張如艷 王士同

①(江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院 無錫 214122)

②(江南大學(xué)數(shù)字媒體學(xué)院 無錫 214122)

1 引言

人臉識別技術(shù)自誕生之日起，因其操作簡單，實現(xiàn)方便等特點而成為生物識別技術(shù)中應(yīng)用最為廣泛的方法之一。這些優(yōu)點通常只有在比較理想的人臉圖像中才能得到充分體現(xiàn)。但是在實際應(yīng)用中，會有各種類型不確定的噪聲，對人臉圖像的質(zhì)量和識別效果產(chǎn)生影響。

通常，噪聲模型會被估計為高斯噪聲，而研究發(fā)現(xiàn)，在工程應(yīng)用中，噪聲模型往往表現(xiàn)出非高斯性，即概率密度函數(shù)分布往往表現(xiàn)出較厚的尾部統(tǒng)計特性[1]，如合成孔徑雷達圖像中、海雜波的尖峰幅度分布情況，都呈現(xiàn)出很多幅度較大的噪聲，此時的噪聲已經(jīng)不再是高斯噪聲，而是重尾噪聲。對于重尾噪聲的研究和應(yīng)用并不僅僅局限于海波、雷達等領(lǐng)域。人臉識別作為一種被廣泛使用的模式識別方法，有必要將重尾噪聲引入到人臉圖像中，研究其分類識別算法，這對于研究人臉識別技術(shù)具有重要意義。

概率密度函數(shù)估計，考慮樣本數(shù)據(jù)的實際分布情況，能夠為貝葉斯分類提供有力工具。最大后驗概率[2]把分類問題看成一個統(tǒng)計估計問題，根據(jù)其所屬類別概率做出統(tǒng)計判斷。t分布具有尖峰后尾的統(tǒng)計特性[3]，符合非高斯噪聲模型特性。因此，文中將其結(jié)合，得到t分布下基于核函數(shù)的最大后驗概率分類方法(T Kernel-based MaximumA Posteriori,TKMAP)，并驗證其對含重尾噪聲的人臉圖像的識別效果。

2 重尾噪聲模型

常用的噪聲模型有椒鹽噪聲，乘性噪聲，高斯噪聲，重尾噪聲等[4]。本文研究重尾噪聲，重尾噪聲分布模型有 Cauchy噪聲，Erlang噪聲，Laplace噪聲，負指數(shù)噪聲以及混合高斯噪聲等。其概率密度函數(shù)的詳細描述如下。

其中a＞0,b是正整數(shù)，均值為b/a，方差為b/a2。

(5)混合高斯噪聲由高斯噪聲獲得，即若f1(x)是的概率密度函數(shù)，)的概率密度函數(shù)，則以+αf2(x)為概率密度函數(shù)的隨機變量，即為混合高斯噪聲。其中α為閃光頻率，一般情況下，α很小，μ1=μ2且σ1≤σ2。

3 基于核函數(shù)的分布模型

3.1 核函數(shù)

在人臉識別中，樣本數(shù)往往小于人臉維數(shù)，這就是小樣本問題[5]。而基于核函數(shù)的方法只需要明確樣本數(shù)目而非具體維數(shù)，所以，在很大程度上，解決了維數(shù)災(zāi)難的問題。

理論上，滿足Mercer定理[6]的函數(shù)都可以作為核函數(shù)，目前常用的核函數(shù)有

(1)RBF(高斯徑向)核函數(shù)：

其中σ為尺度參數(shù)，σ在很大程度上影響著RBF核函數(shù)的性能。

RBF核函數(shù)是典型的局部性核函數(shù)，距離較遠的樣本對核函數(shù)的值影響較小。文獻[7]表明，只要選擇合適的σ，對于任意給定的樣本集，RBF核函數(shù)可以對訓(xùn)練樣本集做出正確分類。

其中c為常數(shù)，d為多項式階數(shù)。當(dāng)c=0,d=1時，多項式核函數(shù)變成線性核函數(shù)。

多項式核函數(shù)是典型的全局性核函數(shù)，較遠的樣本點對核函數(shù)的值有較大的影響。在d很大時，

(3)Sigmoid核函數(shù)：

其中scale和offset分別為尺度和衰減參數(shù)。

通常，Sigmoid只有在scale＞0和offset＜0時才適合做核函數(shù)，由于Sigmoid核函數(shù)沒有特別的優(yōu)勢，因此一般不選擇其作為核函數(shù)。

目前，核函數(shù)類型多數(shù)是由特定領(lǐng)域的專業(yè)知識以及經(jīng)驗來確定。核函數(shù)參數(shù)的確定，主要有試湊法和最優(yōu)化方法[8]。人臉圖像在加入重尾噪聲后，其特征分布與原始人臉圖像相比，發(fā)生了很大變化。RBF核函數(shù)作為一種局部性核函數(shù)，能夠根據(jù)圖像的局部特征，很好地進行平滑運算，分類性能好。所以本文采用RBF核函數(shù)，并根據(jù)試湊法確定其中的參數(shù)。

