陶原峰，王玉文

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

當(dāng)前我國(guó)林業(yè)資源有限，但需求量很大.國(guó)家林業(yè)局出臺(tái)了關(guān)于加強(qiáng)林木采伐許可證核發(fā)管理工作的通知，嚴(yán)格執(zhí)行采伐制度.因此如何在市場(chǎng)中利用金融衍生品來(lái)保障各類(lèi)參與者的利益，降低參與者的風(fēng)險(xiǎn)成為了一個(gè)引人關(guān)注的問(wèn)題.大商所已對(duì)林木期貨合約進(jìn)行立項(xiàng)，隨后還會(huì)有其他相關(guān)的衍生品陸續(xù)推出.

期貨期權(quán)的持有者有權(quán)利在將來(lái)一定時(shí)刻以約定的期貨價(jià)格進(jìn)入期貨合約.1982年，美國(guó)長(zhǎng)期國(guó)債期貨期權(quán)在芝加哥期貨交易所上市，引發(fā)了期貨交易的一場(chǎng)革命.期貨期權(quán)交易不僅對(duì)于現(xiàn)貨商，對(duì)于期貨商也起到了一定的規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的作用.相對(duì)于關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)，期貨期權(quán)合約以其流動(dòng)性更好，更容易交易，交易費(fèi)用更低的優(yōu)點(diǎn)吸引了很多投資者.在期權(quán)的研究中，定價(jià)是核心問(wèn)題.期貨價(jià)格的行為的變化直接導(dǎo)致了期權(quán)定價(jià)模型的有效性.1973年，Black和Scholes得出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型［1］.在該模型基礎(chǔ)上，Black在 1976年給出了期貨期權(quán)的定價(jià)模型.Cox，Ingersoll和 Ross(1981)在非隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)中性利率假設(shè)下，進(jìn)一步擴(kuò)展了Black期貨期權(quán)定價(jià)模型［2］.

該文介紹一種遠(yuǎn)期啟動(dòng)的林木期貨期權(quán)，木材需求者在當(dāng)前時(shí)刻可以提前支付一定金額，然后無(wú)須支付額外金額即可在未來(lái)的某時(shí)刻，也就是商品林林木所有人取得林權(quán)證時(shí)擁有一份期貨期權(quán)，在期權(quán)的到期日，此時(shí)商品林林木所有人已獲得采伐權(quán)可以選擇執(zhí)行期權(quán)來(lái)以約定的金額進(jìn)入一份期貨合約，若之前的敲定價(jià)格不利也可以選擇放棄期權(quán).

該文主要應(yīng)用隨機(jī)分析中的Girsanov定理.

引理1［1］(Girsanov定理)假定{Wt}是一個(gè)P-布朗運(yùn)動(dòng)，其自然σ-域流是，且是 一 個(gè)適應(yīng)過(guò)程，使得

是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng).

1 數(shù)學(xué)模型

假定市場(chǎng)是無(wú)套利，有效，無(wú)摩擦，從而存在風(fēng)險(xiǎn)中性的鞅測(cè)度，利用上述引理構(gòu)造等價(jià)鞅測(cè)度Q，找到Q關(guān)于P的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)中的θ，使得在測(cè)度Q下資產(chǎn)的貼現(xiàn)價(jià)格是鞅，從而利用鞅方法進(jìn)行定價(jià).

合約模型:持有人在未來(lái)的T0時(shí)刻(林木所有人已具有林權(quán)證)在無(wú)須支付額外費(fèi)用的情況下?lián)碛幸环萸枚▋r(jià)為FT0，到期日為T(mén)1(此時(shí)林木所有人已具有采伐證)的期貨期權(quán)，T1＞T0，相應(yīng)的期貨合約到期日為T(mén)2＞T1.期貨合約開(kāi)始于T0時(shí)刻.無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r.求在t＜T0時(shí)刻的期權(quán)價(jià)格.

定理1 對(duì)于T0之前的t時(shí)刻，遠(yuǎn)期啟動(dòng)的期貨期權(quán)價(jià)格由下式給出

其中θ=T1-T0

證明 設(shè)林木的市場(chǎng)價(jià)格St服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)St=S0exp(νt+σWt)，則對(duì)應(yīng)的到期日為T(mén)2的期貨合約價(jià)格為［4］

設(shè)

應(yīng)用伊藤公式有

由引理可知，{Yt}t≥0為Q-鞅，則由

特別在t=T1時(shí)刻，有

在期權(quán)到期日T1，如果期貨期權(quán)被執(zhí)行，期權(quán)持有人收益等于期貨價(jià)格和敲定價(jià)格的差.由資產(chǎn)定價(jià)基本定理，對(duì)于t∈［T0，T1］，記 τ=T1-t，有

其中Q為上面構(gòu)造的概率測(cè)度，在該測(cè)度下期貨合約貼現(xiàn)價(jià)格是個(gè)鞅.因?yàn)樵跍y(cè)度Q和條件下為Q-標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，從而是一個(gè)期望為0，方差為τ的正態(tài)分布隨機(jī)變量，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，令，則服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.從而有

首先由被積函數(shù)非零確定Z的范圍，整理得

等價(jià)于

代入有

其中

特別地，在T0時(shí)刻，有

記θ=T1-T0，則有

其中c=c(r，σ，T1，T0)與期貨價(jià)格無(wú)關(guān).

對(duì)于t＜T0，此時(shí)不適合用期貨價(jià)格定價(jià).注意到在T0時(shí)刻的期權(quán)可以有c份林木期貨合約復(fù)制，又由于

從而有

其中a=a(r，σ，T0，T1，T2)與林木價(jià)格無(wú)關(guān).對(duì)于t＜T0，期權(quán)價(jià)格可由aSt給出，即

得證.

［1］ Black F，Scholes M.The Pricing of Options and Corporate Liabilities［J］.The Journal of Political Economy，1976，81(3):637-654.

［2］ Cox J C，Ingersoll J E，Ross S A.The Relation between Forward Prices and Futures Prices［J］.Journal of Financial Economics，1981，9(4):321-346.

［3］ 埃瑟里奇.金融數(shù)學(xué)教程［M］.張寄洲，譯.北京:人民郵電出版社，2006.

［4］ Hull J C.期權(quán)、期貨及其他衍生品(第七版)［M］.王勇，索吾林，譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2009.