劉 輝 徐 晨 曹文明

(深圳大學(xué)信息工程學(xué)院，深圳 518000)

基于Clifford代數(shù)的多光譜圖像邊緣檢測

劉 輝 徐 晨 曹文明

(深圳大學(xué)信息工程學(xué)院，深圳 518000)

為了充分利用多光譜圖像不同圖層之間的關(guān)聯(lián)性，采用Clifford代數(shù)描述多光譜圖像.在Clifford代數(shù)空間中，定義了多光譜圖像的Clifford微分與Clifford梯度.在此基礎(chǔ)上，提出了一種新的多光譜圖像邊緣檢測與融合算法.該算法首先計(jì)算出各像素點(diǎn)的Clifford梯度，進(jìn)而得到Clifford梯度范數(shù);然后以此為依據(jù)，判斷像素點(diǎn)是否為邊界點(diǎn)，從而得到多幅邊緣檢測圖像;最后，將這些圖像融合，便可得到最終的邊緣圖像.與基于最大熵的多光譜圖像邊緣檢測算法的比較結(jié)果表明，算法由于利用了多光譜圖像不同圖層之間的關(guān)聯(lián)性，因而可以更好地保留邊緣信息，獲得更完整的邊緣檢測效果.

多光譜圖像;邊緣檢測;Clifford代數(shù);Clifford梯度;圖像融合

多光譜圖像是指利用多光譜傳感器同時(shí)在多個(gè)窄的光譜波段上對同一對象(地域或目標(biāo))進(jìn)行觀測所獲得的圖像，反映了觀測對象在各個(gè)窄光譜波段上的反射、透射或輻射特性.隨著多光譜成像技術(shù)的飛速發(fā)展，多光譜圖像被廣泛應(yīng)用于軍事國防、醫(yī)學(xué)圖像分析、環(huán)境檢測、地質(zhì)勘探、航空/航天、反恐怖安全檢測、農(nóng)業(yè)產(chǎn)量評估、仿生識別、太空探索等領(lǐng)域［1-4］.

近年來，多光譜圖像的邊緣檢測備受關(guān)注.其研究方法大多是將多光譜像素看作是N維向量空間中的點(diǎn)，利用向量空間數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)進(jìn)行圖像綜合處理［5-9］.文獻(xiàn)［8］提出了基于最大熵的多光譜圖像邊緣檢測算法，其核心在于定義了多光譜圖像的最大熵估算子，根據(jù)邊緣譜值集中于高頻區(qū)的特點(diǎn)，利用最大熵來提取邊緣.文獻(xiàn)［9］提出了一種基于非參數(shù)局部強(qiáng)度估算的多光譜圖像邊緣檢測算法，通過非參數(shù)核估算子來估算圖像強(qiáng)度，利用移動窗口得到局部強(qiáng)度的最小值.由于向量代數(shù)的局限性，這些傳統(tǒng)算法在處理多光譜圖像時(shí)不能很好地利用多光譜圖像中不同圖層間的關(guān)聯(lián)性，而基于非傳統(tǒng)向量代數(shù)的算法則可解決這一問題［10-12］.

本文提出了一種新的多光譜圖像邊緣檢測與融合算法.試驗(yàn)結(jié)果表明，該算法利用了不同波段光譜層之間的關(guān)聯(lián)性，在檢測與融合中能較好地識別多光譜圖像的模糊邊緣，從而提高了檢測精確度，更完整地保存了多光譜圖像的邊緣.

1 多光譜圖像的Clifford代數(shù)描述

1.1 Clifford代數(shù)基礎(chǔ)

設(shè) e1，e2，…，ep+q－1，ep+q為向量空間V的一組正交基，其二項(xiàng)式是標(biāo)準(zhǔn)正交的，即Q(el)=±1或0，且當(dāng)l≠m時(shí)Q(elem)=0.在反對稱張量空間Λ(V)中可以定義如下的Clifford積［13］:

用符號Clp，q表示向量空間Vp+q上的 Clifford代數(shù)，其正交代數(shù)基為

本文中，p=n，q=0.例如，Cl3的正交代數(shù)基為Cl3:={1，e1，e2，e3，e1∧e2，e1∧e3，e2∧e3，e1∧e2∧e3}.

