孫軍娜，徐小玲，馬保國

(1渭南師范學院數(shù)學與信息科學學院，陜西渭南714000;2延安大學西安創(chuàng)新學院，西安710100)

自從1963年J.C.Kelly［1］引入雙拓撲空間的概念以來，國內(nèi)外許多拓撲學者對其進行了一系列的研究［2－5］，使得雙拓撲空間構(gòu)成了拓撲學的一個研究分支.仿照分明拓撲學，鄭崇友［5］等首次借助 α-δ1δ2遠域族，將S-緊性、B-緊性引入到L-fuzzy雙拓撲空間.1995年，孟廣武［6］以強α－局部有限族為基礎(chǔ)，在L-fuzzy拓撲空間中引入層仿緊性.此后，文獻［7-8］基于幾乎α-遠域族，先后給出可數(shù)層仿緊集、幾乎可數(shù)層仿緊集的定義，研究后得到了若干結(jié)果.本文在現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)上，將幾乎可數(shù)層仿緊集引入到L-fuzzy雙拓撲空間中，對其相關(guān)性質(zhì)進行了討論，得出了許多結(jié)論.

本文中，L=(L，≤，∨，∧，')表示fuzzy格，L的最大元是1，最小元是0且1≠0.M(L)與M*(LX)分別表示L與LX的非零分子之集，P(L)表示L的非1元素之集.X是非空分明集，對A?X，χA表示A的特征函數(shù).LX表示X上的全體L-fuzzy集，其最大元與最小元分別是1X與0X.(LX，δ1，δ2)表示L-fuzzy雙拓撲空間，η(xα)與η－(xα)分別表示xα的遠域族和閉遠域族.對A∈LX及α∈M(L)，Ω?δ'1∪δ'2稱為A 的 α-δ1δ2遠域族(α-δ1δ2RF)，若 ?xα∈ A，?Q ∈ Ω，使 Q ∈ η－(xα);對 A ∈ LX，α ∈ M(L)，R ? LX，令 Aqα=∨{xα∈ M*(LX)|xα≮ A}，Rqα={Aqα|A ∈ R} .τα(A)={x∈ X|A(x) ≥ α}，lα'(A)=x∈X|A(x)α'}.對分明雙拓撲空間(X，τ1，τ2)，以R表示其任一可數(shù)開覆蓋，N(x)表示x的開鄰域系，φ表示分明空集.若A∈LX，則Ao，A－，A'分別表示L-fuzzy集A的內(nèi)部、閉包和偽補.其他未說明的概念與符號均見文獻［9］.

1 預(yù)備知識

定義 1［5］設(shè) δ1，δ2都是 LX上的 L-fuzzy 拓撲，則(LX，δ1，δ2) 稱為 L-fuzzy 雙拓撲空間.

定義2［6］設(shè)(LX，δ) 是 L-fuzzy拓撲空間，A ∈ LX，α ∈ M(L)，稱 Ω ={Bt∶t∈ T}? LX在 A 中強α-局部有限，若?xα∈A，存在分明集P使χp∈η(xα)且存在有限子集T0?T使?t∈T－T0，Bt≤χp.當A=1X時，簡稱Ω是強α-局部有限族.

引理1［8］設(shè) f∶(LX1，δ1) → (LX2，δ2) 是連續(xù)的 L-zadeh 型函數(shù)，A ∈ LX2，α ∈ M(L).若 △ ? LX2在A 中強 α-局部有限，則 f－1(△)={f－1(B)|B ∈ △} 在 f－1中強 α-局部有限.

定義3 設(shè)δ1，δ2都是非空集X上的L-fuzzy拓撲，A∈LX，α∈M(L)與Ω?2δ1'∪δ2'.若對于A中高為 α的任意分子xα(即xα∈M(LX)，xα≤A)，存在P∈Ω 使得xαPo，則稱 Ω 是A的幾乎 α-δ1δ2遠域族.

易知，A 的 α-δ1δ2遠域族［4］必是 A 的幾乎 α-δ1δ2遠域族.

2 幾乎可數(shù)層仿緊集的定義及刻畫

定義4 設(shè)(LX，δ1，δ2) 是 L-fuzzy雙拓撲空間，A ∈ LX，α ∈ M(L)，稱 A 是幾乎可數(shù)層 α-δ1δ2仿緊的，若對A的任一可數(shù)α-δ1δ2遠域族Ω，存在Ω余加細的有限子族Ψ，使得

(ⅰ)Ψ 是 A 的幾乎 α-δ1δ2遠域族;

(ⅱ)Ψ'∧A={D'∧A|D∈Ψ}在A中強α-局部有限.

