張菊梅

(渭南師范學(xué)院，陜西渭南714000)

0 引言

考慮常系數(shù)對(duì)流占優(yōu)方程

其中擴(kuò)散系數(shù)ε＞0，對(duì)流系數(shù)p是常數(shù)，q也是常數(shù)，此方程的形式簡(jiǎn)單，但是一般情況下對(duì)流系數(shù)應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于擴(kuò)散系數(shù)，因此在邊界附近的變化速率很大，一般數(shù)值求解方法(如中心差分法、Galerkin有限元方法)求解，在參數(shù)ε很小的情況下要達(dá)到一定精度，需要有比較多的節(jié)點(diǎn)才能滿(mǎn)足，這樣不但增加了計(jì)算量，而且數(shù)值穩(wěn)定性也比較差.

小波-DQ法是在微分求積(DQ)法的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的求解微分方程邊值問(wèn)題新的方法［1］，通過(guò)應(yīng)用該方法對(duì)變截面直桿縱振動(dòng)問(wèn)題的求解，充分驗(yàn)證了本方法的實(shí)用性和有效性.同時(shí)，數(shù)值結(jié)果顯示小波-DQ法是求解微分方程邊值問(wèn)題的一種計(jì)算簡(jiǎn)單、高精度的新方法.本文將以對(duì)流占優(yōu)方程為例，對(duì)小波-DQ法的算法設(shè)計(jì)進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹.

1 小波-DQ法

小波-DQ法是在微分求積(DQ)法的基礎(chǔ)之上，以多分辨分析理論為理論基礎(chǔ)，通過(guò)引入插值小波基函數(shù)［2－3］，形成了新的微分方程邊值問(wèn)題的求解方法——小波-DQ法.經(jīng)過(guò)對(duì)力學(xué)方面相關(guān)問(wèn)題的應(yīng)用，已經(jīng)顯示出該方法的有效性.

2 對(duì)流占優(yōu)方程

對(duì)于以下對(duì)流占優(yōu)方程［4］

3 算法設(shè)計(jì)

小波-DQ法的基本思想是用整個(gè)計(jì)算區(qū)域或某一坐標(biāo)方向上所有網(wǎng)格點(diǎn)處函數(shù)值的加權(quán)和來(lái)近似替代函數(shù)在各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，在這里插值基函數(shù)我們選取具有插值性的小波函數(shù)［5］

3.1 參數(shù)初始化

clc

J=4;b0=1;xr=1;xl=0; %參數(shù)輸入

n1=2^J; %內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)

n2=1; %外節(jié)點(diǎn)數(shù)

n=n1+2*n2+1; %節(jié)點(diǎn)總數(shù)

e=0.01; % 對(duì)流占優(yōu)方程的擴(kuò)散系數(shù)

3.2 對(duì)區(qū)間內(nèi)的配置點(diǎn)

由于邊界點(diǎn)附近的函數(shù)局部變化得劇烈一些，因而在左右邊界附近各取N個(gè)外尺度函數(shù)，這時(shí)區(qū)間Ω上的函數(shù)就可由這2N個(gè)外小波配置點(diǎn)和2J+1個(gè)內(nèi)小波配置點(diǎn)表示.

3.3 小波在配置點(diǎn)處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值

for m=－2^(L+j－1) －N+1：2^(L+j－1)+N－1

for k=－2^(L+j－1) －N+1：2^(L+j－1)+N－1

y=xiaobo1(L，j，b0，xr，xl，k，x(m+2^(L+j－ 1)+N+1));

%這里的xiaobo是函數(shù)名，可根據(jù)需要選取不同的小波函數(shù)

A(m+2^(L+j－1)+N，k+2^(L+j－1)+N)=y(1);% 函數(shù)值

B(m+2^(L+j－1)+N，k+2^(L+j－1)+N)=y(2);% 一階導(dǎo)數(shù)值

C(m+2^(L+j－1)+N，k+2^(L+j－1)+N)=y(3);% 二階導(dǎo)數(shù)值

end

end

3.4 計(jì)算對(duì)流占優(yōu)方程的系數(shù)矩陣及數(shù)值解

E=－e*C+B+A;

for m=－2^(L+j－1) －N+1：2^(L+j－1)+N－1

for k=－2^(L+j－1) －N+1：2^(L+j－1)+N－1

H(m+2^(L+j－ 1)+N，k+2^(L+j－ 1)+N)=D(：，k+2^(L+j－ 1)+N)'*

E(m+2^(L+j－ 1)+N，：)';

end

b(m+2^(L+j－1)+N)=1;

end

y21=H'; %不含邊界點(diǎn)的數(shù)值解

y2=［0，y21'，0］; % 此對(duì)流占優(yōu)方程在所有配置點(diǎn)上的所有數(shù)值解

3.5 對(duì)流占優(yōu)方程的精確解

l1=(1+sqrt(1+4*e))/(2*e);l2=(1－sqrt(1+4*e))/(2*e);

y1=(1－exp(l2))*exp(l1*x)/(exp(l2)－exp(l1))－(1－exp(l1))*

exp(l2*x)/(exp(l2)－exp(l1))+1;

