李著成

（北京聯(lián)合大學(xué)商務(wù)學(xué)院，北京 100025）

自然梯度算法是盲源分離的一種經(jīng)典算法，但由于其固定步長(zhǎng)的應(yīng)用，造成了兩個(gè)重要的算法性能指標(biāo)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。一般來(lái)說(shuō)，大的步長(zhǎng)收斂速度較快，但穩(wěn)態(tài)誤差較大;反之，小的步長(zhǎng)收斂速度較慢，但穩(wěn)態(tài)誤差較小。特別在分離非平穩(wěn)盲源時(shí)，這種矛盾會(huì)尤為明顯［1－2］。

1 系統(tǒng)模型和算法公式

假設(shè)有n個(gè)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的未知源信號(hào)s（t）=［s1（t），s2（t），…，sn（t）］T，t為離散時(shí)間，經(jīng)過(guò)未知的傳輸信道A∈ Rm×n后得到m個(gè)觀測(cè)信號(hào)x（t）=［x1（t），x2（t），…，xm（t）］T（通常情況下m≥n），寫(xiě)成矩陣形式為

盲源分離的任務(wù)是只根據(jù)觀測(cè)信號(hào)x（t），通過(guò)某種學(xué)習(xí)算法得到的分離矩陣W∈Rn×m，使得

其中各分量之間盡可能地獨(dú)立，依此將y（t）=［y1（t），y2（t），…，yn（t）］T作為對(duì)源信號(hào)的一個(gè)估計(jì)，若

式中:G為全局矩陣;I為n×n維單位矩陣。則y（t）=s（t），那么源信號(hào)得到徹底恢復(fù)［3］。

盲源分離的系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 盲源分離的系統(tǒng)模型

基于互信息（Mutual Information，MI）的自然梯度盲源分離算法［4］最早由 Amari，Cichoki等人提出，代價(jià)函數(shù)為

由表4主成分綜合得分可知，各土壤樣本養(yǎng)分含量由高到低的排列順序?yàn)?7→28→18→25→23→15→40→24→27→11→33→7→32→1→5→26→3→9→12→10→14→48→2→29→16→31→41→34→38→37→44→4→45→47→21→46→36→20→30→6→13→19→8→43→22→39→35→49→42。

式中:Pi（yi（t））為yi（t）的概率密度函數(shù);det（·）表示矩陣的行列式。按照式（5）更新分離矩陣

式中:μ為步長(zhǎng)因子;f（y（t））=［f1（y1（t）），f2（y2（t）），…，fn（yn（t））］T為估計(jì)信號(hào)y（t）的非線性函數(shù)，理想情況下有

式（4）對(duì)處理類(lèi)似聲音、語(yǔ)言、生物醫(yī)學(xué)和機(jī)械振動(dòng)等非平穩(wěn)信號(hào)不是很理想，對(duì)其進(jìn)行如下的修改［4－6］:

W（t+1）=W（t）+μ［Λ －f（y（t））yT（t）］W（t）（7）式中:Λ是一個(gè)對(duì)角陣，其元素為矩陣f（y（t））y（t）T對(duì)角線上的元素，即 Λ =diag［f（y（t））yT（t）］（diag［·］表示由矩陣對(duì)角線元素構(gòu)成的對(duì)角陣）。

2 基于非線性函數(shù)的步長(zhǎng)算法

為了克服收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，考慮采用變步長(zhǎng)的辦法，使步長(zhǎng)隨著算法分離的實(shí)際情況做動(dòng)態(tài)的變化，本文提出一種基于非線性函數(shù)的步長(zhǎng)算法，通過(guò)某種誤差的相關(guān)值e（t）e（t－1）去調(diào)節(jié)步長(zhǎng)，表達(dá)式為

式中:e（t）是穩(wěn)態(tài)誤差;β＞0和α＞0為算法參數(shù)，這兩個(gè)值的選擇對(duì)算法性能會(huì)產(chǎn)生一定影響。

對(duì)于非平穩(wěn)源信號(hào)，算法收斂后分離信號(hào)y應(yīng)該滿(mǎn)足［4］

式中:E［·］為數(shù)學(xué)期望。這意味著為了滿(mǎn)足式（9），分離信號(hào)的幅度在算法執(zhí)行過(guò)程中會(huì)不斷自動(dòng)調(diào)整。

假設(shè)

它的分量形式應(yīng)滿(mǎn)足

由此可以得到誤差的一種表達(dá)式為

結(jié)合式（8）和式（12），新的變步長(zhǎng)算法為

值得注意的是，μ（t）如果選擇的太大，對(duì)算法的穩(wěn)定性會(huì)造成較大的影響。因此，必須考慮步長(zhǎng)μ（t）的上界

式中:μup（t）為μ（t）的上界。此時(shí)，μ（t）的取值為

如果步長(zhǎng)不超過(guò)μup（t），則按照式（13）的步長(zhǎng)，如果超過(guò)了μup（t），步長(zhǎng)應(yīng)選取為μ=μup（t）。

