，而梯度下降法可以很好地滿足以上要求。

2.1 性能指標(biāo)的選取

二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制器的參數(shù)優(yōu)化就是尋找合適的控制器參數(shù)，即使在工況發(fā)生變化的時(shí)候，系統(tǒng)仍具有較小的超調(diào)量，較快的響應(yīng)速度和較高的控制精度。根據(jù)性能要求不同，參數(shù)優(yōu)化時(shí)所采用的目標(biāo)函數(shù)也大不相同。

2.1.1 ISE系列目標(biāo)函數(shù)

最優(yōu) PID控制器參數(shù)整定算法由 Zhuang等[9]提出，其最優(yōu)準(zhǔn)則為：

式中：e(θ,t)為進(jìn)入控制器的誤差信號；θ為控制器參數(shù)構(gòu)成的集合。在最優(yōu)準(zhǔn)則中考慮了3個(gè)n的取值，即n=0，1，2。當(dāng)n=0時(shí)，為誤差平方(ISE)準(zhǔn)則；當(dāng)n=1時(shí)，為時(shí)間加權(quán)的誤差平方積分(ISTE)準(zhǔn)則；當(dāng)n=2時(shí)，為時(shí)間平方加權(quán)的誤差平方積分(ISTTE)準(zhǔn)則[10]。

下面針對n=0時(shí)，采用梯度下降參數(shù)優(yōu)化算法進(jìn)行推導(dǎo)。

首先，將性能指標(biāo)(11)轉(zhuǎn)化成離散形式，即：

最終根據(jù)式(6)、(10)和(12)聯(lián)立，得到基于 ISE性能指標(biāo)的梯度下降法參數(shù)優(yōu)化算法：

2.1.2 IAE系列目標(biāo)函數(shù)

經(jīng)常使用的還有誤差絕對值積分(IAE)以及誤差絕對值與時(shí)間乘積的積分(ITAE)最小為目標(biāo)的調(diào)節(jié)規(guī)律[11]，其表達(dá)式分別如式(14)和式(15)所示：

類似于ISE性能指標(biāo)優(yōu)化算法的推導(dǎo)過程，可以得到基于IAE性能指標(biāo)的梯度下降法參數(shù)優(yōu)化算法：

2.1.3 Jeu目標(biāo)函數(shù)

上述各準(zhǔn)則考慮了綜合性能指標(biāo)，包括響應(yīng)速度、穩(wěn)定性和超調(diào)量這些指標(biāo)。它使用起來比較方便，但是如果控制器對某一性能指標(biāo)的要求較高，例如：要求最大超調(diào)量最小、峰值時(shí)間最短、上升時(shí)間最短等，上述表達(dá)式難以實(shí)現(xiàn)。因此，提出了組合目標(biāo)函數(shù)[12]。

為了獲得滿意的過渡性能和動(dòng)態(tài)特性，采用誤差平方積分性能指標(biāo)作為參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。同時(shí)為了避免超調(diào)量過大，在目標(biāo)函數(shù)中加入了控制器輸出的平方項(xiàng)。目標(biāo)函數(shù)為：

式中：e(t)為系統(tǒng)誤差；u(t)為控制器的輸出；1ω和2ω為權(quán)值。其參數(shù)優(yōu)化算法為：

另外，也可以在性能指標(biāo)(17)的基礎(chǔ)上加入對超調(diào)量δ、上升時(shí)間tr等約束條件，即：

2.2 改進(jìn)無模型控制的參數(shù)整定算法實(shí)現(xiàn)

運(yùn)用梯度下降法對二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制器的參數(shù)整定思路如下：

(1) 根據(jù)離線數(shù)據(jù)對被控對象辨識出 1個(gè)簡單的模型；

(2) 根據(jù)控制要求，選取參數(shù)優(yōu)化的性能指標(biāo)；

(3) 將其余無需參數(shù)整定的控制器參數(shù)進(jìn)行設(shè)定；

(4) 根據(jù)式(6)可知1ρ的選取范圍為(0, 2)，因此，在參數(shù)整定時(shí)，在該范圍內(nèi)選擇初始值；

(5) 根據(jù)性能指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果得到?J?1ρ；

(6) 運(yùn)用下降梯度法對1ρ進(jìn)行調(diào)整，即

(7) 判斷是否滿足性能指標(biāo)要求，若滿足，則參數(shù)整定結(jié)束；若沒達(dá)到要求，則跳轉(zhuǎn)到第 5步繼續(xù)整定。

上述(5)～(7)步為運(yùn)用梯度下降法進(jìn)行二階“泛模型”無模型控制參數(shù)優(yōu)化的步驟，如圖1所示。

圖1 梯度下降法參數(shù)優(yōu)化流程圖Fig.1 Flow chart of parameter optimization of gradient descent method

