楊 鵬 楊 峰 聶在平 李 彪 唐先發(fā)

（1.電子科技大學電子工程學院，四川 成都 611731；2.中國工程物理研究院電子工程研究所，四川 綿陽 621900）

引 言

在未來的通信和軍事應用中，共形于載體表面的自適應天線陣已越來越引起人們的廣泛興趣。相對于一般天線陣，自適應共形陣有許多獨特的優(yōu)點，如低剖面、易偽裝、靈活的波束控制和較強的抗干擾能力等［1-3］。然而，由于其結構的特殊性，共形陣也存在許多尚待解決的問題。如在進行寬角掃描時，由于載體的存在，對某些方向的來波信號，不是所有陣元都能接收到，即存在所謂的“暗區(qū)”，此時通常需要進行陣元切換，增加了系統(tǒng)的復雜度。當利用圓柱共形陣來進行360°來波方向估計（DOA估計）時，由于預先不知道信號的位置，一般要求所有陣元都處于工作狀態(tài)，但由于僅有部分陣元能夠接收到信號，從而導致信號在該陣列上的導向矢量不完整。由于天線陣元共形于載體表面，陣元的方向圖無法設計為全向，即具有方向性。

目前大多數(shù)常用的高分辨率DOA估計方法，如干涉儀法［4］、多重信號分類法（MUSIC）類算法［5］、ESPRIT 類算法［6］等，都假設陣列導向矢量完整，即所有陣元都同時工作，且陣元方向圖為全向。對共形陣而言，由于存在上述問題，如果直接使用此類算法進行DOA估計，往往會帶來較大誤差。利用基于子陣分割的 MUSIC算法［7］，可以有效克服上述問題。但由于經典的MUSIC算法是基于空間譜搜索的，較慢的速度限制了其應用。相比經典MUSIC算法，ESPRIT和Root-MUSIC算法在保證相同精度的同時可以通過求解代數(shù)方程直接得出來波方向，無需空間譜搜索，效率較高，但ESPRIT和Root-MUSIC算法對陣列的拓撲結構有特殊要求，一般只能應用于均勻直線陣上。雖然，近年來有學者提出可以應用在均勻圓陣上的基于模式空間變換的 UCA-RBMUSIC和 UCA-ESPRIT 算法［8］，但由于需要滿足周期性激勵條件，仍然無法應用到一般的曲線共形陣中。通過子陣分割和虛擬內插技術［9］，將ESPRIT算法和Root-MUSIC算法應用在圓柱共形陣上，實現(xiàn)了基于共形陣的快速DOA估計，仿真結果證實了該方法的有效性。

1.子陣分割和虛擬內插變換技術

圖1所示為一圓柱共形陣，假設陣元數(shù)為M，均勻分布在圓周上，如以圓心為參考點，則第m個陣元的坐標為（r，βm），其中r為圓柱半徑，βm為該陣元所在位置的方位角，βm=2（m-1）π／M，m=1，2，…，M-1，M.設有p（p＜M）個不相關的同頻窄帶信號從遠區(qū)φi（i=1，2，…，p）方向入射到該陣列上，信號與陣列同處于x-y平面，在某一時刻t，陣列接收到的數(shù)據可以表示為

圖1 16元圓柱共形陣，信號從φ＝π／2方向入射

式中:X（t）=［x1（t），x2（t），…，xM（t）］T是整個陣列接收的數(shù)據向量；F=［f（φ1），f（φ2），…，f（φp）］為陣列方向圖矩陣，其中f（φi）=［f（φi-β1），f（φi-β2），…，f（φi-βM）］T，f（φ）為單個陣元的方向圖；S（t）為表征各個來波信號的復振幅矢量；N（t）=［n1（t），n2（t），…，nM（t）］T為加性白噪聲矢量；A=［a（φ1），a（φ2），…，a（φp）］為陣列流型矩陣，a（φi）（i=1，2，…，p）為第i個信號的導向矢量，a（φi）=［ejkrcos（φi-β1），ejkrcos（φi-β2），…，ejkrcos（φi-βM）］T，其中波數(shù)k=2π／λ，λ為信號波長。

假設有一窄帶信號由φ=π／2入射到如上所述陣元均勻分布的M（M=16）元圓柱共形陣上，由于圓柱載體的遮擋，只有1～9號陣元能接收到該信號，此信號在陣列上的導向矢量可以表示為

可見，金屬柱體的遮擋導致其余陣元接收不到信號，導致該信號的導向矢量不完整（其中的0元素）。此外，由于陣元存在方向性，各個天線對信號的響應不同，其中5號陣元由于最大輻射方向正好在φ=π／2，響應最強，而1號和9號則最弱。采取子陣分割的方法可以有效克服上述問題。

為了保持陣列導向矢量的完整性，可將陣列按每π／2一組劃分為若干子陣，1～5號陣元組成子陣一，3～7號陣元組成子陣二，依次類推。16個陣元共劃分為八個相同的圓弧陣，每個圓弧陣由5個陣元組成，這樣可以保證對任意角度的入射信號，總有一個子陣，其所有陣元都能接收到該信號。

由于基于代數(shù)求解的快速算法（ESPRIT和Root-MUSIC算法等）不能直接應用于圓弧陣上，故可以考慮將這八個四分之一圓的弧形子陣應用內插技術變換成八個虛擬均勻直線陣。內插變換的基本思想是將空間觀察區(qū)域進行劃分，假設信號位于區(qū)域Φ內，將區(qū)域Φ均分為

