王 強(qiáng)，馬生全

（1.三亞學(xué)院 理 工學(xué)院，海南 三亞 572022；2.海南師范大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，海南 ?？?571158）

基于模糊積分分類器的一種改進(jìn)

王 強(qiáng)1，馬生全2

（1.三亞學(xué)院 理 工學(xué)院，海南 三亞 572022；2.海南師范大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，海南 海口 571158）

通過對傳統(tǒng)積分分類器的改進(jìn)，引入正向和負(fù)向兩個隸屬評價(jià)來進(jìn)行最終的評價(jià)，利用復(fù)值函數(shù)的模糊積分給出示例最終的隸屬評價(jià)，讓復(fù)值函數(shù)的積分在分類技術(shù)中得到了應(yīng)用，豐富了模糊積分在分類技術(shù)中的應(yīng)用形式，給出了在進(jìn)行最終隸屬評價(jià)的三種處理方式.

模糊積分；分類器；隸屬評價(jià)；樂觀因子；模糊推理

分類問題是模式識別系統(tǒng)的重要組成部分，分類是根據(jù)已有的示例學(xué)習(xí)分類器，然后將新數(shù)據(jù)利用該分類器分為符合實(shí)際情況的不同類別，常見的分類方法有貝葉斯推理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、線性方法、最鄰近等等.隨著模糊集合理論的發(fā)展也帶來了新的分類器，比如基于模糊積分的分類器.模糊積分是一種基于測度的積分[1]，其在綜合評判中的應(yīng)用已經(jīng)很廣泛，克服了傳統(tǒng)的加權(quán)平均帶來的不符合邏輯的弊端.王熙照等人將模糊積分運(yùn)用于分類技術(shù)中，也得到了很廣泛的應(yīng)用[2].

1 模糊積分分類器介紹

模糊積分的分類可以表示如下[2]：

則初等模糊積分分類器

如下定義：如果

這樣定義的模糊積分分類器是一個經(jīng)典的分類器，其輸出是一個布爾向量.

定義2 設(shè)有一個c類的分類問題，X={x1，x2，…，xn}表示屬性集，f=（f（x1），f（x2），…，f（xn））為定義在X上的實(shí)值函數(shù)，令，這里μi為第i類所對應(yīng)的模糊測度，則

這種積分分類器的輸出是一個[0，1]區(qū)間上c維向量.這樣給出的輸出實(shí)際上是該示例在每一類上的隸屬評價(jià)，這樣根據(jù)最大隸屬原則便能得到該示例的最終類別.

2 模糊積分分類器的改進(jìn)

上述定義2的積分分類器與定義1的積分分類器的區(qū)別在于初等積分分類器只采用了一組模糊測度，而定義2的積分分類器則分別在每一類上都給出了一組模糊測度，然后分別在每一類上進(jìn)行模糊積分，其輸出應(yīng)該是在每一類上的隸屬評價(jià).最后根據(jù)最大隸屬原則來得到最終的分類類別.值得注意的是，對某一示例，屬性值f（xi）代表的是第i個屬性對最終類別的支持度，所以定義2定義是一種正向的評價(jià).本文的一種改進(jìn)的思想是利用正向和負(fù)向兩個方面的綜合評價(jià)來進(jìn)行最終的分類.

定義3 設(shè)有一個c類的分類問題，X={x1，x2，…，xn}表示屬性集，f=（f（x1），f（x2），…，f（xn））為定義在X上的實(shí)值函數(shù)，即在每一個屬性上的正向評價(jià)，每一分量的值都是介于0與1之間，則1-f=（1-f（x1），1-f（x2），…，1-f（xn））為在每一個屬性上的負(fù)向評價(jià)，令，這里 μi為第i類所對應(yīng)的模糊測度，則這種積分分類器所得到的輸出是一組二維向量

（ak，bk）代表的是該示例隸屬于第k類的正向隸屬評價(jià)和負(fù)向隸屬評價(jià)度.令dk=ak-bk，k=1，2，…，c，則可以根據(jù)最大隸屬度原則給出其最終的分類.

