查淑玲

(渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西渭南714000)

流行性傳染病是嚴(yán)重威脅人類健康的疾病，而病毒性感染是現(xiàn)代社會(huì)傳染病流行的重要因素.病毒感染正在給人類的生命財(cái)產(chǎn)帶來巨大的損失.描述與理解這類病毒感染的動(dòng)力學(xué)原理，對深入研究病毒性感染與抗病毒治療有著基礎(chǔ)性的意義.

在病毒動(dòng)力學(xué)研究中，通常將未被感染的細(xì)胞、已被感染的細(xì)胞和病毒作為分析的三個(gè)變量［1］.其相互作用過程為：一個(gè)未被感染的細(xì)胞被病毒感染之后，再伴隨著被感染細(xì)胞的死亡而產(chǎn)生病毒.由于有一些被感染細(xì)胞需要較長時(shí)間來產(chǎn)生病毒［2－3］，為此將被感染細(xì)胞分為潛伏和活性兩階段是必要的，其中潛伏被感染細(xì)胞不能產(chǎn)生病毒，它會(huì)經(jīng)過一段時(shí)間后發(fā)展為活性被感染細(xì)胞，而活性的被感染細(xì)胞能直接生產(chǎn)病毒.文獻(xiàn)［4］在假定病毒處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，得到了病毒的基本再生數(shù)，給出了病毒最終滅絕及持續(xù)存在的條件.本文則在文獻(xiàn)［4］的模型中，去掉了假定病毒處于穩(wěn)定狀態(tài)的條件，分析了模型平衡態(tài)的穩(wěn)定性，給出了判別穩(wěn)定的條件.

具有階段結(jié)構(gòu)的病毒動(dòng)力學(xué)模型為

其中，x=x(t)為t時(shí)刻未被感染細(xì)胞的量，y=y(t)為潛伏被感染細(xì)胞的量，z=z(t)為活性被感染細(xì)胞的量，ν=ν(t)為病毒的量.假設(shè)未被感染的細(xì)胞以速率μ1A1/(1+mν)輸入，此輸入率隨病毒量的增加而降低，模型中參數(shù)的意義可參看文獻(xiàn)［4］.

由于系統(tǒng)(1)的相空間是四維的，參數(shù)較多時(shí)分析其動(dòng)力學(xué)性態(tài)比較困難，因此引入變量代換

1 無病平衡點(diǎn)穩(wěn)定性

系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)滿足方程

由方程(3)可知，系統(tǒng)的無病平衡點(diǎn)為P0(A，0，0，0)，另外系統(tǒng)還有一個(gè)疾病平衡點(diǎn)P*(x*，y*，z*，ν*).由(3)中第2式及第3式消去未知量y，可得

定理1 當(dāng)R0＜1時(shí)無病平衡點(diǎn)P0(A，0，0，0)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的;R0＞1時(shí)無病平衡點(diǎn)P0(A，0，0，0)是不穩(wěn)定的.

經(jīng)過計(jì)算得

又因條件R0＜1保證了σ2－δA+δAp＞δApε/(μ+ε) ＞0，由Hurwitz判據(jù)可知，矩陣J(P0)的另外三個(gè)特征值的實(shí)部均小于零，因此，R0＜1時(shí)無病平衡點(diǎn)P0(A，0，0，0)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的;而R0＞1時(shí)無病平衡點(diǎn) P0(A，0，0，0)是不穩(wěn)定的.

2 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

這里為了討論方便起見，不妨假設(shè)系統(tǒng)(2)中的參數(shù)μ=1.系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)P*(x*，y*，z*，ν*)處的雅克比矩陣為

定理2 當(dāng)B1B2B3－B＞0時(shí)地方病平衡點(diǎn)P*(x*，y*，z*，ν*)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的;當(dāng)B1B2B3－＜0時(shí)地方病平衡點(diǎn)P*(x*，y*，z*，ν*)是不穩(wěn)定的.

［1］Nowak M A，May R M.Virus Dynamics［M］.New York：Oxford University press，2000.

［2］McLean A R，Emery V C，Webster A，et al.Population dynamies of HIV within an individual after treatment With Zidovudine［J］.AIDS，1991，5(3)：485-459.

［3］王霞，陶有德，宋新宇.一類帶有肝炎B病毒感染的數(shù)學(xué)模型的全局穩(wěn)定性分析［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009，24(l)：1-8.

［4］查淑玲，李建全，楊亞莉.一類具有階段結(jié)構(gòu)的病毒動(dòng)力學(xué)模型［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2011，26(2)：286-292.

［5］Wu J H，Wei G S.Coexistence states for cooperative model with diffusion［J］.Computers and Mathematics with Applications，2002，43：1277-1290.