霍承剛,王樹新

（1.宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽宿州234000;2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，遼寧大連116029）

對紐結(jié)的Vassiliev不變量的研究

霍承剛,1王樹新2

（1.宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽宿州234000;2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，遼寧大連116029）

介紹一類重要的紐結(jié)不變量，即Vassiliev不變量，給出了紐結(jié)Vassiliev不變量的一些性質(zhì)及其作用在特殊紐結(jié)上的相關(guān)結(jié)論。

紐結(jié)；環(huán)鏈；Vassiliev不變量

1 引言

紐結(jié)是三維空間中的簡單閉曲線，簡單閉曲線意思是連通的（連成一體），封閉的（沒有端點(diǎn)的），不自交的（自己與自己不相交，即沒有粘連的）曲線。尋找拓?fù)洳蛔兞渴峭負(fù)鋵W(xué)的重要議題之一，作為低維拓?fù)湟粋€(gè)分支的紐結(jié)其任務(wù)亦然。1989年，V.Vassiliev和M.Goussarov各自獨(dú)立的引進(jìn)了有限階紐結(jié)不變量的概念，也稱為Vassiliev紐結(jié)不變量。顯然，Vassiliev不變量是低維拓?fù)渲邢喈?dāng)新的一個(gè)概念，是基于對流形光滑映射的判別式（即帶奇異點(diǎn)映射）研究而引入這一概念的。后來Birman和Lin給出了Vassiliev不變量的公理描述。本文采用Birman-Lin所引進(jìn)的Vassiliev不變量的定義。Vassiliev不變量是一個(gè)極具特色的紐結(jié)不變量，比如它有著類似多項(xiàng)式的性質(zhì)等。Vassiliev不變量引起了廣泛的興趣和關(guān)注，Vassiliev不變量被證明至少同瓊斯多項(xiàng)式及其源于各種量子群的一般形式具有同等作用。像紐結(jié)的Goussarov多項(xiàng)式的系數(shù)，Jones多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)在1的值等被證明是Vassiliev不變量，人們從不同的角度去研究刻畫Vassiliev不變量的特性，例如Y.Ohyama利用紐結(jié)的相似性研究它；Ted.Stan ford利用辮交換子刻畫其特點(diǎn)；Y.Ohyama和Harumi Yamada利用Cn-move進(jìn)行研究等。近年來對其研究越來越多，相信在對紐結(jié)的分類過程中，它勢必扮演比各色紐結(jié)多項(xiàng)式更重要的作用。[1]

本文將對紐結(jié)的Vassiliev不變量進(jìn)行介紹，給出紐結(jié)Vassiliev不變量的一些性質(zhì)及其在特殊紐結(jié)上的相關(guān)結(jié)論。

2 主要結(jié)果

對值域?yàn)榘⒇悹柸旱募~結(jié)不變量，可以通過下述線束關(guān)系：

定義奇異紐結(jié)的不變量,其中KD，K+，K-表示局部，如圖1。

圖1

而其余部分完全相同的紐結(jié)圖表。

定義1：設(shè)v為值域在阿貝爾群的紐結(jié)不變量，如果對任意多于n個(gè)奇異點(diǎn)的紐結(jié)有v(K)=0，則稱此不變量為n階Vassiliev不變量，通常記為vn，此定義可自然的擴(kuò)充到環(huán)鏈上。

從不變量的定義及線束關(guān)系(1)可以得到如下事實(shí)：記Kn為有n個(gè)奇異點(diǎn)的紐結(jié)，則交換它的一系列交叉點(diǎn)而值vn(Kn)不變（其值僅由奇異點(diǎn)位置決定）。特別地)，其中n表示鏡面像。再由vn(Kn+1)=0，這使人聯(lián)想到如果f∶R→R為常值映射，則對?x∈R有f(x)=v(-x)。

定義2[2]：設(shè)v,w為兩個(gè)紐結(jié)不變量，定義它們的乘積如下：v.w(K)=v(K)w(K)。

利用歸納法易證明下面定理。

引理1[3]：令v,w為紐結(jié)J的Vassiliev不變量，K為有i個(gè)奇異點(diǎn)的紐結(jié)，則，其中。

此定理類似于分析上Leobniz的定理：若f,g∶Rn→R為函數(shù)，則

定理1：若v,w分別為m階和n階紐結(jié)不變量，則v,w為n+m階不變量。

證明：當(dāng)v,w作用于任意有n+m+1個(gè)奇異點(diǎn)的紐結(jié)時(shí)，由引理1可知和式中每項(xiàng)要么|J|＞m，要么|J|＞m.從而v(|J|)=0或w(|J|)=0，所以v,w(n+m+1)=0，Conway多項(xiàng)式即得證。

下面定理說明了紐結(jié)的系數(shù)與Vassiliev不變量的關(guān)系。

定理2：經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，Homfly多項(xiàng)式的泰勒展式的系數(shù)為有限階的。

證明：Homfly多項(xiàng)式的一種標(biāo)準(zhǔn)形式是以q和N為參數(shù)的多項(xiàng)式，且滿足下列等式:

