石顯新 楊秋芬 侯彥威

（1.中煤科工集團西安研究院，陜西 西安 710077；2.西安文理學院物理系，陜西 西安 710065）

引 言

探地雷達（簡稱GPR）是利用高頻無線電波確定介質內部物質分布規(guī)律的一種探測方法，近年來在工程與環(huán)境等淺層地球物理領域得到廣泛應用［1-2］。

在探地雷達技術發(fā)展過程中，對接收信號中的噪聲處理是一個重要方面［3］。在探地雷達接收信號中存在多種干擾與噪聲，因探測目標反射回波信號較弱，甚至可能掩沒于干擾與噪聲中，直接影響了目標信號的檢測與判斷，這給數據的處理與解譯造成了很大障礙。為獲得高精度高分辨率的數據處理與解譯結果，需對采集的數據進行預處理，以抑制或去除干擾與噪聲，提高數據的質量。

Larsoneur和Morlet［4］首先提出用小波變換去噪的思想，從20世紀90年代開始有大量的將小波變換用于信號去噪的文章發(fā)表。朱光明等［5］把小波變換用于一維濾波。Chakraborty和David等［6］對比了短時Foureir變換、連續(xù)小波變換（CWT）及匹配追蹤算法（MPD）對地震信號作時間-頻率域分析的效果，指出MPD優(yōu)于前兩種，且給出了MPD去噪的方法。Miao和 Moon［7］及羅國安等［8］把小波變換用于消除地震記錄的面波干擾。章珂等［9］把二進小波變換用于信號的分時分頻去噪處理。

在地震資料數據處理中二維物理小波標架的成功應用，是基于地震炮集數據中有效信號（體波）的空間形態(tài)是雙曲線形狀，二維物理小波函數可以很好地與之匹配；而主要的噪聲（面波）與體波在空間形態(tài)上差異很大。以二維物理小波為母小波，有效信號（體波）在小波域比較稀疏，而噪聲（面波）不稀疏，這樣在表示體波的有限區(qū)域重構信號，就可以衰減面波干擾。將二維物理小波標架用于去除探地雷達信號隨機噪聲，其原理類似，即探地雷達點目標信號的二維觀測數據在空間上也呈雙曲線形態(tài)，而隨機噪聲在空間的分布沒有規(guī)律。若將含有噪聲的探地雷達信號變換到二維物理小波域，由于二維物理小波函數與點目標信號能很好地匹配，小波域表示點目標信號的小波系數就比較稀疏，而表示隨機噪聲的小波系數不稀疏。因此，在表示點目標信號的小波系數區(qū)域重構信號，就可以衰減隨機噪聲。

