覃以威，何 映，孔文婕

（廣西師范大學(xué)，廣西 桂林 541004）

示波法測電容有多種方法，如用示波器觀測RC串聯(lián)電路電容和電阻兩端電壓峰－峰值的電壓法、用雙蹤示波器測RC串聯(lián)電路的電壓與電流相位差的相位差法等。但這些方法的共同缺點是操作不夠簡便，且測量準(zhǔn)確度不高。而通過用示波器觀察李薩如圖形判斷RLC串聯(lián)電路諧振現(xiàn)象，然后根據(jù)電路參數(shù)的關(guān)系確定待測電容值的方法，即示波諧振法，是一種較為簡便的方法。用這種方法測電容，只要選用精確度足夠高的標(biāo)準(zhǔn)電感、標(biāo)準(zhǔn)電阻和頻率計，且適當(dāng)選取電路參數(shù)，就能得到較高的測量準(zhǔn)確度。

1 測量電路與原理

測量電路如圖1所示，Cx為待測電容，L為標(biāo)準(zhǔn)電感，R為標(biāo)準(zhǔn)電阻，電感的內(nèi)阻和電容的損耗電阻之和為R′（圖中沒標(biāo)出）。將RLC串聯(lián)電路接在頻率f可調(diào)的信號發(fā)生器輸出端。通常情況下，串聯(lián)電路兩端的總電壓 和電路中總電流 之間的相位差為：

把總電壓U和歐姆電阻上的電壓UR（因為UR與I同相位，所以用它來代表電流信號）分別輸入示波器的Y輸入端和X輸入端，即可在示波器上得到反映兩者間相位差的李薩如圖形，如圖2所示，圖中A為李薩如圖形在豎直方向的最大幅度，B為李薩如圖形與Y軸相交的幅度。

圖1 測量電路圖

圖2 李薩如圖形

兩信號的相位差為

設(shè)f0為電路的諧振頻率，根據(jù)RLC串聯(lián)電路諧振的特性，當(dāng)信號頻率f＝f0時，滿足關(guān)系式

由（1）式得到此時的相位差φ＝0，電路處于諧振狀態(tài)，由（2）式得到B＝0，示波器上觀察到的李薩如圖形為一條位于一、三象限的直線，如圖3所示。由（3）式可得到：

圖3 李薩如圖形

測量時保持L不變，調(diào)節(jié)信號發(fā)生器輸出信號的頻率，同時觀察示波器上的李薩如圖形，當(dāng)李薩如圖形由橢圓變?yōu)橐?、三象限的一條直線時，電路處于諧振狀態(tài)，此時信號發(fā)生器輸出信號的頻率即為f0，由（4）式可求得電容器的電容值。

2 測量靈敏度

2.1 影響測量靈敏度的因素

（1）標(biāo)準(zhǔn)電感L和標(biāo)準(zhǔn)電阻R的取值對電路靈敏度的影響

本實驗的關(guān)鍵是尋找電路的諧振頻率，所以電路對諧振頻率的選擇性將直接影響測量的靈敏度。根據(jù)RLC電路諧振的特性，電路對諧振頻率的選擇性取決于電路的品質(zhì)因數(shù)Q。品質(zhì)因數(shù)Q值越大，電路對頻率的選擇性越好。對于RLC串聯(lián)電路，其品質(zhì)因數(shù)為

由（5）式可見，當(dāng)C一定時，可通過增大L或減小R來提高電路品質(zhì)因數(shù)，從而提高測量的靈敏度。但是，品質(zhì)因數(shù)并不是越大越好。因為RLC串聯(lián)電路的諧振為電壓諧振，電路諧振時，純電感和理想電容器兩端的電壓均為信號源輸出電壓的Q倍，所以如果Q值過高，電路諧振時，電感和電容器兩端將承受很高的電壓而導(dǎo)致?lián)p壞。

由（4）式和（5）式可知，的存在對電路的諧振條件不構(gòu)成影響，雖然會影響到電路的品質(zhì)因數(shù)，但是 通常很小，可以忽略其影響。

（2）用示波器觀察圖像，由于觀測者和示波器的因素，也會影響測量的靈敏度。選擇聚焦良好、分辨率高的示波器將能提高測量的靈敏度。

2.2 測量靈敏度的確定

在實驗中，當(dāng)調(diào)節(jié)信號頻率為f＝f0時，電路處于諧振狀態(tài)。此時，向下微調(diào)信號頻率（減?。┦闺娐穭偤闷x諧振狀態(tài)，記下此時的信號頻率為f小，得到信號頻率的微小改變量同樣，向上微調(diào)信號頻率（增大）使電路剛好偏離諧振狀態(tài)，記下此時的信號頻率為f大，得到信號頻率的微小改變量Δf大＝f大f0。

模擬示波器屏幕的刻度通常10毫米一大格，中心刻度線的刻度把一大格分為5小格。讀模擬示波器時人眼的分辨力按Δn＝±0.25個小格計算，則可定義測量相對靈敏度為：

3 測量的不確定度

（1）由儀器引入的不確定度

用u（L）和u（f）分別表示標(biāo)準(zhǔn)電感和頻率計的不確定度，由（4）式可得儀器引入的不確定度為

（2）由測量靈敏度引入的不確定

用u2（C）＝u（S）表示測量靈敏度引入的不確定度，由（6）式可得其相對不確定度為：

由（7）式和（8）式可得總的測量不確定度為：

4 實驗測量

實驗選用RX7－0十進式電容箱分別取標(biāo)稱值為C＝1.000μF和C＝0.500μF作為待測電容Cx；用FGX9／8組合式十進電感箱（精度為0.1%）分別取值L＝100.00mH和L＝10.00mH作為標(biāo)準(zhǔn)電感；用ZX17－1型交直流電阻箱分別取值R＝1 000Ω、R＝100Ω和R＝50Ω作為標(biāo)準(zhǔn)歐姆電阻；信號源選用F05A型數(shù)字合成函數(shù)信號發(fā)生器（所帶的頻率計精度為0.1%）；示波器選用VP－5220D雙蹤示波器。測量結(jié)果見表1和表2。

表1 實驗數(shù)據(jù) Cx＝1.000μF（標(biāo)稱值）

表2 實驗數(shù)據(jù) Cx＝0.500μF（標(biāo)稱值）

表1和表2中標(biāo)準(zhǔn)電感的不確定度和頻率計的不確定度 ，均按照儀器的準(zhǔn)確度誤差服從均勻分布來評定。E為測量值與被測電容標(biāo)稱值的百分誤差。

5 結(jié) 論

（1）示波諧振法測量電容原理清楚，電路簡單，操作簡便，測量有較高的準(zhǔn)確度。

（2）從實驗結(jié)果可見：由電路靈敏度引入的測量不確定度，對測量結(jié)果總不確定度影響較大。當(dāng)L不變時，R越大，電路的Q值越小，電路的測量靈敏度越低，測量不確定度越大。當(dāng)R不變時，L越大，電路的測量靈敏度越高，測量不確定度越小。當(dāng)R和L取值使Q＜1時，測量的不確定度迅速增大。當(dāng)R和L的取值使Q值等于或接近3時，電路靈敏度已足夠高，一般已滿足測量的要求。

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