3.2 貝葉斯分類器

貝葉斯分類方法具有堅定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它以Bayes理論為基礎(chǔ)，以先驗概率和條件概率密度函數(shù)為依托，是一種有指導(dǎo)的模式識別方法。與其他算法相比，貝葉斯分類器具有最小出錯率[9]。其關(guān)鍵是確定樣本數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)p(φ(x)|Ci)[10]。

假設(shè)m類樣本數(shù)據(jù)為第i類數(shù)據(jù)個數(shù)。核空間中，貝葉斯分類器的設(shè)計為以下 3個步驟：

首先，計算類Ci的先驗概率p(Ci)。通常，無法得到p(Ci)的精確值，故根據(jù)類Ci的樣本比率估計[11]，即p(Ci)=Ni/N。

其次，利用如下的貝葉斯公式計算后驗概率p(Ci|φ(x))。

最后，根據(jù)分類規(guī)則，如果p(Cw|φ(x))=則x∈Cw，選擇具有最大后驗概率的類Cw作為該樣本所屬的類別。

3.3 公式的核化形式

目前，概率密度估計主要有參數(shù)估計法和非參數(shù)估計法。文中選擇參數(shù)估計法，利用t分布下的概率密度函數(shù)估計，采用最大似然方法，獲得分類概率。

假定一組獨立的p維數(shù)據(jù) {x1,x2,…,xN}，多元t分布為t(μ,∑,v)。其中，μ是中心；∑是對稱、正定的矩陣；v＞0是自由度，控制t分布的尾部形狀。核空間中，t分布的類條件概率密度函數(shù)為

定義

3.3.1 協(xié)方差矩陣規(guī)整化和對角化均值μi和協(xié)方差∑i的表達式為

從式(4)和式(5)中可以看到，∑i只與樣本個數(shù)有關(guān)，而與其數(shù)據(jù)維數(shù)無關(guān)。因此，在小樣本情況下，根據(jù)μi和∑i求得的均值和協(xié)方差是病態(tài)的，可以利用如下的規(guī)整化方法。

由于映射函數(shù)φ未知，故無法求出∑i。而由于∑i是對稱、正定矩陣，可以將其對角化[12]為如下形式：

其中λij為∑i的第j個特征值，wij為與λij相對應(yīng)的特征向量，∑i的特征值已經(jīng)按照從大到小的順序排列。

將∑i代入式(5)中，得到

3.3.2 Mahalanobis距離公式由于高維的人臉特征對人臉分類的作用并不等同，所以為減少時間復(fù)雜度，先進行降維處理。主成分分析(Principal Component Analysis,PCA)作為一種經(jīng)典有效的降維方法，已經(jīng)廣泛的應(yīng)用到人臉識別中[13]，其降維過程不考慮樣本數(shù)據(jù)的類別屬性，而是將全體數(shù)據(jù)作為一個整體，求得樣本在投影方向上具有最大方差的特征。

借鑒PCA降維思想，但與PCA不同的是，文中并沒有舍棄第k+1個以后的特征值，而是用第k+ 1 個特征值hi(k+1)代替第k+1個后的所有特征值，以減少能量的損失[14]。則式(8)變?yōu)?/p>

根據(jù)再生核理論，所有對應(yīng)于λij≠ 0 的特征向量wij必存在于φ(x1),φ(x2),…,φ(xN)所張成的空間中。因此，wij可以用它們的線性組合來表示[15]，即存在系數(shù)αi(i=1,2,…,N)使

由協(xié)方差矩陣定義可知，一對特征值與特征向量{λij,wij}滿足

由于特征向量之間是正交的，式(11)有如下變形

將式(7)和式(10)代入式(12)，得到λij為

其中

同理，得

將式(13)和式(14)代入式(9)中，得

其中λij和αij是矩陣M的一對特征值與特征向量。

3.4 實驗步驟

(1)分析5種重尾噪聲分布模型，得到含重尾噪聲的待識別人臉圖像。根據(jù)含重尾噪聲的人臉圖像的特性，選擇具有良好平滑性的RBF核函數(shù)。

(2)在核空間中，將t分布與核函數(shù)、貝葉斯公式相結(jié)合進行推導(dǎo)，得到 Mahalanobis距離ti(φ(x))。

(3)采用試湊法確定RBF核函數(shù)以及ti(φ(x))中的參數(shù)值。首先設(shè)定參數(shù)的初始值，然后根據(jù)實驗結(jié)果不斷調(diào)試參數(shù)值，直至得到比較滿意的實驗數(shù)值。

(4)根據(jù)貝葉斯分類方法，得到某一樣本數(shù)據(jù)的類別可信度，由最大后驗概率確定樣本所屬分類。

4 模擬實驗及分析

實驗在ORL和Yale數(shù)據(jù)集上進行。為了驗證本文所提出的算法的分類性能，引入3種對比算法，Gauss分布下基于核函數(shù)的最大后驗概率分類方法(Gaussian Kernel-based MaximumA Posteriori,GKMAP)，核主成分分析方法 (Kernel Principal Component Analysis,KPCA)和核Fisher判別方法(Kernel Fisher Discrimiant Analysis,KFDA)。