如果我們將一組二維向量看成一組復(fù)數(shù)向量，于是我們可以得到定義4：

定義4 設(shè)有一個c類的分類問題，X={x1，x2，…，xn}表示屬性集，f=（f（x1），f（x2），…，f（xn））為定義在X上的實(shí)值函數(shù)，即在每一個屬性上的正向評價(jià)，每一分量的值都是介于0與1之間，則積分分類器所得到的輸出是一組復(fù)值向量

該定義也可以將屬性的輸出看成是一個復(fù)值函數(shù)，其中實(shí)部代表的是對該屬性的正向評價(jià)，虛部代表的是對該屬性的負(fù)向評價(jià)，然后利用復(fù)值函數(shù)的模糊積分可以得到示例分別對每一類的隸屬評價(jià)，其值也是一個復(fù)數(shù)，實(shí)部代表了正向的隸屬評價(jià)，虛部代表的是負(fù)向的隸屬評價(jià).通過傳統(tǒng)積分分類器的改進(jìn)，引入負(fù)向隸屬評價(jià)，使得對分類的刻畫更加全面.

3 實(shí)例計(jì)算

考慮表1所示的4個示例的兩類問題：

表1 屬性值Tab.1 Attribute Value

根據(jù)本文第二節(jié)，可以將其屬性值看成是一個二維向量（或者是復(fù)數(shù)），于是得到表2所示的屬性值表：

表2 改進(jìn)后的屬性值表Tab.2Improved Attribute Value

定義在每一類上的模糊測度（見表3）.

表3 模糊測度Tab.3 Fuzzy Measure

利用定義3給出的積分分類器進(jìn)行分類，采用Choquet積分得到表4.

其最終的隸屬程度的評價(jià)為下表5所示.

于是可以得到第一個示例其最終的分類為類2，第二個示例其最終的分類為類1，第三個示例其最終的分類為類1，第四個示例其最終的分類為類1.由于這種分類器是單從正向的評價(jià)，不足以去刻畫某個示例隸屬于哪一類，于是從正向和負(fù)向兩個方向去刻畫其在某一類上的評價(jià)值，從上述例子可以看到，如果僅從正向去評價(jià)其屬于某一類的程度，示例2應(yīng)該隸屬于第2類，如果從正向和負(fù)向來考慮的話其應(yīng)該是屬于第一類的，這種積分分類器要求我們要綜合考慮隸屬評價(jià)值，符合人的邏輯.當(dāng)然這種分類器也是基于模糊積分的分類器，模糊積分的選擇以及模糊測度的給出都會給最終的分類帶來很大的影響，因此要根據(jù)具體情況來選擇具體的模糊積分.

表4 Choquet積分的結(jié)果Tab.4 The Consequense Choquet Integrals

表5 最終隸屬評價(jià)Tab.5The Final Membership Evaluation

4 最終隸屬評價(jià)的兩種處理方式

當(dāng)然用dk=ak-bk來刻畫最終的隸屬評價(jià)值也會顯得很粗糙，于是有以下兩種方式來對上述方法再一次進(jìn)行改進(jìn).

第一種方法，可以引進(jìn)樂觀-悲觀因子[3]，即將dk表示成 ak與 bk的線性函數(shù)，令 dk=αak-（1-α）bk，選擇不同的α?xí)玫讲煌姆诸惤Y(jié)果.

另外一種方法是同模糊推理[4]的方式來進(jìn)行最終的分類，其基本思想是由于最終的隸屬評價(jià)是由正向和負(fù)向兩個方面去刻畫，并且認(rèn)為某個示例隸屬于某一類的正向評價(jià)越大，負(fù)向評價(jià)越小，則該示例隸屬于這一類的程度就會越大.因此我們可以建立正向隸屬評價(jià)，負(fù)向隸屬評價(jià)與最終隸屬評價(jià)的模糊規(guī)則庫，對每一個示例利用模糊推理得到其最終的評價(jià).具體步驟如下：

第一步 建立正向隸屬評價(jià)與負(fù)向隸屬評價(jià)的模糊集；

第二步 建立建立正向隸屬評價(jià)，負(fù)向隸屬評價(jià)與最終隸屬評價(jià)的模糊規(guī)則庫；

第三步 輸入正向隸屬評價(jià)，負(fù)向隸屬評價(jià)值，利用Mattlab中模糊邏輯工具箱進(jìn)行求解[5].

下面分別給出刻畫正向隸屬評價(jià)和刻畫負(fù)向隸屬評價(jià)的語言變量“高”“中”“低”的模糊集

正向隸屬評價(jià)“高”，記為s型模糊數(shù)，pos.high＜0.5,1＞

正向隸屬評價(jià)“中”，記為三角型模糊數(shù)，pos.mid＜0,0.5,1＞

正向隸屬評價(jià)“低”，記為反s型模糊數(shù)，pos.low＜0,0.5＞

負(fù)向隸屬評價(jià)“高”，記為s型模糊數(shù)，neg.high＜0.5,1＞

負(fù)向隸屬評價(jià)“中”，記為三角型模糊數(shù)，neg.mid＜0,0.5,1＞

負(fù)向隸屬評價(jià)“低”，記為反s型模糊數(shù)，neg.low＜0,0.5＞

接下來給出刻畫綜合隸屬評價(jià)的語言變量“高”，“稍高”，“中”，“稍低”，“低”的模糊集.

