胡小濤，王國(guó)賢

(1.哈爾濱師范大學(xué);2.黑河學(xué)院)

1 有關(guān)概念及主要結(jié)果

約定基域F是特征0代數(shù)閉域.為敘述方便，給出以下幾個(gè)定義.設(shè)任一n階矩陣A=(aij)，稱(chēng)(i，j)為元素aij所在的位置，定義

(i，j)＜(k，l)?i=k且j＜l;或者i＜k.于是A的n2個(gè)位置構(gòu)成了字典序.在這個(gè)字典序下，稱(chēng)矩陣A中第一個(gè)非零元出現(xiàn)的位置(i，j)為A的水平，記為L(zhǎng)ev(A)=(i，j)，稱(chēng)i為矩陣A的高度，記為ht(A).設(shè)V是矩陣代數(shù)Mn(F)的任意子空間，Lev(V)=min{Lev(A)|A∈V}，ht={ht(A)|A∈V}.約定Lev(O)=(∞，∞)，ht(0)=∞，其中O為零矩陣或零空間.如果Lev(A)=(k，l)且第k行為(0，…，0，1，0，…0)，那么稱(chēng)A是一個(gè)廣義矩陣單位，此時(shí)將A記為Ukl，設(shè)M(n，F(xiàn))為所有n階矩陣構(gòu)成的向量空間，n(n，F(xiàn))為所有嚴(yán)格上三角的n階矩陣構(gòu)成的向量空間.

記

現(xiàn)將主要結(jié)果敘述如下，其證明將在下一節(jié)中給出:

定理1.1 設(shè)μ是M(n，F(xiàn))的具有最大維數(shù)的零乘子代數(shù).那么dimμ=［n2/4］且

(1)若n=2m，則μ共軛于A2m;

(2)若n=2m+1，則μ共軛于B2m+1或B2'm.+1

2 相關(guān)引理

引理2.1n(n，F(xiàn))在下面兩種相似變換下都保持不變

(A)將第i列乘以非零數(shù)λ，同時(shí)將第i行乘以 1/λ;

(B)將第i列的λ倍加到第j列而第i列保持不變，同時(shí)將第j行的-λ倍加到第i行而第j行保持不變，這里約定i＜j.

引理2.2 設(shè)M是任意零乘子代數(shù).若Lev(M)=(i，k1)，則存在廣義矩陣單位Ui，k1，Ui，k2，…，Ui，kr以及水平大于(i，n)的子空間 l，使得M相似于

其中i＜k1＜k2＜…＜kr≤n且l中每一個(gè)矩陣X都滿足:

(1)X的第kj行為零，這里1≤j≤r.

(2)如果TXT-1的第s行為零，那么X的第s行仍為零.

證明 由于零乘子代數(shù)的任意元皆結(jié)合冪零，所以根據(jù)Jacobson弱閉集定理，可知零乘子代數(shù)可以同時(shí)嚴(yán)格上三角.于是不妨認(rèn)為M?n(n，F(xiàn)).由于Lev(M)=(i，k1)，所以存在矩陣Ai，k1∈M，使得Lev(Ai，k1)=(i，k1)，其中i＜k1＜n應(yīng)用引理2.1中兩種相似變換使Ai，k1相似于一個(gè)廣義矩陣單位Ai，k1且M相似于n(n，F(xiàn))的一個(gè)新的零乘子代數(shù)，仍記為M.易見(jiàn)，M中每個(gè)矩陣都可寫(xiě)成aUi，k1+P的形式，其中a∈F且Lev(P)＞(i，k).設(shè)M1=Span{P∈M|Lev(P)＞(i，k1)}.于是M=FUⅠ，k1⊕M1.如果Lev(M1)=(i，k2)，那 么存在矩陣Ai，k2∈V1，使 得Lev(Ai，k2)=(i，k2)，其中i＜k1＜k2≤n.應(yīng)用引理2.1中兩種相似變換使Ai，k2相似于一個(gè)廣義矩陣單位Ui，k2變成了另一個(gè)與其相似的矩陣，但第i行沒(méi)變，仍記為Ui，k1.這時(shí)，M中每個(gè)矩陣都可寫(xiě)成aUi，k1+bUi，k2+P的形式，其中a，b∈F，且Lev(P)＞(i，k2).設(shè)M2=Span{P∈M|Lev(P)＞(i，k2)}.于是Ui，k1，Ui，k2，…，Ui，kr及Mr=Span{P∈M|Lev(P)＞(i，n)}，使得M=FUi，k1⊕FUi，k2⊕ … ⊕FUi，kr⊕Mr.設(shè)X是Mr中任意一個(gè)矩陣，由于Lev(l)＞(i，n)，所以X的第i行為零，這里1≤j≤r.故對(duì)X第一個(gè)結(jié)論成立.易見(jiàn)，引理2.1中兩種相似變換不改變矩陣的除第kj以外的零行，1≤j≤r.故對(duì)X的第二個(gè)結(jié)論成立.證畢

為了方便，以下將(1)稱(chēng)為廣義矩陣單位分解，簡(jiǎn)稱(chēng)GMU分解

定理1.1的證明 由引理2.2，可得下列GMU分解:

其中

由引理2.2，上面出現(xiàn)的廣義矩陣單位的下角標(biāo)的點(diǎn)對(duì)中第一個(gè)位置的元素不會(huì)出現(xiàn)在第二個(gè)位置.因此

于是

另一方面，考慮到前面定義的A2m或B2m+1，B2'm+1的結(jié)構(gòu)，可知dimμ≥［n2/4］.故 dimμ=［n2/4］從而

ik=k，rk=n-t其中k=1，…，t

若n=2m，則t=m.由(6)知，當(dāng)k=1，…，m時(shí)，有rk=m.由(5)與(6)，知前面出現(xiàn)的廣義矩陣單位的水平分別為:

若n=2m+1.則t=m或m+1.由(6)知，當(dāng)k=1，…，m時(shí)，有rk=m+1;或者當(dāng)k=1，…，m+1時(shí)，有rk=m.由于(5)與(6)，所以前面出現(xiàn)的廣義矩陣單位的水平分別為:

首先假設(shè)n=2m.由(2)-(4)及(7)，知

ht(μm-1)=m-i+1 及dimμm-1=im，1≤i≤m.

其中，μ0=V.對(duì)i歸納且由引理2.2，知μm-i由如下形式矩陣組成:

其中

ht(μm-i)=m-i+1≤ht(B)≤m，1≤i≤m，關(guān)于任意取定的i，若1 ≤j≤m，則與Vm-i中每個(gè)矩陣的乘積為零.進(jìn)而，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，知

其中A的前m-i行構(gòu)成m-i×j的矩陣單位Em-i，j.即

特別的，當(dāng)i=m-1時(shí)，有

進(jìn)而

因?yàn)?/p>

所以

若n=2m+1，可作類(lèi)似的討論，此處略.

［1］ Mirzakhani M.A simple proof of a theorem of Schur.Amer Math Monthy，1988，105:260-262.

［2］ Jacobon N.Schur theorem on commutative matrices.Bull A-mer Math Soc，1944，50:431-436.

［3］ 蘇育才，盧才輝，崔一敏.有限維半單李代數(shù)簡(jiǎn)明教程.北京:科學(xué)出版社，2008.