基于以上認識，作者開展了二維物理小波標架去除探地雷達信號隨機噪聲的研究，并用二維物理小波標架閾值去噪對兩個典型信號進行了去噪處理，證明了該方法的有效性。

1 二維物理小波標架的數學原理

二維小波標架原子具有二維小波的形式［10］。這里使用文獻［11］中構造的二維物理小波，其數學表達式為

一維墨西哥帽小波表達式為

在x-t域的雙曲線表達式為

在x方向加上衰減因子e-ax2后物理小波表達式變?yōu)?/p>

加入衰減因子的目的在于使這種新構造的物理小波滿足小波的允許條件。

式（1）、（4）中的a為正實數，反映x方向的衰減；H為雙曲線的頂點，可以根據要求設置。

物理小波標架的原子具有以下形式為

適當的選取時間和偏移兩個方向的尺度因子，如

把式（6）中的（b）以式（1）代入后結果為1.證明物理小波適當選取尺度位移因子后構成的二維小波標架，可運用于分解重構二維信號。

小波的尺度因子是局部化分析中改變小波頻譜中心和帶寬的參量。同一維小波標架對信號的分解重構一樣，尺度因子選擇應使得各尺度小波頻譜對有效信號頻譜完全覆蓋且盡量覆蓋均勻，即各尺度小波的頻譜峰值覆蓋區(qū)域保證錯開。這相當于一濾波器組對信號各頻帶分別濾波。小波滿足正交條件時，各尺度的頻帶完全不重合，重構效果好，而本文中介紹的物理小波不滿足正交條件，這就應仔細考察選用的每一組尺度下的小波頻帶覆蓋范圍。在具體實現過程中，按二進情況，在頻域（f-k），t方向尺度st倍增，頻譜在f方向的頻帶范圍壓縮為原來的一半；x方向尺度sx倍增，頻譜在k方向的頻帶范圍壓縮為原來的一半。從用Matlab繪制的各個尺度的物理小波f-k頻譜圖可以清楚的觀察其二維頻譜形狀、峰值、變化趨勢，從而選擇合適的尺度范圍，更好地對信號進行局部化分析去除噪聲，重構有效信號。

當尺度增大到一定程度時，物理小波二維頻譜集中在f-k域中心，范圍很小，具體實現算法中發(fā)現頻譜峰值重復覆蓋，低頻信息多次疊加，表現為k低頻分量對重構有效信號干擾大，在x向雙曲線信號頂點位置形成一條"直杠"。

通過觀察時間及空間尺度變化時二維物理小波在時間-尺度域及頻率-波數域的特征，發(fā)現二維物理小波函數在頻率-波數域呈扇形分布，這時二維物理小波具有最高的頻率及波數分辨率。小波函數在時間方向上明顯變寬，也就是說時間分辨率變低，頻帶變窄。小波函數在空間方向上明顯變寬，即空間分辨率變低，也就是波數域展布變窄。

2 二維物理小波標架去噪的實現

2.1 物理小波標架去噪的實現

實現物理小波標架去噪的步驟如下:

1）人工合成點目標探地雷達數據。為了逐步驗證效果，分別制作了理想的無噪數據及含有色噪聲污染的數據。2）實現數據的物理小波標架分解，得到每一組時間-偏移尺度下的分解系數。3）通過實驗選取閾值，實現小波域閾值去噪。4）從處理后的小波域系數重構有用信號，完成去噪。

2.2 信號分解和重構公式及實現方法

在進行信號分解時，需要固定兩個尺度因子，計算如下的二重積分

分別對信號f（x，t）和物理小波ψ（x、t）沿兩個方向采樣，x、t方向采樣分別為M、N點，構成M×N階的矩陣，當x、t單位都歸一化后，就不必考慮兩個方向采樣的差異，視為采樣間隔均為1，這樣便可以按數字信號來實現。分解公式變?yōu)?/p>

按照小波變換信息的冗余性及實際應用中的要求，選取尺度因子的一些離散值。按照常用的二進小波變換的方法，令

分別固定兩個尺度因子，小波域系數不抽取時，式（8）相當于計算一個二維相關函數:

令y′=y（-m，-n），則二維相關函數計算化為二維卷積:

利用二維離散傅里葉變換（DFT）及逆變換（IDFT）的性質，可以通過頻域計算卷積

式（12）中DFT和IDFT可由二維快速傅里葉正、逆變換FFT2和IFFT2實現。

重構信號時，要滿足緊標架重構公式:

記WTsx，st（bx，bt）為一組尺度下的二維小波域系數矩陣，式（13）離散后變?yōu)?/p>

可分別對式（14）進行二維卷積，重構每一組尺度下的二維信號，再累加，最后就能得到重構信號。

2.3 信號分解重構舉例

圖1（a）為一探地雷達點目標模擬散射信號，其中空間方向256個采樣點，采樣間隔1 cm，時間方向1024個采樣點，共40ns.可以看出，反射信號有較明顯的雙曲形態(tài)。每一道信號的反射子波為Ricker子波，其主頻為800MHz.圖1（b）、（c）是利用式（8）對圖1（a）作小波分解后由式（14）重構的結果。比較兩圖，可以看出基本上重構了信號。