綜合隸屬評價(jià)“高”，記為s型模糊數(shù)，com.high＜0.75,1＞

綜合隸屬評價(jià)“稍高”，記為三角型模糊數(shù)，com.lithigh＜0.5,0.75,1＞

綜合隸屬評價(jià)“中”，記為三角型模糊數(shù)，com.mid＜0.25,0.5,0.75＞

綜合隸屬評價(jià)“稍低”，記為三角型模糊數(shù)，com.litlow＜0,0.25,0.5＞

綜合隸屬評價(jià)“低”，記為反s型模糊數(shù)，com.low＜0,0.25＞

根據(jù)專家知識和經(jīng)驗(yàn)可以給出如下幾條雙入單出的模糊推理規(guī)則：

1）如果正向隸屬評價(jià)“高”，負(fù)向隸屬隸屬評價(jià)“低”，則綜合評價(jià)“高”

2）如果正向隸屬評價(jià)“高”，負(fù)向隸屬隸屬評價(jià)“高”，則綜合評價(jià)“中”

3）如果正向隸屬評價(jià)“高”，負(fù)向隸屬隸屬評價(jià)“中”，則綜合評價(jià)“稍高”

4）如果正向隸屬評價(jià)“中”，負(fù)向隸屬隸屬評價(jià)“低”，則綜合評價(jià)“稍高”

5）如果正向隸屬評價(jià)“中”，負(fù)向隸屬隸屬評價(jià)“中”，則綜合評價(jià)“中”

6）如果正向隸屬評價(jià)“中”，負(fù)向隸屬隸屬評價(jià)“高”，則綜合評價(jià)“稍低”

7）如果正向隸屬評價(jià)“低”，負(fù)向隸屬隸屬評價(jià)“低”，則綜合評價(jià)“中”

8）如果正向隸屬評價(jià)“低”，負(fù)向隸屬隸屬評價(jià)“中”，則綜合評價(jià)“稍低”

9）如果正向隸屬評價(jià)“低”，負(fù)向隸屬隸屬評價(jià)“高”，則綜合評價(jià)“低”

有了這9條規(guī)則后，根據(jù)Mamdani的CRI算法，利用中心解模糊計(jì)算出其綜合的隸屬評價(jià).表6給出了其屬于各類的綜合隸屬評價(jià)：

表6 利用模糊推理計(jì)算出的綜合隸屬評價(jià)Tab.6The Comprehensive Membership Evaluation Based On Fuzzy Inference

選擇Mamdani蘊(yùn)含算子，t-范數(shù)為取小，利用Mattlab計(jì)算得到每個方案的評價(jià)值，評價(jià)值越小即排名越高，經(jīng)過計(jì)算得到四個示例的綜合隸屬評價(jià).

根據(jù)改進(jìn)的模糊推理進(jìn)行最終隸屬評價(jià)，得到上述四個案例分別是屬于2、1、1、1類.

運(yùn)用模糊積分工具，利用雙向隸屬評價(jià)和模糊推理方法來進(jìn)行案例的最終分類，體現(xiàn)了分類的全面性和客觀性，達(dá)到了較好的分類效果.

[1]Sugeno M.Theory of Fuzzy Integrals and Applications.[D].Tokyo Institute of Technology,1974.

[2]王煕照.模糊側(cè)度和模糊積分及其在分類技術(shù)中的應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[3]徐玖平.多屬性決策的理論與方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2007.

[4]聞新,周露,李東江.Matlab模糊邏輯工具箱的分析與應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[5]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965(8):338-353.

責(zé)任編輯：畢和平

Improvement of Fuzzy Integral Classifier

WANG Qiang1，MA Shengquan2
（1.College of Technology，Sanya College，Sanya 572022，China；2.College of Information Science and Technology，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

Through the improvement of classifier of the traditional integration,by introducing positive and negative membership evaluations to make the final evaluation,we use fuzzy Integral of the complex-valued functions to give the sample final membership evaluation,put integration of complex-valued functions into use in classification technology,expand the way fuzzy integral performs in classification technology,and offer three ways to deal with the final member?ship evaluation.

Fuzzy Integral;classifier；Membership evaluation；positive factor；fuzzy reasoning

O 159

A

1674-4942（2012）03-0259-04

2012-06-05