4.1 人臉數(shù)據(jù)集簡介

ORL人臉數(shù)據(jù)集由40人，每人10幅112×92的圖像組成，其中的人臉圖像是正面圖像，光照、姿態(tài)表情變化不是很大。Yale人臉數(shù)據(jù)集中共有15人，每人11幅圖像，其中的圖像拍攝環(huán)境較復(fù)雜，光照強度、姿態(tài)表情的變化比較大。為了降低時間復(fù)雜度，將ORL中的人臉圖像大小歸一化為53×64，將Yale中的人臉圖像大小歸一化為50×50，但并未做任何內(nèi)容上的更改。圖1和圖2顯示了ORL和Yale中的部分人臉圖像。

圖1 ORL中的部分人臉圖像

圖2 Yale中的部分人臉圖像

在ORL和Yale中，分別添加5種類型的重尾噪聲，在每種噪聲中設(shè)置3種參數(shù)，從而得到同種噪聲模型下，受污染程度不同的人臉圖像，添加噪聲后的某人臉圖像如圖3和圖4所示。圖3和圖4中，從左到右的5列圖像，分別為添加3種噪聲參數(shù)的Cauchy噪聲，Erlang噪聲，Laplace噪聲，負指數(shù)噪聲和混合高斯噪聲的人臉圖像。

4.2 實驗結(jié)果

經(jīng)過反復(fù)實驗，ORL和Yale中的參數(shù)值分別為，RBF核函數(shù)中的參數(shù)σ=15和σ=10，規(guī)整化參數(shù)θ=0 .01,η=0 .03和θ=0 .01,η=0.06，自由度參數(shù)v=5和v=3。

實驗中，在ORL和Yale中隨機選擇2,3,4,5和6張人臉圖像作為訓(xùn)練樣本集，剩下的人臉圖像作為測試樣本集。限于文章篇幅，只列出ORL中添加Cauchy噪聲的人臉圖像的識別率，如表1所示，Yale中添加Erlang噪聲的人臉圖像的識別率，如表2所示，ORL和Yale中含其他4種重尾噪聲的人臉圖像識別率在4種算法中有類似的實驗結(jié)果。實驗結(jié)果為20次實驗的平均值。

圖3 ORL中含5種重尾噪聲的人臉圖像

圖4 Yale中含5種重尾噪聲的人臉圖像

表1 ORL中含Cauchy噪聲的人臉圖像的識別率(%)

4.3 實驗結(jié)果分析

從實驗結(jié)果可以看到，隨著訓(xùn)練樣本數(shù)目的增加，4種人臉分類算法的識別率均有提高。在樣本數(shù)目相同的前提下，前兩種算法 KPCA和 KFDA的識別效果沒有后兩種算法 GKMAP和 TKMAP理想。這是因為，雖然核函數(shù)在一定程度上解決了小樣本問題，但是其并沒有考慮人臉圖像的實際概率密度分布情況，而后兩種算法在核函數(shù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合統(tǒng)計分布概念，能夠比較合理地估計人臉圖像的概率密度分布。

算法GKMAP和TKMAP的比較，識別精度上，第一，由于t分布對尖峰拖尾情況有比較好的適應(yīng)性，故算法TKMAP比GKMAP的魯棒性好。第二，當(dāng)人臉圖像中的噪聲點比較少時，TKAMP比GKMAP的識別率高很多，而當(dāng)噪聲點比較多時，人臉特征變化較大，相應(yīng)地概率密度函數(shù)的變化也很大，無法通過試湊法比較準確地確定其中的參數(shù)值，故兩種方法的識別效果相差不大。復(fù)雜度上，由于 TKMAP需要不斷調(diào)整參數(shù)v，所以比GKMAP耗時，但是由此換來了更好的實驗效果。

5 結(jié)束語

本文將概率密度函數(shù)估計中的參數(shù)估計、核函數(shù)以及貝葉斯理論結(jié)合起來，提出t分布下的基于核函數(shù)的最大后驗概率多分類方法TKMAP。該算法主要利用t分布能夠比較好地適應(yīng)樣本數(shù)據(jù)的拖尾特性，進而能夠?qū)匚苍肼暤娜四槇D像的實際拖尾情況進行有效估計。實驗結(jié)果證明，與其他3種算法相比，TKMAP在去除重尾噪聲方面表現(xiàn)出了良好的抗噪能力。但在算法實現(xiàn)中也存在一些問題，例如如何根據(jù)含重尾噪聲的人臉圖像的拖尾情況，定量確定t分布中的自由度參數(shù)v，是一個值得深入研究的問題。

表2 Yale中含Erlang噪聲的人臉圖像的識別率(%)

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