在Cln上，任意多重矢量X可以表示為正交代數(shù)基的線性組合形式xiEi.X的k維向量部分的級數(shù)算子可以表示為〈X〉k，則

任意多重矢量X的逆為ˉX，其計(jì)算公式為

式中

1.2 多光譜圖像描述

假設(shè)多光譜圖像數(shù)據(jù)的波長采集范圍為b～a，采集步長為c，則采集的多光譜圖像的信息數(shù)據(jù)的三維矩陣，其中w和h分別為圖像的寬和高取值為整數(shù)n，由此可將此矩陣記為Mn×w×h.將矩陣的波長維看作空間Clifford代數(shù)的向量維，則Mn×w×h的像素點(diǎn)可以用n維互相垂直的空間向量 el表示，并且滿足 e2l=－1.Mn×w×h的像素點(diǎn)P用Clifford代數(shù)的n重矢量描述為

在Cln空間中，n重矢量是唯一的.如果將n維矢量空間中的一個(gè)點(diǎn)P采用二重矢量描述，則需要C2n個(gè)二重矢量，即

假設(shè) 2 幅多光譜圖像分別為 Un1×w1×h1和Vn2×w2×h2，對應(yīng)的 Clifford 代數(shù)空間正交基分別為{Er}和{Fs}，其中r=2n1，s=2n2.由此便可用函數(shù)來表示這2幅圖像的一種融合，其中ur和vs分別表示各自圖像數(shù)據(jù)矩陣對應(yīng)波段處的元素值.

n維多光譜圖像f(x')可以解釋為多值信號，形如.其中，fi(x')為信號分量，x'∈Rn，i=0，1，…，n－1;1col，εcol，…，εn－1col為虛構(gòu)單元，且 εncol=1.從Clifford代數(shù)的角度而言，f(x')被稱為多重代數(shù)，可以表示為實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域的直和［14］，即

式中分別為實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上直交冪等單元.本文中，nlu=1，2;n為偶數(shù)時(shí)nch=n/2，n為奇數(shù)時(shí)nch=(n－1)/2.

任意多重矢量e都能表示為標(biāo)量部分和復(fù)數(shù)部分的線形組合，即

式中，ai∈R為多光譜強(qiáng)度數(shù);zj為多光譜色度數(shù).因此，n維多光譜圖像可以描述為如下的Clifford代數(shù)形式:

式中，x為Clifford代數(shù)的n維矢量.

2 多光譜圖像邊緣檢測與融合

2.1 Clifford微分和Clifford梯度

定義1 多光譜圖像多重矢量X的微分定義為

式中，Ei為 Ei的對偶基，即 Ej*Ei=δji.

定義2 設(shè)A∈Cln且A:=aiEi，則多光譜圖

像的多重矢量函數(shù)f在A方向上的導(dǎo)數(shù)為

式中，A＊?x為多光譜圖像的多重矢量導(dǎo)數(shù).

定義3 設(shè)f:Cln→R為f的標(biāo)量函數(shù)，則Clifford空間下函數(shù)f的梯度定義為

式中，fi(X):=?xif(X)為f關(guān)于xi的偏導(dǎo)數(shù).

當(dāng)f:Cl1n→R為一重矢量的標(biāo)量函數(shù)時(shí)，其梯度可以表示為?xf(x)=ei?xif(x)=eifi(x).

2.2 基于Clifford代數(shù)的邊緣檢測與融合算法

本文提出的基于Clifford代數(shù)的邊緣檢測與融合算法是通過求解多光譜圖像的Clifford梯度來獲取圖像邊緣的.

假設(shè)多光譜圖像數(shù)據(jù)是一個(gè)三維矩陣，其像素點(diǎn)的光譜梯度為

多光譜像素點(diǎn)的光譜Clifford梯度?Xf(X)的物理意義比較明確，直觀上是像素點(diǎn)所有光譜在該處的光譜強(qiáng)度(色度和亮度)的多重矢量函數(shù)，綜合反映了像素點(diǎn)處任意光譜的強(qiáng)度.

