許金余 ，劉 石

（1. 空軍工程大學(xué) 機(jī)場(chǎng)建筑工程系，西安 710038；2. 西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710072）

1 引 言

分形幾何創(chuàng)立于20世紀(jì)70年代，是由法國(guó)數(shù)學(xué)家Mandelbrot提出的以極不規(guī)則的幾何圖形為研究對(duì)象的一門學(xué)科[1]。在自然界中，有規(guī)則的現(xiàn)象是特殊的、近似的，分形幾何主要研究一些具有自相似性的不規(guī)則曲線和形狀，具有自反演性的不規(guī)則圖形以及具有自平方性的分形變換和自仿射分形集等。其中，自相似性的不規(guī)則曲線和形狀是分形幾何研究的主要內(nèi)容[2]。巖石從微觀損傷發(fā)展到宏觀破碎的演化過(guò)程是個(gè)分形，其結(jié)構(gòu)演化的幾何特征和物理、力學(xué)性質(zhì)的數(shù)字特征，均表現(xiàn)出較好的統(tǒng)計(jì)自相似性[3]。這種自相似性的行為導(dǎo)致了巖石破碎后碎塊塊度分布也具有自相似的特征，即是一個(gè)分形分布。因此，近些年來(lái)，分形理論在巖石力學(xué)上也得到了廣泛的應(yīng)用，特別是在巖石損傷、破碎、塊度分布、能量耗散等方面已建立了一些基本理論，從而為巖石破碎的研究提供了新的理論依據(jù)。

許多學(xué)者在這些方面做了大量的研究工作，取得了豐碩的成果。王利等[4]根據(jù)巖石分形斷裂切割巖塊的塊度形成機(jī)制，利用能量守恒關(guān)系，建立損傷–能量-碎塊尺寸理論關(guān)系式，并根據(jù)塊度分布的自相似性，將巖石塊度分布特性應(yīng)用于巖體塊度分布預(yù)測(cè)。王謙源等[5]采用分形分布節(jié)理模擬材料試件，研究了脆性巖體軸向抗壓強(qiáng)度與變形的尺度效應(yīng)，獲得的規(guī)律與實(shí)際巖體尺度效應(yīng)規(guī)律一致，并發(fā)現(xiàn)巖體變形的尺度效應(yīng)并非完全由節(jié)理閉合和剪切破壞引起，在節(jié)理剪切破壞之前，主要是由節(jié)理的剪切變形增大引起的。王志國(guó)等[6]運(yùn)用分形幾何理論研究了采動(dòng)巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)分形維數(shù)隨開采寬度、采場(chǎng)礦山壓力、巖層沉降的動(dòng)態(tài)演化規(guī)律，并分析了斷層對(duì)采動(dòng)巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)分布演化的影響以及采動(dòng)巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)在三帶的分布特征。

本文利用分離式Hopkinson壓桿試驗(yàn)系統(tǒng)，對(duì)大理巖進(jìn)行了沖擊加載試驗(yàn)，通過(guò)篩分統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)大理巖沖擊破碎碎塊的分布特征進(jìn)行分析，研究了加載速率對(duì)破碎碎塊分布的影響，建立了分形維數(shù)與巖石的比能量吸收之間的關(guān)系。

2 沖擊試驗(yàn)技術(shù)及設(shè)備

試驗(yàn)所采用的φ100 mm SHPB試驗(yàn)裝置（見圖1），主要由主體設(shè)備、能源系統(tǒng)、測(cè)試系統(tǒng)3大部分組成。主體設(shè)備包括：發(fā)射裝置、發(fā)射炮管、射彈、吸能裝置、桿件及其調(diào)整支架、操縱臺(tái)等；能源系統(tǒng)包括：空氣壓縮機(jī)、高壓容器及管道；測(cè)試系統(tǒng)包括：彈速測(cè)試系統(tǒng)及動(dòng)態(tài)應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)。壓桿材料為高強(qiáng)度合金，直徑為 100 mm，入射桿長(zhǎng)為4 500 mm，透射桿長(zhǎng)為2 500 mm，打擊桿長(zhǎng)為500 mm，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.25～0.3，密度為 7.85 g/cm3。利用空氣加壓給打擊桿加速并使用燈距為100 mm激光測(cè)速儀測(cè)量打擊桿撞擊的速度。

試驗(yàn)所采用的材料為取自陜西秦嶺山區(qū)的大理巖，呈灰白色，經(jīng)國(guó)土資源部西安礦產(chǎn)資源監(jiān)督檢測(cè)中心檢驗(yàn)鑒定，其主要成分為90%的白云石、3%的方解石、3%滑石和閃石、3%的白云母、1%的石英等。按照國(guó)際巖石力學(xué)學(xué)會(huì)(ISRM)的制樣要求，加工成φ100 mm×50 mm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱形試樣，端面平行度控制在±0.05 mm 以內(nèi)，表面平面度在±0.02 mm以內(nèi)。子彈沖擊加載速率設(shè)計(jì)為5個(gè)不同的等級(jí)，分別為11、12、13、14、15 m/s。

