周勝利，姚志遠

(南京航空航天大學(xué) 機械結(jié)構(gòu)力學(xué)與控制國家重點實驗室，南京 210016)

直線超聲電機具有結(jié)構(gòu)簡單、直接驅(qū)動、推力比大、響應(yīng)快、斷電自鎖、定位精度高等優(yōu)點，在航空航天，武器裝備和精密驅(qū)動等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用前景，其研究也受到越來越多的關(guān)注[1－4]。

直線超聲電機的動力學(xué)建模是超聲電機研究的重要內(nèi)容。不僅有助于理解超聲電機的運行機理，實現(xiàn)電機結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計、運行控制和壽命估計，且有利于提高電機運行的穩(wěn)定性。

動力學(xué)建模主要包括建立自由定子的振動模型，定/動子的接觸模型和機電耦合模型。由于直線超聲電機通過定/動子的摩擦作用驅(qū)動動子運動，因此分析定/動子的摩擦機制，建立正確的定/動子接觸模型是建立超聲電機動力學(xué)模型的前提。

在國內(nèi)直線超聲電機的研究落后于行波超聲電機[5－6]，當前的研究熱點是其結(jié)構(gòu)設(shè)計，尚缺乏動力學(xué)建模的研究。許海等[7－8]在對直線超聲電機進行動力學(xué)建模時，對摩擦界面采取了與傳統(tǒng)行波超聲電機類似的辦法，即假設(shè)定/動子有光滑的接觸表面，定/動子間有一可等效為線性彈簧的摩擦層。而實際的定/動子接觸表面是粗糙的，且定/動子間并無摩擦層的存在。目前尚未見到有關(guān)直線超聲電機定/動子接觸表面摩擦學(xué)調(diào)查研究，以及粗糙表面對定/動子運行特性影響研究的報道。

本文以南京航空航天大學(xué)精密驅(qū)動所研制的V型直線超聲電機的表面微觀力學(xué)特性為研究對象，首先通過實驗測試了定/動子接觸表面的粗糙度和統(tǒng)計參數(shù)，并基于概率統(tǒng)計方法得到了定子接觸表面各點高度的概率分布函數(shù)，通過偽隨機數(shù)模擬的方法給出接觸表面的模擬模型;再通過赫茲微觀接觸模型建立定/動子接觸的微觀力學(xué)模型。在此模型基礎(chǔ)上得到了定/動子的預(yù)壓力和接觸變形量和真實接觸面積之間的關(guān)系。

1 定、動子接觸界面的微觀表面特性

V型直線超聲電機的定子由兩變幅桿組成，端部有一驅(qū)動足，材質(zhì)是45鋼，動子接觸表面為Al2O3陶瓷，電機實際工作時，預(yù)壓力一般在30～80 N之間。利用4 000倍光學(xué)顯微鏡拍得摩擦后定/動子接觸表面形貌如下:

圖1 定子接觸表面形貌Fig.1 The morphology of stator’s contact surface

圖2 動子接觸表面形貌Fig.2 The morphology of mover’s contact surface

其中，AB為采樣線段。對其上各點高度進行均值化處理(各點高度減去所有點高度的平均值)后，其形貌曲線見圖5虛線部分。

經(jīng)調(diào)查計算，摩擦后定/動子接觸表面特性如表1所示:

由表1可知，動子接觸表面比定子接觸表面光滑的多，且彈性模量和硬度要大得多。利用SPSS軟件對定子接觸表面在采樣線段AB上各點高度進行統(tǒng)計分析，得其關(guān)于正態(tài)分布的P－P圖如圖4。

圖3 動子接觸表面輪廓曲線Fig.3 The contour curve of mover’s contact surface

圖4 P－P圖Fig.4 The P － P figure

圖5 偽隨機數(shù)表面模擬1Fig.5 Surface simulation by pseudo-random number 1

圖6 偽隨機數(shù)表面模擬2Fig.6 Surface simulation by pseudo-random number 2

表1 定/動子接觸表面統(tǒng)計參數(shù)Tab.1 Statistical parameters of stator’s and mover’s contact surface

由圖可見，圖中各點近似呈一條直線，說明定子接觸表面上各點高度服從正態(tài)分布[11]。定子接觸表面上各點高度的概率分布函數(shù)為:

其中方差 σ2=1.12。

利用matlab生成服從上述概率分布的偽隨機數(shù)的方法來模擬定子接觸表面的表面輪廓線如下:

圖5表明，偽隨機數(shù)模擬的方法可模擬摩擦后定子接觸表面形貌。用該方法模擬另外四條表面輪廓線如下，由此可證明該方法是有效的。

2 定/動子接觸表面的微觀力學(xué)分析

2.1 物理模型

實際上定/動子接觸表面是粗糙的，由許多高度不一的微凸體和凹谷組成。為簡化計算，假設(shè):

(1)動子表面剛性光滑平面，定子表面粗糙;

