汪東樹，王全義

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

具時滯和脈沖的植化相克系統(tǒng)周期正解

汪東樹，王全義

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

考慮一類具時滯和脈沖的兩種群周期浮游生物植化相克系統(tǒng)，利用一些分析技巧和重合度理論，并巧妙構(gòu)造一個同倫變換，得到該系統(tǒng)存在周期正解新結(jié)果，推廣并改進(jìn)了相關(guān)結(jié)果．

植化相克；脈沖；時滯；重合度理論；周期解

1 預(yù)備知識

在水生生態(tài)系統(tǒng)中，浮游植物群落巨大波動的研究是一個重要的課題［1－3］．考慮到種群通過產(chǎn)生植物間抑制物質(zhì)毒素會影響到其他種群數(shù)量增長，以及環(huán)境呈周期性變化（季節(jié)性變化），文獻(xiàn)［4］研究了一類系統(tǒng)

的周期解存在性問題．其中：系統(tǒng)（1）的系數(shù)和時滯都是連續(xù)可微的ω－周期函數(shù)．

考慮到脈沖效應(yīng)對種群的影響，文獻(xiàn)［5－6］研究了具脈沖的系統(tǒng)

的周期解存在性等問題．

考慮具有脈沖和可變時滯植化相克系統(tǒng)

的情況．其中：系統(tǒng)（3）滿足以下3點假設(shè)：

A1）0＜t1＜t2＜…＜tp＜ω是一個周期內(nèi)固定的脈沖點且tk＋p＝tk＋ω（k＝1，2，…）；

A2）di，k是一個實序列（di，k可以看成是種群yi在tk時刻的出生率或收獲比率），且di，k＞－1，di，k＝di，（k＋p）（i＝1，2；k＝1，2，…）；

A3）ai（t），bi（t），ci（t）是非負(fù)連續(xù)的ω周期函數(shù)，ri（t），τj（t），σj（t）是連續(xù)的ω周期函數(shù)，且滿足

2 相關(guān)引理和定義

首先，引入重合度理論中的延拓定理．

設(shè)X，Z是賦范向量空間，L∶DomL?X→Z為線性映射，N∶X→Z為連續(xù)映射．若dim ker L＝co dim ImL＜＋∞且ImL為Z中閉子集，則稱L為指標(biāo)為零的Fredholm映射．如果L是指標(biāo)為零的Fredholm映射，且存在連續(xù)投影P∶X→X及Q∶Z→Z，使得Im P＝Ker L，ImL＝Ker Q＝Im（IQ），x＝Ker L⊕Ker P和Z＝ImL⊕ImQ，則Lp?L｜DomL∩KerP∶DomL∩Ker P→ImL可逆．設(shè)其逆映射為KP，又設(shè)Ω為X中的有界開集，若QN∶ˉΩ→Z與KP（I－Q）N∶ˉΩ→X都是緊的，則稱Z在ˉΩ上是L－緊的．由于ImQ與Ker L同構(gòu)，因而存在同構(gòu)映射J∶ImQ→Ker L．

引理1［7］設(shè)X，Z，L，N如上定義，而且L是指標(biāo)為零的Fredholm映射．又設(shè)Ω為X中的有界開集，N在ˉΩ上是L－緊的．假設(shè)

1）對任意的λ∈（0，1），方程Lx＝λNx的解滿足X??Ω（這里?Ω＝ˉΩ／Ω）；

2）對任意的x∈?Ω∩Ker L，QNx≠0；

3）Brouwer度deg｛JQN，Ω∩Ker L，0｝≠0，這里的J，Q如上定義．則方程Lx＝Nx在DomL∩ˉΩ內(nèi)至少存在一個解．

為了運用重合度理論證明主要的結(jié)論，需要引入一些函數(shù)空間．

記PC（R，R）＝｛Ψ∶R→R，對于t∈R，t≠tk，Ψ（t）是連續(xù)的，且當(dāng)t∈R，t≠tk時是左連續(xù)的，存在，k＝1，2，…｝；PC1（R，R）＝｛Ψ∶R→R，Ψ′（t）∈PC（R→R）｝；PC（［0，ω］，R）＝｛Ψ（t）∈PC（R，R）∶Ψ（t＋ω）＝Ψ（t），t∈R｝．

取X＝｛x（t）＝（x1（t），x2（t））T｜xi∈PC（［0，ω］，R），xi（t＋ω）＝xi（t），?t∈R，i＝1，2｝和Z＝X× R2，p，其中

另取范數(shù)

定義1 如果y1（t），y2（t）∈PC1（R，R），使得（y1（t），y2（t））T滿足式（3），則稱（y1（t），y2（t））T是系統(tǒng)（3）的解．

定義2［8］函數(shù)集F?PC（［0，ω］，R）被稱為是在［0，ω］內(nèi)擬等度連續(xù)的，如果對于任意的ε＞0，存在δ＞0，使得當(dāng)x∈F，k∈R＋，τ1，τ2∈（tk－1，tk）∩［0，ω］，｜τ1－τ2｜＜δ時，就有｜x（τ1）－x（τ2）｜＜ε．

引理2［8］函數(shù)集F?PC（［0，ω］，R）是相對緊的當(dāng)且僅當(dāng)