圖1（e）與圖1（f）是不同距離時的單道原始信號與重構信號的對比，細實線代表原始信號，點劃線代表重構信號。信號的邊界重構不完全，這與一維標架類似，因為二維物理小波不構成緊標架，信號重構存在誤差。但在實際信號處理中這些誤差是可以接受的。

2.4 小波域閾值去噪的實現

小波域閾值去噪方法的原理是:分別在各個尺度下選取去噪的閾值 ，然后對小波域系數按以下規(guī)則處理:

物理小波標架去噪的關鍵是當數據投影到物理小波標架上時，信息是冗余的，雙曲線形狀的有效信號的二維頻譜與某個尺度的物理小波標架原子二維頻譜相似，故可以映射出絕對值較大的系數。因二維頻譜重合區(qū)域相關度小，使得有色噪聲映射的系數較小，去噪效果較好。具體實現中，可以分別從每組尺度下小波域系數中挑選典型的道，確定該組尺度應選取的閾值，從而達到壓制噪聲的目的。

根據式（3）、（9）及小波標架的算法，結合小波域閾值去噪的原理，就可以實現二維物理小波域閾值去噪。

3 模型算例

圖2為一探地雷達點目標模擬散射信號，其中空間方向256個采樣點，采樣間隔1cm，時間方向1024個采樣點，共40ns.可以看出，反射信號有十分明顯的雙曲線形態(tài)。每一道信號的反射子波為Ricker子波，主頻800MHz.需要說明的是，圖2與圖1（a）都是點目標散射模擬信號，但模擬時參數選擇不同，圖2的雙曲線形態(tài)更為明顯。

圖2 理想模擬信號

3.1 信噪比1∶1

在圖2的基礎上加上噪聲，其中信號與噪聲最大幅值比為1∶1，如圖3（a）所示，信號受到了較大影響，由于相關性，仍能看到信號的基本形態(tài)。為了更清楚地看到噪聲對信號的影響程度，從圖3（a）中抽取距離為128cm處的一維信號與原始無噪信號重疊顯示，如圖3（b）所示，其中點劃線為含噪聲信號，細實線為原始信號，可以看出，從一維信號中無法分辨有效信號的位置及形態(tài)。另外，因為所加噪聲與有效信號同頻帶，所以傳統的一維濾波不能去除噪聲。圖3（c）是對圖3（a）閾值去噪結果，可以看出:噪聲受到了很好的壓制，同時信號也受到了一定的影響，但點目標的反射形態(tài)仍然比較清晰。圖3（d）為從圖3（c）中抽取距離為128cm處的一維信號與原始無噪信號重疊顯示，其中點劃線為去噪信號，細實線為原始信號，也可以看出，噪聲受到了較好的壓制。

3.2 信噪比1:3

與圖3（a）相比，圖4（a）中信號與噪聲最大幅值比為1∶3，信號已完全淹沒于噪聲中。從圖4（a）中抽取距離為128cm處的一維信號與原始無噪信號重疊顯示，如圖4（b）所示，其中點劃線為含噪聲信號，細實線為原始信號，噪聲明顯大于信號。圖4（c）是對圖4（a）閾值去噪結果，可以看出:噪聲受到了較大的壓制，點目標的反射形態(tài)比較清晰。圖4（d）為從圖4（c）中抽取距離為128cm處的一維信號與原始無噪信號重疊顯示，其中點劃線為去噪信號，細實線為原始信號，可以看出，信號的基本形態(tài)得到了恢復。與圖4（c）相比，雖然效果要差一些，但這是在信噪比很低，一般認為是廢棄資料的情況下，取得這樣的處理結果，也說明了該方法的有效性。

圖4 信噪比為1∶3時的去噪效果

4 結 論

綜上所述，利用二維物理小波函數模擬與探地雷達點目標散射信號匹配的小波函數，對含噪聲的探地雷達模擬信號進行小波域閾值去噪，在信噪比較低的情況下仍能取得較好的效果，證明了該方法的有效性。

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