圖1 φ 100 mm SHPB裝置主體設(shè)備示意圖（單位：mm）Fig.1 Apparatus of 100 mm diameter SHPB (unit: mm)

3 大理巖的沖擊破碎形態(tài)

在沖擊加載試驗(yàn)中，不同的沖擊加載速率使得巖石破碎產(chǎn)生碎塊的尺寸和形狀均有所不同。圖 2為沖擊加載試驗(yàn)中試件破壞后產(chǎn)生的碎塊。當(dāng)加載速率較小，在11 m/s時(shí)，大理巖破裂成幾個(gè)比較大的塊狀碎塊；隨著沖擊載荷增大，碎塊數(shù)量增多，幾何形狀相應(yīng)減??；當(dāng)加載速率達(dá)到15 m/s時(shí)，巖石碎塊中會(huì)出現(xiàn)很多細(xì)粒碎塊，碎塊顆粒均勻而細(xì)小。從破碎程度來(lái)看，隨著加載速率的增加，試件的破碎越來(lái)越嚴(yán)重，巖石破碎的碎塊尺寸越來(lái)越小，塊數(shù)越來(lái)越多。從破碎形式來(lái)看，當(dāng)荷載增加到超過(guò)破壞閾值時(shí)，隨著加載速率的提高，試件的內(nèi)部裂紋擴(kuò)展程度加劇，呈現(xiàn)脆性斷裂破壞形態(tài)，破壞的形式是從塊狀到粉狀。

圖2 不同加載速率下大理巖的破壞形態(tài)Fig.2 Failure forms of marble samples under different loading speeds

4 大理巖沖擊破碎的分形特征

4.1 破碎塊度的分布

將沖擊試驗(yàn)后的巖石碎塊收集起來(lái)，采用2.5、5、10、16、20、25、31.5、40、50 mm標(biāo)準(zhǔn)篩，將巖石破碎塊度分為 0～2.5 mm、2.5～5 mm、5～10 mm、10～16 mm、16～20 mm、20～25 mm、25～31.5 mm、31.5～40 mm、40～50 mm、50～100 mm等10個(gè)等級(jí)。通過(guò)高靈敏度電子秤稱量每級(jí)篩上物的質(zhì)量，記錄試驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行塊度分析。不同加載速率下大理巖的破碎塊度分布規(guī)律如圖3所示。

圖3 不同加載速率下大理巖破碎塊度分布Fig.3 Fragment size distributions of marble with different loading speeds

為了更直觀地描述大理巖沖擊破碎塊度的分布規(guī)律，采用平均破碎塊度表示巖石的破碎程度[7]。

由圖3可知，不同加載速率下巖石產(chǎn)生的破碎塊度分布不同，隨著加載速率的增大，曲線初始斜率相應(yīng)增大，說(shuō)明小粒徑的碎塊增多，大粒徑碎塊相應(yīng)減少。通過(guò)數(shù)據(jù)對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)，隨著加載速率的增大，大（50 mm以上）、中粒徑（2.5～50 mm）的顆粒含量減少，小粒徑（2.5 mm以下）的含量增加。當(dāng)加載速率達(dá)到15 m/s時(shí)，巖石破碎較為嚴(yán)重，碎塊直徑主要集中于中、小粒徑。

如圖4所示，大理巖沖擊破碎的平均塊度隨著加載速率的增加迅速減小，當(dāng)子彈加載速率為11 m/s時(shí)，平均破碎塊度為67.56 mm，當(dāng)子彈加載速率達(dá)到15 m/s時(shí)，平均破碎塊度僅為16.67 mm，減小了75%。采用平均破碎塊度能夠較直觀地描述巖石的沖擊破碎情況。

圖4 大理巖的平均破碎塊度分布Fig.4 Average fragment size distribution of marble

4.2 分形維數(shù)的計(jì)算

按質(zhì)量-頻率關(guān)系度量[8]可以得到巖石沖擊破碎塊度的分布方程為

圖5給出了大理巖破碎塊度分維計(jì)算的雙對(duì)數(shù)關(guān)系曲線，可以看出，圖中擬合直線的相關(guān)性較好，說(shuō)明巖石破碎后的塊度分布具有很好的自相似性，即是一個(gè)分形分布。根據(jù)文獻(xiàn)[3]，這是由于巖石的宏觀破碎是由小破裂群體集中而形成的，小破裂又是由更微小的裂隙演化和集聚而來(lái)，這種自相似性的行為必然導(dǎo)致破碎后碎塊塊度也具有自相似的特征，所以可用碎塊的分形來(lái)描述沖擊破碎巖塊的形成過(guò)程。在沖擊荷載作用下，巖石破碎塊度的分形維數(shù)在一定的范圍內(nèi)上下浮動(dòng)，大理巖的塊度分形維數(shù)主要集中在1.5～2.5之間。分形維數(shù)不僅與外部作用環(huán)境有關(guān)，而且與巖石本身的性質(zhì)也有關(guān)系，它的變化在某種程度上代表了巖石材料內(nèi)部性質(zhì)的變化[9]。