3.6 繪制圖形(如圖1)

圖1 在不同的取值下對(duì)流占優(yōu)問(wèn)題的解(—精確解，＊＊＊本文數(shù)值解)

figure()

plot(x，y1，x，y2，'.'，'MarkerSize'，10)

hold on

set(gca，'fontsize'，15) % 設(shè)置刻度疏密

axis(［0 1 0 0.2］) % 設(shè)置橫縱坐標(biāo)范圍

title(＇Shannon 小波作為插值基函 '，'FontSize'，16，'FontName'，'楷書(shū) ');%設(shè)置標(biāo)題數(shù)字和漢字類(lèi)型

text(0.3，0.15，'epsilon=1.0'，'FontSize'，16) % 圖中標(biāo)記符號(hào)插入程序段

4 結(jié)果分析

本文選取Shannon小波函數(shù)作為插值基函數(shù)，在擴(kuò)散系數(shù)取小數(shù)值ε=0.1，0.01，0.005時(shí)，在邊界點(diǎn)附近及隨機(jī)選取的節(jié)點(diǎn)處點(diǎn)誤差見(jiàn)表1.從計(jì)算結(jié)果看，本方法在節(jié)點(diǎn)數(shù)相對(duì)較少的情況下都能得到比較理想的數(shù)值擬合結(jié)果，如圖1(a)、(b)、(c)、(d)所示.

表1 在擴(kuò)散系數(shù)取小數(shù)值時(shí)，在邊界點(diǎn)附近及隨機(jī)選取的節(jié)點(diǎn)處點(diǎn)誤差

由于方程隨著ε的減小，函數(shù)局部變化隨之劇烈，如ε=0.005時(shí)方程的解，見(jiàn)圖1(d)，邊界附近出現(xiàn)了數(shù)值比較大的震蕩.可是，當(dāng)取J=6時(shí)，對(duì)震蕩現(xiàn)象得到改善，逼近效果變好，如圖2所示，表明小波-DQ法可以根據(jù)需要調(diào)整節(jié)點(diǎn)的變化，保證收斂性以及對(duì)奇異性的有效性.

根據(jù)小波-DQ法的基本思想，本文以對(duì)流占優(yōu)方程的定解問(wèn)題為例，應(yīng)用matlab程序?qū)υ撍惴ㄟM(jìn)行了實(shí)現(xiàn)，并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，該方法理論可靠，算法簡(jiǎn)單，易于操作，而且計(jì)算精度很高.值得注意的是，由于我們?nèi)×送庑〔ǎ吔绺浇臄?shù)值震蕩沒(méi)有出現(xiàn)，而且逼近效果很好.

圖2 對(duì)流占優(yōu)問(wèn)題的解(ε =0.005，J=6，— 精確解，＊＊＊ 本文數(shù)值解)

5 小結(jié)

本文以對(duì)流占優(yōu)方程為例，應(yīng)用matlab程序通過(guò)對(duì)小波-DQ算法進(jìn)行了簡(jiǎn)單介紹，這為該方法后續(xù)的研究打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也為研究該方法的其他應(yīng)用提供了參考.

［1］張菊梅.小波微分求積法研究及其應(yīng)用［D］.西安：西安理工大學(xué)碩士學(xué)位論文，2010.

［2］Bertoluzza S.A Wavelet Collocation Method for the Numerical Solution of Partial Pifferential Equations［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，1996，(3)：1 －9.

［3］Comincioli V，Naldi G，Scapolla T.A wavelet-based method for numerical solution of nonlinear evolution equations［J］.Applied Numerical Mathematics，2000，33：291 －297.

［4］趙鳳群，張培茹，張瑞平.兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的小波配點(diǎn)法［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26(6)：947－950.

［5］張菊梅，趙鳳群，黨曉敏.變截面彈性直桿縱振動(dòng)分析的小波-DQ法［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2010，32(4)：71－73.