若對?α∈M(L)，A都是幾乎可數(shù)層α-δ1δ2仿緊的，則稱A是幾乎可數(shù)層仿緊的.如果A=1X是幾乎可數(shù)層 α-δ1δ2仿緊的(幾乎可數(shù)層仿緊的)，則稱空間(LX，δ) 是幾乎可數(shù)層 α-δ1δ2仿緊的(幾乎可數(shù)層仿緊的).

定理1 設(shè)(LX，δ1，δ2) 是 L-fuzzy雙拓撲空間，B ∈ δ'1∪ δ'2，α ∈ M(L).

(ⅰ)如果A∈LX是幾乎可數(shù)層α-δ1δ2仿緊的，則A∧B是幾乎可數(shù)層α-δ1δ2仿緊的.

(ⅱ)如果A∈LX是幾乎可數(shù)層仿緊的，則A∧B是幾乎可數(shù)層仿緊的.

證明 只需證明(ⅰ).

設(shè) α∈M(L)且Φ是A∧B的可數(shù)α-δ1δ2遠域族.令Ω =Φ∪{B}，則Ω是A的可數(shù)α-δ1δ2遠域族，由A是幾乎可數(shù)層α-δ1δ2仿緊集知有余加細Ω的A的幾乎α-δ1δ2遠域族Ψ使得Ψ'∧A在A中強α-局部有限.

令S={D∈Ψ|D?B}，則S是A∧B的幾乎α-δ1δ2遠域族且是Φ的余加細.顯然，S'∧B∧A在A中強α-局部有限，從而S'∧B∧A在A∧B中強α-局部有限.因此A∧B是幾乎可數(shù)層α-δ1δ2仿緊的.

推論1 L-fuzzy雙拓撲空間中的幾乎可數(shù)層仿緊集對閉子集遺傳.

定理2 L-fuzzy雙拓撲空間中的幾乎可數(shù)層仿緊集對閉子空間遺傳.

定義5［8］稱集族{x}，x∈ X，是 X 的近似子覆蓋，若是X的覆蓋，即ii∈N

定義6 一個分明雙拓撲空間X是幾乎可數(shù)仿緊的當且僅當X的每一個可數(shù)開覆蓋都有一個局部有限的子集族，它的閉包覆蓋X，等價于：每一個可數(shù)開覆蓋都有一個局部有限的近似子覆蓋是它的加細.

定理3 設(shè)(LX－，δ1，δ2)是弱誘導L-fuzzy的雙拓撲空間，則下列條件等價：

(ⅰ)(LX－，δ1，δ2) 是幾乎可數(shù)層仿緊空間.

(ⅱ)?α ∈ M(L)，使得(LX－，δ1，δ2) 是幾乎可數(shù)層 α-δ1δ2仿緊空間 .

(ⅲ)(LX－，δ1，δ2) 的底空間(X，［δ1］，［δ2］) 是幾乎可數(shù)仿緊空間 .

證明 (ⅰ)?(ⅱ)顯然 .

(ⅱ)?(ⅲ) 設(shè) R是(X，［δ1］，［δ2］) 的任一可數(shù)開覆蓋，則χR'={χD'|D∈R} ?δ'是1X的可數(shù)α-δ1δ2遠域族.于是存在1X的幾乎 α-δ1δ2遠域族 Ψ ={Pt|t∈T}，使得 Ψ 是 χR'的余加細，且 Ψ'在1X中強 α-局部有限.令 Φ ={lα'(Pt')|(t∈ T}，則 Φ 是(X，［δ1］，［δ2］) 的近似開覆蓋.?t∈ T，?D ∈ R，使 χD'≤ Pt，從而 χD≥?lα'(χD)={x∈ X|χD(x) α'}={x∈ X|χD(x)=1} ? D，則 Φ是R的加細.?x∈X，有xα∈1X，從而存在分明閉集W使χW∈η(xα)，且存在T0?T使?t∈T－T0，，由于 αχW(x)，故 x? W，所以 W'=lα'(χW') ∈ N(x).若 ?t∈ T － T0使 W'≠ φ，則?y∈X 使y?W且αPt(y)≥χW'(y)=1，矛盾.可見，?t∈T －T0，W'=φ，所以Φ在(X，［δ1］，［δ2］) 中局部有限.則(LX，δ1，δ2) 的底空間(X，［δ1］，［δ2］) 是幾乎可數(shù)仿緊空間.