若令q=ex，然后展成x次冪形式，則上式可變形為：

上式子為關(guān)于x的“一團(tuán)”的表達(dá)式，其中“一團(tuán)”表示此部分比較復(fù)雜，但不管它是什么，此時(shí)多項(xiàng)式的系數(shù)是有限階的。

注1：Jones多項(xiàng)式是Homfly多項(xiàng)式對N≡2的情況，所以由定理2的證明可知Jones多項(xiàng)式經(jīng)過適當(dāng)變量替換，它們泰勒展式的系數(shù)也為有限階的。

注2：類似于定理2的證明，對Kauffman多項(xiàng)式也有相同結(jié)論成立。

另外，紐結(jié)的Jones多項(xiàng)式的階導(dǎo)數(shù)在1的取值為n階不變量。而且Jones多項(xiàng)式的系數(shù)不是有限階的，但可以用有限階不變量來逼近。[4]

引理2[5]：令{K|z∈Z}是扭轉(zhuǎn)序列，若F: K→C是階≤m的不變量，則F（Kz）是以z為變量階≤m的多項(xiàng)式。

垂直扭轉(zhuǎn)序列和水平扭轉(zhuǎn)序列分別如圖2。

圖2

定理3：紐結(jié)的不紐數(shù)不是有限階的。

證明：考慮平凡紐結(jié)的Whitehead doubles的不紐數(shù)，

顯然這不是關(guān)于i的多項(xiàng)式，從而不紐數(shù)不是有限階的不變量。

對特殊紐結(jié)計(jì)算Vassiliev不變量有下面兩個(gè)結(jié)論。

定理4：設(shè)Kn為有n個(gè)奇異點(diǎn)的紐結(jié)，由Vassiliev線束關(guān)系式去掉奇異點(diǎn)計(jì)算其Conway多項(xiàng)式，則當(dāng)拆得為平凡紐結(jié)時(shí)，zn的系數(shù)為1；當(dāng)拆得為分離環(huán)鏈時(shí)，zn的系數(shù)為0。

證明：令C(K)(z)表示紐結(jié)的Conway多項(xiàng)式，仍用C表示其在奇異紐結(jié)上的擴(kuò)展，由Conway多項(xiàng)式的定義及線束關(guān)系有：

由上關(guān)系式知每去掉一個(gè)奇異點(diǎn)，z的次數(shù)升高一次再結(jié)合平凡紐結(jié)和分離環(huán)鏈的Conway多項(xiàng)式即得證。

下面將描述了一個(gè)關(guān)于有平凡Conway多項(xiàng)式的紐結(jié)當(dāng)其對應(yīng)的V3值（此處V3簡記紐結(jié)Jones的多項(xiàng)式的3階導(dǎo)數(shù)在1的值）滿足一定條件時(shí)，它是Vassiliev值的特點(diǎn)。

定理5：若K為有平凡Conway多項(xiàng)式的紐結(jié)，則當(dāng)K對應(yīng)的值V3為72的倍數(shù)時(shí)，其3階的Vassiliev值v3(K)為整數(shù)。

證明：polyak-Viro給出了不變量v3的計(jì)算公式：[6，7]

在[4]中，給出了v4的計(jì)算公式：

則當(dāng)K有平凡的Conway多項(xiàng)式時(shí)有：

由v4的整性及事實(shí)144|V4有：

[1]D.Bar-Natan,On the Vassilliev knot invariants[J].Topology 1995,34:423-472.

[2]Y.Ohyama,Vassiliev invariants and similarity of knots,Proc.Amer.Math.Soc.1995,123:287-291.

[3]T.Stanford,Braid commutators and Vassiliev invariants[J].Pacific J.Math,1996,174:269-276.

[4]Yasutaka Nakanishi and Y.Ohyama,knots with given finite type invariants and Conway polynomial[J].Knot Theory Ramifications,2006,15(2):205-215.

[5]T.Stanford and R.Trapp,On knot invariants which are not of finite type[M].Preprint,1999：28.

[6]A.Stoimenow,On the Polyak-Viro Vassiliev invariants of degree 4[J].Canad.Math.Bull,XX(Y):1-15.

[7]J.S.Birman and X.-S.Lin,Knot polynomials and Vassiliev's invariants[J].Inventiones mathematicae,1993,111:225-270.

責(zé)任編輯：胡德明

Abstract:The paper introduces a class of important knot invariant,namely Vassiliev invariant.Some properties of Vassiliev invariant and some conclusions about its use on special knot are given.

Key words:knot;link;Vassiliev invariant

Some Vassiliev Invariants of Knot

Huo Chenggang1，Wang Shuxin2
(1.School of Mathematics and Statistics,University of Suzhou,Suzhou234000,China;2.Department of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian116029,China)

O189

A

1672-447X（2012）03-0001-003

2011-12-02

霍承剛（1980-），山東德州人，宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，碩士，研究方向?yàn)榈途S拓?fù)溲芯俊?/p>