3 仿真研究

針對三容水箱的三階慣性純滯后對象為[13]：

其中：靜態(tài)增益K=5；慣性時(shí)間常數(shù)T=3；純滯后時(shí)間τ=60。

3.1 二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制仿真研究

從式(6)可以看出：2ρ的作用是減弱無模型自適應(yīng)控制器的控制作用，使得控制器輸出更加穩(wěn)定與準(zhǔn)確。

仿真參數(shù)為：

改進(jìn)無模型自適應(yīng)控制器控制參數(shù)為：

ρ1=0.003 5；ρ2=0.35；λ=2；μ=2；ε=0.1；

MFAC控制參數(shù)ρ=0.002 8(其余參數(shù)同二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制器)。相對于ρ1來說，ρ2的數(shù)量級較大。因?yàn)閺氖?6)可知： y*(k+1) -y(k )＞＞Δu(k -1)。二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制器與MFAC控制方法的系統(tǒng)響應(yīng)曲線對比如圖2所示。

圖2 改進(jìn)MFAC與常規(guī)MFAC響應(yīng)曲線對比Fig.2 Comparison of improved MFAC and MFAC

由圖2可知：二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制算法與MFAC的調(diào)節(jié)時(shí)間分別為326 s和523 s；超調(diào)量分別為1.40%和0.14%；而上升時(shí)間分別為216 s和300 s。可以看出：在2種控制方法中，二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制器的調(diào)節(jié)時(shí)間最短，相比MFAC快近200 s，盡管超調(diào)量比MFAC的略大，但滿足控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求(2%)，上升時(shí)間也較快，并且在1 000 s時(shí)，當(dāng)被控對象特性發(fā)生了改變時(shí)，二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制算法依舊最先到達(dá)新穩(wěn)態(tài)值，并且無超調(diào)，因此，二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制具有較好的魯棒性和較快的響應(yīng)速度。

3.2 二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制參數(shù)優(yōu)化的仿真研究

參數(shù)優(yōu)化算法需要根據(jù)離線數(shù)據(jù)對被控對象辨識出一個(gè)簡單的模型，如圖3所示，可以看出實(shí)際對象與辨識出的近似對象相差很大。實(shí)際對象與辨識對象對比如下。

根據(jù)辨識結(jié)果可以看出：辨識出的被控對象參數(shù)與實(shí)際對象偏差很大，這就說明在二階“泛模型”無模型控制器的參數(shù)整定中辨識對象不需要較高的精度，并且運(yùn)用簡單的二階純滯后對象即可對所有高階被控對象近似，適用范圍廣。接下來根據(jù)辨識出的對象帶入?yún)?shù)優(yōu)化算法對實(shí)際三階純滯后對象進(jìn)行控制器參數(shù)優(yōu)化。

圖3 實(shí)際對象與辨識對象的階躍響應(yīng)曲線Fig.3 Step response for real and identified objective

3.2.1 ISE系列目標(biāo)函數(shù)參數(shù)優(yōu)化仿真

運(yùn)用下降梯度法為優(yōu)化算法，并以式(11)為目標(biāo)函數(shù)對二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制器進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如圖4所示，分析結(jié)果如表1所示。

當(dāng)n=0時(shí)著重權(quán)衡大的誤差，在初始值1ρ=0.01時(shí)，控制系統(tǒng)具有較短的上升時(shí)間，但超調(diào)較大，在實(shí)際系統(tǒng)中往往存在偏差小但波動(dòng)次數(shù)多，調(diào)節(jié)時(shí)間長，系統(tǒng)穩(wěn)定裕量偏小等缺點(diǎn)；當(dāng)n為1和2時(shí)較少考慮大的起始誤差，著重權(quán)衡過渡過程后期出現(xiàn)的誤差，有較好的選擇性，反映系統(tǒng)的快速性和精確性，相比較而言，ISTE的優(yōu)化效果最好。

3.2.2 IAE系列目標(biāo)函數(shù)參數(shù)優(yōu)化仿真

運(yùn)用目標(biāo)函數(shù)式(14)和(15)對二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制器進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，優(yōu)化控制效果如圖 5所示，優(yōu)化迭代次數(shù)及最終參數(shù)結(jié)果如表2所示。

圖4 目標(biāo)函數(shù)分別為ISE，ISTE和ISTTE的參數(shù)優(yōu)化效果Fig.4 Comparison of ISE, ISTE and ISTTE parameter optimization effects