(2)定/動子接觸時只定子發(fā)生變形，且變形完全彈性變形，變形時各微凸體之間無相互作用。

(3)每個微凸體都是半徑不等的球體組成，球體在動子剛性光滑平面的作用下發(fā)生變形，其變形量和受力大小的相互關(guān)系滿足Hertz接觸理論。

(4)直線超聲電機的定、動子接觸在Oxy平面?？紤]Oxy平面的正方形區(qū)域，認為在該區(qū)域內(nèi)定子表面微凸體排列成n×n的方陣，一行或一列上的接觸壓力為，整個正方形區(qū)域上的接觸壓力為

(5)取一行微凸體，沿行方向作剖切面的輪廓線由隨機數(shù)模擬的方法給出，如圖6所示。

實際上，若已知單個微凸體上所承受壓力與變形量、實際接觸面積之關(guān)系，可由Hertz描述。由于表面輪廓線已知，即可求出在這一區(qū)域內(nèi)的總壓力與總變形量、總實際接觸面積之關(guān)系。

圖7 單粗糙峰彈性接觸Fig.7 Single asperity elastic contact

2.2 Hertz接觸模型

依據(jù)以上假設(shè)，動子是由剛性、平整的陶瓷材料組成，它構(gòu)成了一個剛性平面;而定子是由彈性、粗糙的45鋼材料構(gòu)成，構(gòu)成了一個由若干個半徑不等的半球體組成的彈性曲面。首先研究單個球體與剛性平面接觸的問題，根據(jù)Hertz接觸理論[10]，圖7展示單個球體在壓力F下變形狀態(tài)。

圖中，F(xiàn)為載荷;δ為變形量;實際接觸區(qū)域是以a為半徑的圓，而不是以e為半徑的圓。

在彈性范圍內(nèi)有:

實際接觸面積:

2.3 數(shù)值仿真計算

以圖7所示輪廓曲線為研究對象，仿真計算的正方形區(qū)域面積為0.2×0.2 mm2。定子驅(qū)動足表面積為16 mm2，實際表面的壓力、接觸點數(shù)和接觸面積是前者相應(yīng)量的400倍。數(shù)值計算該區(qū)域內(nèi)的總壓力F與實際接觸面積SF之間關(guān)系的算法如下:

(1)給定動子剛性平面在預(yù)壓力作用下的位置高度z;

(2)通過表面輪廓線找到輪廓線與動子剛性平面等高的點{xk}，并從中確定其微凸體所在的區(qū)域{x1k，為微凸體的個數(shù)。

(3)由區(qū)間[x1k，x2k]中波峰坐標[x'k，y'k]和區(qū)間端點坐標[x1k，0]、[x2k，0]插值出與微凸體等效的半球體，并得到半球體的半徑rk和變形量 δk。

(4)由式(4)計算出每個半球體上的載荷Fk，進而得到該正方形區(qū)域上的總載荷F。

(5)由式(5)計算出每個半球體上的實際接觸面積Ak，進而得到總的實際接觸面積SF。

由上述算法可得定子驅(qū)動足變形量與預(yù)壓力之間的關(guān)系如圖8所示。

用二次函數(shù)擬合，有:

實際接觸面積與變形量的關(guān)系如下:

用線性函數(shù)擬合，有:

實際接觸面積與預(yù)壓力之間的關(guān)系如圖10所示。

用線性函數(shù)擬合，有:

圖8 變形量與預(yù)壓力的關(guān)系Fig.8 The relationship between deformation and pre-stress

圖9 實際接觸面積與變形量的關(guān)系Fig.9 The relationship between real contact area and deformation

圖10 實際接觸面積與預(yù)壓力之間的關(guān)系Fig.10 The relationship between real contact area and pre-stress

3 結(jié)論

本文利用偽隨機數(shù)的表面模擬方法模擬摩擦后定子的接觸表面形貌，并建立了相應(yīng)的微觀接觸力學(xué)模型，計算結(jié)果表明:

(1)陶瓷的硬度和彈性模量都比45鋼大得多，且摩擦后的動子接觸表面粗糙度比定子接觸表面粗糙度低得多，故在建模時，可認為動子接觸表面是光滑剛性的。

(2)接觸變形量隨預(yù)壓力的變化呈2次多項式的變化規(guī)律，在電機正常工作時，變形量一般在0.1－0.2 μm之間。

(3)定/動子實際接觸面積隨預(yù)壓力的變化近似為線性變化規(guī)律，在電機正常工作時，實際接觸面積在0.002－0.005 mm2之間，只占名義接觸面積中極小的一部分。

(4)通常驅(qū)動足振幅在0.3－0.4 μm 之間，而接觸變形量在0.1－0.2 μm 之間，表明定、動子的接觸層起非線性的彈簧作用，對電機的振動產(chǎn)生影響。

分析反映了實際直線超聲電機定/動子接觸的狀況，研究有助于建立直線超聲電機的整體動力學(xué)模型和分析摩擦摩損特性。

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