?Xf(X)是 Clifford代數(shù)，多光譜圖像的 Clifford梯度范數(shù)定義如下:

假設(shè)輸入多光譜圖像為Mn×w×h，邊緣檢測與融合算法的主要步驟如下:

①讀取多光譜圖像數(shù)據(jù)M，M為n×w×h的三維矩陣.

②計(jì)算多光譜圖像在每個(gè)像素點(diǎn)處的Clifford代數(shù)描述形式.輸出為2n×w×h的三維矩陣Mmd.

③ 根據(jù)Mmd，計(jì)算每個(gè)像素點(diǎn)的?Xf(X)，表現(xiàn)為Clifford多重矢量代數(shù)形式.同時(shí)，根據(jù)梯度范數(shù)定義，計(jì)算像素點(diǎn)的Clifford梯度范數(shù).輸出為多光譜圖像梯度范數(shù)矩陣Mmf，它是一個(gè)2n×w×h的三維矩陣.

④設(shè)定數(shù)據(jù)圖像矩陣Mout為2n×w×h的三維矩陣.在Mmf的w×h切面上，根據(jù)每個(gè)像素點(diǎn)及其周圍像素點(diǎn)的均值差異度，判斷其是否為邊緣點(diǎn).如果是則將Mout中的對應(yīng)點(diǎn)置為1;否則置為0.此時(shí)可輸出多幅邊緣檢測圖像.

⑤對不同w×h切面的二維矩陣數(shù)據(jù)圖像矩陣采用Clifford代數(shù)或運(yùn)算，得到多光譜圖像的融合矩陣 Mfusion，即為最終的邊緣檢測融合圖像.Mfusion為w×h的二維矩陣.

3 試驗(yàn)仿真及分析

本文所采用的數(shù)據(jù)來源于英國UEA大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系開發(fā)的多光譜圖像數(shù)據(jù)庫［15］.多光譜圖像光譜范圍為400～700 nm，采集步長為10 nm.試驗(yàn)數(shù)據(jù)中包含31維不同波長的光譜.圖1為試驗(yàn)中多光譜圖像的原始圖及各種邊緣檢測結(jié)果;圖2為圖1中各圖對應(yīng)的功率譜圖.

從圖2(a)中可以清楚地看出，多光譜圖像數(shù)據(jù)的頻譜圖包含31根不同頻譜的曲線.所有頻譜曲線在高頻處都具有峰值，說明在實(shí)際圖像中灰度劇烈變化，邊界明顯部分比較多;但在低頻處曲線平緩，說明實(shí)際圖像中含有較多灰度變化平緩的邊界模糊部分.

圖1(b)和(c)是融合前的邊緣檢測結(jié)果.由圖可知，融合前即檢測出了部分邊緣.圖2(b)和(c)為其對應(yīng)的功率譜圖，峰值位置的不一致說明Clifford梯度范數(shù)不同階的邊緣檢測切片可展現(xiàn)不同的邊緣細(xì)節(jié).

圖1(d)為圖1(b)和(c)融合后的邊緣檢測結(jié)果.顯而易見，該結(jié)果幾乎包含了圖1(b)和(c)中的所有邊緣部分.圖2(d)為其對應(yīng)的功率譜.由圖可知，該譜圖覆蓋了圖2(b)和(c)的峰值部分.

由圖1(e)可知，本文算法的最終結(jié)果包含了大多數(shù)邊緣信息，說明在多光譜圖像邊緣檢測中基于Clifford梯度的邊緣檢測與融合算法可以檢測出比較理想的邊緣信息.圖1(f)為利用最大熵邊緣檢測算法得到的結(jié)果，可以看出，與本文算法相比，其檢測效果相對較差.原因在于:基于Clifford梯度的邊緣檢測與融合算法在一定程度上體現(xiàn)了不同波段光譜層之間的關(guān)聯(lián)性，因此在邊緣檢測時(shí)能發(fā)現(xiàn)更完整的邊緣信息，提高檢測精確度.