式中:φ1，φ2為該區(qū)域的左右邊界；Δφ為步長，則真實陣列的導向矢量經過內插后變?yōu)?/p>

由于是共形陣，因此這里考慮了有向陣元。在同一區(qū)域中，若存在另一個陣元為全向的虛擬陣列，其內插后的陣列導向矢量為

期望找到一個變換矩陣B，滿足

當然，不可能找到一個理想的B滿足上述關系。但可以通過優(yōu)化下式

來確定最佳變換矩陣B，式中‖·‖表示求Frobenius范數(shù)，（·）H表示共軛轉置。如果該比值τ小于某一門限（如10-3），則接受該變換，否則可將觀察區(qū)域進一步細分，或者調整虛擬陣列幾何結構，直到滿足該條件為止。虛擬變換雖然運算量大，但這是一個離線過程，可預先計算好并儲存在系統(tǒng)中。

為了精確地求得變換矩陣，需要注意三點:首先內插角度步長不可取的太稀疏，一般應小于0.1度，較小的步長會導致內插過程運算量加大，但由于內插變換是一個預處理過程，不必實時計算，故步長應當盡量取小一些。二是虛擬陣列不能和真實陣列相差太大，在選取虛擬陣列時，應當盡量使虛擬陣列在位置和拓撲結構上接近真實陣列，可使變換誤差最小。圖2所示為待變換的真實圓弧陣和期望通過變換得到的虛擬均勻直線陣。

圖2 真實陣列和虛擬陣列

將三個真實的子陣通過內插，變換為三個虛擬的均勻直線陣。通過優(yōu)化虛擬陣列的陣元間距d和陣列到原點的距離h來使得變換誤差τ最小。當取內插間隔Δφ=0.1，d=0.52λ，h=0.8λ時，τ約為8×10-4，可以接受該變換。第三是變換區(qū)域不能選擇太大，圖3所示為當d和h取上述最優(yōu)值時變換區(qū)域的大小與變換誤差的關系，可見，當觀測區(qū)域大于60°時，誤差迅速上升，一般最大變換區(qū)域不應超過60°.對如圖1所示的圓柱共形陣，可以選取每個子陣的內插區(qū)域為陣列法線方向±π／8，即子陣一（1～5號陣元）的內插區(qū)域為［π／8，3π／8］，子陣二（3～7號陣元）的內插區(qū)域為，依次類推。360°方位角共可分為八個均勻的內插區(qū)間，八個內插區(qū)間也是八個虛擬陣列的DOA估計區(qū)間。對于均勻直線陣來說，陣列法線方向±π／8是最佳測量區(qū)間。

圖3 變換區(qū)域和變換誤差的關系

經過上述子陣分割和虛擬變換后，真實陣列的數(shù)據協(xié)方差矩陣為［10］

式中:=XXH／K，K 為快拍數(shù)；=F·A；為信號的自協(xié)方差矩陣；σ2I為白噪聲功率，則虛擬陣列的協(xié)方差矩陣為

由于BHB≠I，故應對式（9）進行預白化，即變換矩陣變?yōu)?/p>

此時有TTH=I.圓柱共形陣的數(shù)據協(xié)方差矩陣就變換為了虛擬均勻直線陣的協(xié)方差矩陣。經過這樣處理后，所有可以應用在均勻直線陣上的DOA估計算法都可以應用在共形陣上。為了證明該方法的通用性，采用了ESPRIT算法和Root-MUSIC算法進行檢驗。

2.仿真算例

對圖1所示16元均勻圓柱共形陣，圓柱半徑r=λ／（4πM），陣元的極化方向為圓柱軸向（即z軸方向）。假設有兩個與陣列共面（x-y），極化方向相同，且不相關的同頻窄帶信號分別從φ=40°和φ=90°方向入射到陣列上，快拍數(shù)為128，噪聲為0均值、方差為1的高斯白噪聲，其它參數(shù)采用前述的優(yōu)化結果。為了簡化計算，僅對1～9號陣元進行變換，獨立實驗100次。在仿真過程中，不失一般性，假設陣元方向圖具有cosφ的形狀，即第m個陣元對φi方向入射信號的響應為cos（φi-βm）.

圖4和圖5為兩信號分別在子陣一和子陣二上使用兩種算法估計出的角度和真實入射角的均方差隨SNR的變化關系。從圖中可以看出，對入射信號1（φ=40°），因為處在子陣一的觀測區(qū)域［π／8，3π／8］內，故子陣一對該信號的估計性能要好一些。子陣二的估計信能較差，是因為子陣二中的7號陣元接收不到該信號，導致信號1在子陣二上導向矢量不完整。兩種算法的性能基本相當，當SNR＞5dB時，能保證估計誤差在1°以內。同理，對信號2（φ=90°），子陣二的估計性能較好，是因為該信號處于子陣二的法線方向，且位于陣元5的最大輻射方向上。當SNR＞0dB時，兩種算法的估計誤差均不超過1°.雖然信號2在子陣一的觀測區(qū)域外，但由于在子陣一上導向矢量是完整的（因為1～5號陣元均能接收到），因此，子陣一對信號2的估計性能要優(yōu)于子陣二對信號1的估計性能。由仿真結果和以上討論得知，對信號1，接受子陣一的估計結果，對信號2，接受子陣二的估計結果。同時，ESPRIT算法和Root-MUSIC算法均獲得了大致相同的估計精度，證明了該方法的通用性。

3.結 論

給出了一種在共形陣上進行DOA估計的快速而準確的方法。該方法利用子陣分割和虛擬內插變換，將圓柱共形陣變換為若干虛擬直線陣，利用ESPRIT算法和Root-MUSIC算法獲得較高的估計精度和速度。此方法克服了共形陣在DOA估計中由于載體遮擋造成的信號導向矢量不完整以及陣元方向圖指向不一致帶來的問題，并容易推廣到一般結構的曲線或曲面共形陣上，具有普適性和較強的應用價值。

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