3 MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)

假設(shè)n=m=2，未知非平穩(wěn)源信號(hào)s（t）=［s1（t），s2（t）］T為用Soundblaster卡采集的2路語(yǔ)音信號(hào)，其波形如圖2所示，μ =0.006，β =0.05，α =3。圖3為源信號(hào)經(jīng)過(guò)隨機(jī)混合矩陣A混合后生成的觀測(cè)信號(hào)x（t）=［x1（t），x2（t）］T的波形圖。圖3與圖2相比較，波形圖發(fā)生了明顯的改變。

為驗(yàn)證提出算法的有效性，分別用新舊兩種算法對(duì)上述觀察信號(hào)進(jìn)行分離，分離效果通過(guò)盲源分離技術(shù)常用的一種算法評(píng)價(jià)指標(biāo)——串音誤差Cte（Cross－talk error）來(lái)鑒定，其表達(dá)式為

圖4為經(jīng)過(guò)新算法分離出的源信號(hào)的估計(jì)信號(hào)y（t）=［y1（t），y2（t）］T的波形圖。將圖4與圖2進(jìn)行比較，可直觀地看出新算法已基本完成對(duì)源信號(hào)的恢復(fù)，y1對(duì)應(yīng)于s1，幅度和相位發(fā)生了改變;y2對(duì)應(yīng)于s2，相位沒(méi)變但幅度發(fā)生了改變，這些改變是由盲源分離的不確定性決定的，在實(shí)際應(yīng)用中，只要保持波形不變，這是完全可以接受的。圖5是基于非線性函數(shù)的步長(zhǎng)算法與固定步長(zhǎng)算法的Cte比較圖，表1為兩種算法的更新次數(shù)與Cte的對(duì)應(yīng)值。結(jié)合圖5和表1可知，新算法與舊算法相比，分離效果有了明顯改善，收斂速度較快而穩(wěn)態(tài)誤差較小，固定步長(zhǎng)算法分離出源信號(hào)需更新200次左右，而新的自適應(yīng)算法只需135次，收斂速度明顯加快，而且此時(shí)新的步長(zhǎng)算法的Cte=0.04，固定步長(zhǎng)算法的Cte=0.08，可見(jiàn)穩(wěn)態(tài)誤差也有一定程度的改善。

表1 兩種算法的更新次數(shù)與Cte的對(duì)應(yīng)值

關(guān)于式（13）中α和β值的選擇，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)也發(fā)現(xiàn)了一定的規(guī)律。一般地，0＜α＜1，β＞1，如果要求收斂速度快，就應(yīng)選擇一個(gè)較大的β值，如果要求穩(wěn)態(tài)誤差小，就應(yīng)選擇一個(gè)較小的α值，β影響全局而α影響局部。

4 小結(jié)

收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差一直是盲源分離算法研究的熱點(diǎn)之一。本文在對(duì)自然梯度算法進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出了一種新的基于非線性函數(shù)的步長(zhǎng)算法，在加快算法收斂速度的同時(shí)兼顧減小穩(wěn)態(tài)誤差，克服了傳統(tǒng)固定步長(zhǎng)算法的缺點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)證明了該算法的有效性。

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［1］NAKAJIMA H，NAKADAI K，HASEGAWA Y，et al.Adaptive step－size parameter control for real－world blind source separation［C］//Proc.IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing，2008.Las Vegas:IEEE Press，2008:149－152.

［2］OU Shifeng，GAO Ying，JIN Gang，et al.Variable step－size algorithm for blind source separation using a combination of two adaptive separation system［C］//Proc.15th International Conference on Natural Computation，2009.Tianjin，China:IEEE Press，2009:649－652.

［3］桑睿，吳杰.一種解決頻域盲源分離模糊度問(wèn)題的新方法［J］.電視技術(shù)，2011，35（15）:122－155.

［4］CICHOCKI A，AMARI S.Adaptive blind signal and image processing:learning algorithm and applications［M］.New York:Wiley，2002.

［5］AMARI S，CICHOCKI A.Adaptive blind separation processing－neural network approaches［J］.Proceedings of the IEEE，1998，86（10）:2026－2048.

［6］ZHANG Kun，CHAN Laiwan.Convolutive blind source separation by efficient blind deconvolution and minimal filter distortion［J］.Neurocomputing，2010，73（13/14/15）:2580－2588.