(ⅲ)?(ⅰ)?α ∈M(L)，設(shè) Ω 是1X的任一可數(shù) α-δ1δ2遠域族，則 lα'(Ω') 是(X，［δ1］，［δ2］) 的可數(shù)開覆蓋.于是存在(X，［δ1］，［δ2］) 的近似開覆蓋 Φ ={Bt|t∈T} 加細 lα'(Ω') 且在(X，［δ1］，［δ2］) 中局部有限.?t∈ T，?Qt∈ Ω ，使，令，t∈ T}，則 Ψ 是 Ω 的余加細.?xα∈1X，?Bt∈ Φ 使 x∈ Bt，從而 χB't∈ η(xα)，由α'知∈ η(xα)，故 χB't，則 Ψ 是1X的幾乎 α-δ1δ2遠域族.?xα∈1X，?W ∈ N(x) 及有限子集 T0? T，使 ?t∈ T－ T0，W ∩ Bt=lα'(Ψ).顯然 W ? B't，從而 χW≤ χB't≤ χBt'∨ Qt，所以 ?t∈ T － T0，有(χB't∨ Qt)'≤ χW'∈ η(xα).則 Ψ'∧ A(A ∈ LX) 在 A 中強 α-δ1δ2局部有限.得出結(jié)論，L-fuzzy雙拓撲空間(LX，δ1，δ2) 是幾乎可數(shù)層仿緊空間.

推論2 L-fuzzy雙拓撲空間中的幾乎可數(shù)層仿緊集具有“L-好的推廣”的性質(zhì).

3 幾乎可數(shù)層仿緊集的性質(zhì)

定理4 設(shè)f∶(LX，δ1，δ2) →(LY，σ1，σ2) 是連續(xù)的單滿閉的L-Zadeh型函數(shù)，α ∈M(L)，若?A∈LX是(LX，δ1，δ2) 中的幾乎可數(shù)層 α-δ1δ2仿緊集，則 f(A) ∈ LY是(LY，σ1，σ2) 中的幾乎可數(shù)層 α-δ1δ2仿緊集.

所以(f(Ψ))'∧f(A)在f(A)中強α-局部有限.

定理 5 設(shè) f∶(LX，δ1，δ2) →(LY，σ1，σ2) 是連續(xù)的單滿閉的 L-Zadeh型函數(shù)且 ?yα∈ M(LY)，(α ∈M(L))，f－1(yα) 是(LX，δ1，δ2) 中的幾乎可數(shù)層 α-δ1δ2仿緊集.若 B 是(LY，σ1，σ2) 中的幾乎可數(shù)層 α-δ1δ2仿緊集，則 f－1(B) 是(LX，δ1，δ2) 中的幾乎可數(shù)層 α-δ1δ2仿緊集.

證明 設(shè)α∈M(L)，Ω?δ'1∪δ'2是f－1(B)的可數(shù)α-δ1δ2遠域族，則不難驗證f(Ω)是B的可數(shù)α-δ1δ2遠域族，于是存在B的幾乎α-δ1δ2遠域族Ψ，使得Ψ是f(Ω)的余加細，且Ψ'∧B在B中強α-局部有限.考慮 f－1(Ψ)={f－1(P) ∶P∈ Ψ}，則f－1(Ψ) 是f－1(B) 的幾乎 α-δ1δ2遠域族且f－1(Ψ) 是 Ω 的余加細.?xα∈f－1(B)，存在唯一的y∈Y使f－1(y)=x，yα∈B從而存在分明雙拓撲空間中的閉集R∈η－(yα)及有限子集 Ψ0? Ψ 使 ?P∈ Ψ － Ψ0，P'∧B≤ χR.顯然f－1(R)是分明閉集，且 χf(－R1)∈ η－(xα)，由于 f是單、滿映射，故 ?P ∈ Ψ － Ψ0，f－1(P)=f－1(Ψ) － f－1(Ψ0)，且

所以 f－1(Ψ))'∧ f－1(B) 在 f－1(B) 中強 α-局部有限.

推論3 L-fuzzy雙拓撲空間中的幾乎可數(shù)層仿緊集具有弱拓撲不變性.

有關(guān)L-fuzzy雙拓撲空間中幾乎可數(shù)層仿緊集的進一步研究，我們將在以后的研究中繼續(xù)討論.

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［5］鄭崇友，張春冰.弱誘導的L-Fuzzy雙拓撲空間的緊致性與連通性［J］.首都師范大學學報，1995，16(4)：5－9.

［6］孟廣武.L-Fuzzy拓撲空間中的層仿緊集［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學，1995，9(2)：45 －50.

［7］孫軍娜，馬保國.L-Fuzzy拓撲空間中的可數(shù)層仿緊集［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2008，(增刊)：148－152.

［8］孫軍娜.L-Fuzzy拓撲空間中的幾乎可數(shù)層仿緊集［J］.紡織高?；A(chǔ)科學學報，2010，(9)：293－296.

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