1）F是有界的，存在常數(shù)M＞0，使得任一Ψ∈F都有‖Ψ‖＝sup｛｜Ψ｜∶t∈［0，ω］｝≤M；

2）F在［0，ω］內(nèi)是擬等度連續(xù)的．

引理3［9］若函數(shù)f（t）∈PC1（R，R），那么

若f（t）是一連續(xù)的ω－周期函數(shù)，就記

為了方便敘述，引入下面記號：

引理4 如果條件

之一成立，則線性方程組

3 正周期解的存在性

定理1 若系統(tǒng)（3）滿足條件A1）～A3），以及R1＞0，R2＞0，且條件

證明 作變換yi（t）＝exp（xi（t）），i＝1，2，則系統(tǒng)（3）變?yōu)?/p>

現(xiàn)定義線性算子L∶DomL?X→Z為

以及定義算子N∶X→Z為

又定義投影算子P∶X→X及Q∶Z→Z為

由于

所以有

利用引理2，不難證明，QN（ˉΩ）和KP（I－Q）N（ˉΩ）都是緊的．從而N在ˉΩ上是L－緊的．

對應(yīng)于算子方程Lx＝λNx，λ∈（0，1），設(shè)x（t）＝（x1（t），x2（t））T∈X是系統(tǒng)（11）對應(yīng)于某一λ∈（0，1）的解．將系統(tǒng)（11）兩端從0到ω積分，可得

由式（11）～（13）可得

為了方便討論，不妨設(shè)式（16），（17）中的第1式成立．至于其他情況則同理可得相同的估計．

首先估計xi（t），i＝1，2的上界．由式（12），（13），（17）有

于是有

因此，由式（14），（15），（20），（21），以及引理3，可知當(dāng)t∈［0，ω］時有

下面，估計xi（t），i＝1，2的下界．由式（12），（13），（16）可知

由式（24）～（26），以及條件A6），A7）可知有

于是，由式（14），（28）及引理3，可知有

于是由式（15），（29）及引理3，可知當(dāng)t∈［0，ω］時有

顯然，正常數(shù)H與λ（λ∈（0，1））是無關(guān)的．

考慮下列代數(shù)方程組

記M＝H＋1，令Ω＝｛x＝（x1，x2）T∈X∶‖x‖＜M｝，則Ω滿足引理1中的條件1）．

當(dāng)x∈Ker L∩?Ω時，x是R2中的常值向量且‖x‖＝M．不論方程組（33）是否有解，均可證明

即引理1中的條件2）也被滿足．

下面證明引理1中的條件3）也成立．為此，定義映射族Φ∶（ˉΩ∩Ker L）×［0，1］→R2為

又由于Φ（x1，x2，μ）是同倫映射，其重合度不變，故有

從而引理1中的條件3）也滿足．因此系統(tǒng)（5）至少有一個ω－周期解，從而系統(tǒng)（3）至少存在一個ω－周期正解．

又若A4）或A5）成立，那么A6）與A7）必然成立．于是由定理1與引理2可得

定理2 若系統(tǒng)（3）滿足A1）～A3），以及R1＞0，R2＞0，且條件A4）與A5）有一個成立，則系統(tǒng)（3）至少存在一個ω－周期正解．

4 應(yīng)用

下面考慮文獻(xiàn)［4－6］中研究的系統(tǒng)（3），（4）存在周期正解的問題．由定理1，2可得

定理3 若系統(tǒng)（1）滿足條件A3），以及ˉr1＞0，ˉr2＞0，且條件

定理4 若系統(tǒng)（1）滿足A3），以及ˉr1＞0，ˉr2＞0，且下列兩條件之一成立：

則系統(tǒng)（1）至少存在一個ω－周期正解．

定理5 若系統(tǒng)（4）滿足條件A1）～A3），以及R1＞0，R2＞0，且條件A6）與A7）成立，以及方程組（36）有唯一正解則系統(tǒng)（2）至少存在一個 －周期正解．

定理6 若系統(tǒng)（4）滿足A1）～A3），以及R1＞0，R2＞0，且條件A6）或A7）成立，則系統(tǒng)（2）至少存在一個ω－周期正解．

注1 易見，定理4，6的結(jié)果成立的條件分別比文獻(xiàn)［4－6］中的主要結(jié)果成立的條件弱得多．即結(jié)論推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)［4－6］中的主要結(jié)果．

例1 考慮系統(tǒng)

經(jīng)計算可知：系統(tǒng)（36），（37）分別滿足定理4，6中的條件．即系統(tǒng)（36），（37）都至少有一個2π周期正解．

易于驗證，系統(tǒng)（6），（7）不滿足文獻(xiàn)［4－6］中相應(yīng)定理的條件，故無法用文獻(xiàn)［4－6］中的結(jié)論來判別其2π-周期正解的存在性．該例也很好地詮釋了注1．

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Positive Periodic Solutions of Two－Specics Impulsive Systems with Time Delays in Plankton Allelopathy

WANG Dong－shu，WANG Quan－yi

（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

In this paper，two－species nonautonomous impulsive systems that arise in plankton allelopathy with time delays and periodic environmental factors are considered．By means of coincidence degree theory and some analysis techniques，we obtain some new results on the existence of positive periodic solutions to the system．Our results generalize and improve the related results．

allelopathy；impulse；delay；coincidence degree theory；periodic solution

O 175．6

A

（責(zé)任編輯：陳志賢 英文審校：黃心中）

1000－5013（2012）04－0460－07

2011－09－29

汪東樹（1981－），男，講師，主要從事微分方程理論和應(yīng)用的研究．E－mail：wangds＠hqu．edu．cn．

國務(wù)院僑辦科研基金資助項目（09QZR10）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費資金資助項目，華僑大學(xué)科研基金資助項目（10HZR025）