圖2(e)為采用本文算法得到的邊緣灰度圖的功率譜圖.由圖可知，高頻處峰值明顯，說明算法檢測出了多光譜圖像中比較明顯的邊界;低頻處具有峰值，說明利用該算法可檢測出圖像中灰度變化不明顯的邊界.對比圖2(e)和(f)后發(fā)現(xiàn)，與最大熵邊緣檢測算法相比，利用本文算法得到的功率譜曲線高頻峰值更大、更寬，低頻峰值變化更為明顯，說明本文算法可檢測出比較模糊的邊界，從而獲得更完整的邊緣.

圖1 多光譜圖像原始圖像及邊緣檢測結(jié)果

圖2 圖1中各圖像對應(yīng)的功率譜圖

從算法原理和實(shí)際運(yùn)行結(jié)果來看，本文算法存在的問題主要是時(shí)間和空間復(fù)雜度較大.原因在于:多光譜圖像的Clifford代數(shù)描述方式使得原始圖像存儲的n維矩陣擴(kuò)展到2n維，從而導(dǎo)致存儲空間指數(shù)增長，靜態(tài)存儲空間由原來的O(n×w×h)增加到O(2n×w×h)，同時(shí)算法過程中需要的附加堆棧也急速擴(kuò)充到O(22n×w×h);其次，算法中存在多次多重循環(huán)，使得算法時(shí)間增加.綜合考慮算法②～⑤，得到算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(2n×w×h)，在不考慮w和h的影響時(shí)，可以認(rèn)為算法的復(fù)雜度隨多光譜圖像的光譜分量呈2n級增加.

4 結(jié)語

本文采用Clifford代數(shù)描述多光譜圖像，充分體現(xiàn)了多光譜圖像不同圖層之間的關(guān)聯(lián)性.通過定義像素點(diǎn)的Clifford梯度來綜合反映像素點(diǎn)處光譜的綜合強(qiáng)度，并在此基礎(chǔ)上提出了一種新型的多光譜圖像邊緣檢測與融合算法.與基于最大熵的多光譜圖像邊緣檢測算法進(jìn)行比較，結(jié)果表明，本文算法可以通過利用不同波段光譜層之間的關(guān)聯(lián)性，識別多光譜圖像的模糊邊緣，保存更完整的邊緣.本文算法存在的問題主要是時(shí)間和空間復(fù)雜度較大.下一步研究的重點(diǎn)在于如何提高算法效率，同時(shí)與同其他算法進(jìn)行比較，尋找算法的缺陷并繼續(xù)加以改進(jìn).

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Edge detection of multispectral image based on Clifford algebra

Liu Hui Xu Chen Cao Wenming
(College of Information Engineering，Shenzhen University，Shenzhen 518000，China)

In order to make a full use of the connection among different layers of a multispectral image，the Clifford algebra is used to describe the multispectral image.The Clifford derivative and the Clifford gradient of the multispectral image are defined in the Clifford algebra space.Then a new edge detection and fusion algorithm is proposed by analyzing the edge detection and fusion of the multispectral image.In the algorithm，the Clifford gradient for each pixel in the image is computed and the corresponding Clifford normal number is obtained.Whether a pixel is the edge pixel is then judged with the normal number，and several edge detection images are obtained.Finally，the last edge image is deduced by fusing these edge detection images.The comparison results between the proposed algorithm and the edge detection algorithm based on the maximal entropy show that by taking full advantage of the connection among different layers of the multispectral image，the proposed algorithm can keep more integrated edge information of the multispectral image and obtain more complete edges.

multispectral image;edge detection，Clifford algebra;Clifford gradient;image fusion

TP391

A

1001－0505(2012)02-0244-05

10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.02.010

2011-09-02.

劉輝(1977—)，男，博士生;曹文明(聯(lián)系人)，男，博士，教授，wmcao@szu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61070087)、深圳市基礎(chǔ)基金資助項(xiàng)目(JC201005800305280570A，JC201105080030534011A).

劉輝，徐晨，曹文明.基于Clifford代數(shù)的多光譜圖像邊緣檢測［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，42(2):244-248.［doi:10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.02.010］