袁雪峰，陳海波

(中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)學(xué)院，湖南 長沙 410000)

關(guān)于微分系統(tǒng)極限環(huán)的研究，已經(jīng)有學(xué)者取得豐富的成果.例如，文獻(xiàn)［1］討論了如下系統(tǒng):

極限環(huán)在不同條件下存在的充分條件.

另外，文獻(xiàn)［2-4］研究了幾類奇次微分系統(tǒng)極限環(huán)的問題，特別是文獻(xiàn)［5］討論了更為廣泛的系統(tǒng)

極限環(huán)的存在性.對于系統(tǒng)(2)，當(dāng)n=1時(shí)，可化為系統(tǒng)(1)，從而知道系統(tǒng)(2)是(1)的推廣.文獻(xiàn)［2］研究的結(jié)果涵蓋(1)中極限環(huán)存在的條件.

本文是在文獻(xiàn)［1-5］的基礎(chǔ)上研究了一類廣泛的系統(tǒng)的極限環(huán)的存在的條件，其中n＞m，2k＞2n-2m+1，n，m，k∈ N，a1，a2，a3是實(shí)數(shù)，且φ(x)，φ(x)滿足以下條件:

(H1)φ(x)為偶函數(shù)，且φ(0)＞0;

(H2)xφ'(x)＞ 0;

(H3)φ(x)是偶函數(shù)，且φ(x)＞0.

注:(H1)、(H2)包含了φ(x)≥φ(0)＞0.

顯然，文獻(xiàn)［1-5］所研究的系統(tǒng)都可以作為本文系統(tǒng)的特殊情況.本文對參數(shù)a1，a2，a3進(jìn)行討論，運(yùn)用Poincare切線法［6］以及N.Levinson-O.K.Smith定理［7］證明系統(tǒng)(3)極限環(huán)的不存在性、存在性和唯一性.

1 引理(Poincare切線法)［6］

F(x，y)=C 是一曲線組，且 F(x，y)∈C'(G)，

2 極限環(huán)的不存在性

本節(jié)利用不相交定理和引理討論系統(tǒng)(3)在滿足定理給定條件下，其極限環(huán)不存在，從而給出極限環(huán)不存在的充分條件.

定理1 當(dāng)a2a3≥0時(shí)，系統(tǒng)(3)不存在極限環(huán).

證明 針對定理所給出的條件，對a1=0，a1＜0，a1＞0三種情況進(jìn)行討論.

(i)當(dāng)a1=0時(shí)，系統(tǒng)不存在極限環(huán).

當(dāng)a1=a2=a2=0時(shí)，系統(tǒng)化為下面系統(tǒng)

由文獻(xiàn)［1］知，O(0，0)是(5)的中心.

用類似上面的方法把系統(tǒng)(3)化為:

當(dāng)a2a3≥0時(shí)，

故上式為常號，系統(tǒng)(4)和(5)的向量場關(guān)于參數(shù)a2構(gòu)成廣義的旋轉(zhuǎn)向量場.由不相交定理可以得到這兩個(gè)系統(tǒng)的閉軌線必定不相交，這與原點(diǎn)是(5)的中心矛盾，即不存在閉軌線，所以當(dāng)a1=0時(shí)，系統(tǒng)(3)不存在極限環(huán).

(ii)當(dāng)a1＜0，a2a3≥0時(shí)，系統(tǒng)(3)不存在極限環(huán).

其中，F(xiàn)(x)，g(x)∈C(-∞，+∞)，又因?yàn)閍1＜0，所以O(shè)(0，0)是唯一奇點(diǎn).

當(dāng)x≠0，a1＜0，a2a3≥0時(shí)，

又 φ(x)≥ φ(0)＞ 0，

又令

且

故當(dāng)a2=a3=0時(shí)，O(0，0)是中心;當(dāng)a2＞0，a3＞0時(shí)，0;當(dāng)a2＜0，a3＜0時(shí)，＜0.故在(ii)給出的條件下定號，又由引理可以得到系統(tǒng)(3)不存在極限環(huán).

(iii)當(dāng)a1＞0，a2a3≥0時(shí)，系統(tǒng)(3)不存在極限環(huán).

所以由(i)～(iii)的證明知:在定理1的條件下，系統(tǒng)(3)極限環(huán)不存在.

3 極限環(huán)的存在唯一性

本節(jié)驗(yàn)證系統(tǒng)在定理2給定的條件下，滿足N.Levinson-O.K.Smith定理，從而得出系統(tǒng)極限環(huán)存在且唯一的充分條件.

定理2 當(dāng)系統(tǒng)(3)滿足a1≤0，a2＞0，a3＜0時(shí)，存在唯一且穩(wěn)定的極限環(huán).

由于a1≤0，所以O(shè)(0，0)是唯一奇點(diǎn).

下面只需要討論系統(tǒng)在定理2的條件下滿足N.Levinson-O.K.Smith定理:

故必定存在x1＞0，使得成立.當(dāng)0＜x＜x1時(shí)，F(xiàn)(x)＜0;當(dāng)x1≤x時(shí)，F(xiàn)(x)≥0;當(dāng)x1≤x時(shí)，-a2≥a3x2n-2mφ(x);有

令

因?yàn)閍1≤0，a2＞0，a3＜0且xφ'(x)＞ 0，所以

即知當(dāng)x1≤x時(shí)，F(xiàn)(x)≥0且單調(diào)遞增;

(ⅲ)因2k＞2n-2m+1，a1≤0，故

由(ii)的證明可知:

又

即

(ⅳ)F(x)，g(x)滿足Lipschitz條件.

由上面的證明可知，在定理2的條件下，滿足定理N.Levinson-O.K.Smith的條件，則系統(tǒng)(3)存在唯一且穩(wěn)定的極限環(huán).

4 結(jié)論

文章研究了一類形如(3)的高次微分系統(tǒng)，對參數(shù)進(jìn)行討論，利用不同的方法得出了這類系統(tǒng)極限環(huán)不存在性、存在性和唯一性的充分條件.這對于高次微分系統(tǒng)極限環(huán)的存在性、唯一性的研究起到了一定的推動(dòng)作用.

［1］梁錦鵬.一類三次系統(tǒng)的極限環(huán)［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2003，23(3):398-404.

［2］Li Jibin，Huang Qiming.Bifurcation of limit cycle forming compound eyes in the cubic system［J］.Chinese Ann.Math Series B，1987，8(4):391-403.

［3］高靜，林京.一類奇次微分系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與唯一性［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，32(4):587-590.

［4］馬知恩.一類三次系統(tǒng)極限環(huán)的存在唯一性［J］.數(shù)學(xué)年刊 A 輯，1986，7(1):1-6.

［5］張瑞海，張齊.一類多項(xiàng)式微分系統(tǒng)極限環(huán)的存在性和唯一性［J］.湘潭師范學(xué)院報(bào):自然科學(xué)版，2006，28(4):8-12.

［6］張志芬，丁同仁，黃文灶，等.微分方程定性理論［M］.北京:科學(xué)出版社，1985:155-231.

［7］葉彥謙，等.極限環(huán)輪［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1984:60-135.