4.3 分形維數(shù)與加載速率的關(guān)系

圖6為沖擊加載試驗(yàn)中大理巖的分形維數(shù)隨加載速率變化的關(guān)系曲線。

圖6 加載速率與分形維數(shù)的關(guān)系曲線Fig.6 Relationships between fractal dimension and loading speed

可以看出，分形維數(shù)隨著加載速率的升高呈上升趨勢(shì)，大致成線性關(guān)系，當(dāng)加載速率達(dá)到11 m/s時(shí)，分形維數(shù)為1.58，當(dāng)加載速率達(dá)到15 m/s時(shí)，分形維數(shù)增加到2.45。對(duì)比分形維數(shù)與巖石試件宏觀破壞發(fā)現(xiàn)，分形維數(shù)大的試件，碎塊數(shù)目多且尺寸較小，破碎程度較高，塊度的均勻性較好。

4.4 分形維數(shù)與能量吸收的關(guān)系

采用比能量吸收[10－11]來(lái)表征材料的韌性，其物理意義是：?jiǎn)挝惑w積的試驗(yàn)材料吸收應(yīng)力波能量的大小，該方法綜合考慮了試驗(yàn)中多個(gè)影響因子，比較接近材料韌性的實(shí)際值。比能量吸收ξ的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：E、C、A分別為壓桿的彈性模量、彈性波波速和橫截面積；、分別為試件的初始橫截面積和初始長(zhǎng)度；T為試件完全破壞時(shí)刻；、、分別為桿中的入射、反射、透射應(yīng)變。通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)分析巖石破碎分維與ξ值的關(guān)系見圖7。

圖7 分形維數(shù)與比能量吸收的關(guān)系曲線Fig.7 Relationships between fractal dimension and specific energy absorption

可以看出，巖石破碎的分形維數(shù)隨著比能量吸收值的增加而增加，也就是說(shuō)巖石吸收的能量越多，試件破碎的也就越徹底，分形維數(shù)也就越大。這是由于巖石的破壞是由于內(nèi)部大量的、各種尺度的裂隙的發(fā)育、擴(kuò)展、貫通所致，是巖石結(jié)構(gòu)中的初始細(xì)觀損傷發(fā)展到宏觀斷裂的結(jié)果，巖石吸收的能量越多，裂紋擴(kuò)展的越充分，碎塊產(chǎn)生的越多，破碎程度就越高，導(dǎo)致分形維數(shù)的值也就越大。分形幾何可以很好地描述自然界不規(guī)則事物的規(guī)律性，巖石碎塊的分形特征反映了巖石的破碎模式，分形幾何得到的破碎分形維數(shù)包含巖石破碎演化過(guò)程中的某種物理機(jī)制[12]。沖擊荷載作用下巖石的破碎過(guò)程，就是巖石遭受損傷到破壞的分形發(fā)展過(guò)程，破碎分維是表征巖石破碎程度的理想統(tǒng)計(jì)量。

5 結(jié) 論

（1）大理巖沖擊破碎的平均塊度隨著加載速率的增加迅速減小，當(dāng)加載速率為11 m/s時(shí)，平均破碎塊度為67.56 mm，當(dāng)加載速率達(dá)到15 m/s時(shí)，平均破碎塊度為16.67 mm，減小了75%。采用平均破碎塊度能夠較好地描述巖石的沖擊破碎情況。

（2）沖擊荷載作用下，大理巖的塊度分形維數(shù)主要集中在1.5～2.5之間，隨著加載速率的升高呈上升趨勢(shì)。對(duì)比分形維數(shù)與巖石試件宏觀破壞發(fā)現(xiàn)，分形維數(shù)大的試件，碎塊數(shù)目多且尺寸較小，破碎程度較高。

（3）由于巖石的破壞是由于內(nèi)部裂紋的發(fā)育、擴(kuò)展、貫通所致，吸收的能量越多，裂紋擴(kuò)展的越充分，碎塊產(chǎn)生的越多，破碎程度就越高，導(dǎo)致分形維數(shù)的值也就越大，因此，大理石破碎的分形維數(shù)隨著比能量吸收值的增加近似線性增加。

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