表1 ISE系列目標(biāo)函數(shù)參數(shù)優(yōu)化效果對比Table 1 Results of ISE, ISTE and ISTTE parameter optimization

表2 IAE系列目標(biāo)函數(shù)參數(shù)優(yōu)化效果對比Table 2 Results of IAE and ITAE parameter optimization

IAE所具有的性質(zhì)與式(11)的相同，ITAE與其有較大不同。從圖5可以看出：當(dāng)初始參數(shù)1ρ=0.01時(shí)，兩者的優(yōu)化效果并沒有明顯差異，但當(dāng)初始值為1ρ=0.001時(shí)，ITAE優(yōu)化出的參數(shù)明顯比IAE的好。ITAE對剛開始的誤差要求比較低，而對響應(yīng)曲線最后出現(xiàn)的誤差要求比較高。它體現(xiàn)了控制系統(tǒng)所要求的快速性和精確性的品質(zhì)。因此，它經(jīng)常在優(yōu)化或整定過程中得到應(yīng)用。

3.2.3 對比總結(jié)

將上述各種目標(biāo)函數(shù)中優(yōu)化效果最好的幾種性能指標(biāo)進(jìn)行對比，以便得到最佳目標(biāo)函數(shù)。

首先，通過對下降梯度法參數(shù)優(yōu)化的仿真可以看出：在辨識模型與實(shí)際模型相差較大的情況下，仍可以將二階“泛模型”無模型自適應(yīng)控制器參數(shù)調(diào)整到較好的程度，證明本優(yōu)化算法可以只運(yùn)用二階純滯后模型，便可以優(yōu)化任何高階復(fù)雜的真實(shí)對象，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

由圖6及表3可以看出：ISTE目標(biāo)函數(shù)主要對較大的誤差求和。以此為目標(biāo)函數(shù)整定出來控制參數(shù)的響應(yīng)曲線，具有快速的上升速度，需要較短的上升時(shí)間。但是，超調(diào)量比較大，穩(wěn)定所需要的時(shí)間比較長，往往經(jīng)過多次較小的偏差波動(dòng)才能穩(wěn)定。因此，不能很好滿足控制的要求。

而ITAE目標(biāo)函數(shù)相對于ISTE來說，優(yōu)化效果相對較好，穩(wěn)定性更好一些。但是，相比于帶約束條件的Jeu，穩(wěn)定性與快速性都差。這里在Jeu性能指標(biāo)的基礎(chǔ)上增加了約束條件：超調(diào)量δ小于1%；上升時(shí)間tr＜300 s，即如式(19)所示。此類Jeu-tr型指標(biāo)對應(yīng)的優(yōu)化迭代次數(shù)最少，更加實(shí)用與快速。因此，為了滿足綜合控制性能的要求，選擇Jeu-tr作為目標(biāo)函數(shù)對無模型自適應(yīng)控制器進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化能得到最好的結(jié)果。

圖5 目標(biāo)函數(shù)分別為IAE和ITAE的參數(shù)優(yōu)化效果Fig.5 Comparison of IAE and ITAE parameter optimization effects

圖6 目標(biāo)函數(shù)分別為ISTE，Jeu-tr和ITAE的參數(shù)優(yōu)化效果Fig.6 Comparison of ISTE, Jeu-tr and ITAE parameter optimization effects

表3 目標(biāo)函數(shù)參數(shù)優(yōu)化效果對比Table 3 Results of ISTE, Jeu-tr and ITAE parameter optimization

4 結(jié)論

(1) 本文基于無模型自適應(yīng)控制中“泛模型”的概念，從提高控制過程中“泛模型”精度的角度出發(fā)，提出了二階“泛模型”概念，給出了基于二階“泛模型”的無模型自適應(yīng)控制(Second order universal MFAC)算法，并推導(dǎo)了控制器和泛模型的迭代求解方程。與常規(guī)無模型自適應(yīng)控制比較的仿真結(jié)果表明，該方法具有較快的響應(yīng)速度，并且對過程對象參數(shù)的攝動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性。

(2) 為了解決改進(jìn)無模型自適應(yīng)控制器參數(shù)整定問題，提出了下降梯度參數(shù)優(yōu)化算法，針對不同類型的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。仿真結(jié)果說明了該參數(shù)優(yōu)化算法的有效性；采用帶約束條件的誤差平方與控制器輸出平方加權(quán)(Jeu)為目標(biāo)得到的參數(shù)控制效果最佳，適宜二階“泛模型”MFAC的參數(shù)整定。

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