李瑋侖

（西安建筑科技大學(xué)機電工程學(xué)院，陜西西安 710055）

帶異號電荷兩絕緣小球?qū)π恼龅倪\動學(xué)方程

李瑋侖

（西安建筑科技大學(xué)機電工程學(xué)院，陜西西安 710055）

本文利用分離變量求解微分方程和換元積分法推導(dǎo)出帶異號電荷的兩絕緣小球發(fā)生對心正碰的運動學(xué)方程，從而得以掌握運動小球在任一時刻的運動狀態(tài).

運動學(xué)方程；換元積分法；分離變量；異號電荷；絕緣小球

引言

帶電小球碰撞問題是物理教學(xué)中的典型實例，在傳統(tǒng)的解題方法中通常使用動能定理及機械能守恒定律計算特定位置小球的速度或勢能（近似為點電荷）.本文通過幾種高等數(shù)學(xué)基本計算方法以牛頓第二定律列寫動力學(xué)方程為基礎(chǔ)研究討論碰撞問題中小球的運動學(xué)方程（其中一球固定不動）.根據(jù)該問題建立坐標(biāo)如圖1：

圖1 兩帶異號電荷絕緣小球初始位置示意圖

圖1中，設(shè)初始時刻C、D兩球相距L；半徑均為R；質(zhì)量均為m1.以運動小球C的初始位置為坐標(biāo)原點O，初速度為v1，帶電量為＋q1（q1＞0）；固定小球D帶電量為－q2（q2＞0）.兩小球所在直線為x軸.

1 碰撞前小球動力學(xué)方程及其求解

碰撞前，當(dāng)0＜x＜L時根據(jù)牛頓第二定律，得C球的動力學(xué)方程

用分離變量法求解該微分方程得

解得

令

得到了位移x對t的微分方程

繼續(xù)對上式分離變量求解

利用換元積分法求解式（5）的定積分，令

則有式（5）

（積分上下限省略）

則有式（5）

確定積分上下限

將積分上下限代入式（6）得碰撞前小球的運動學(xué)方程

方程1：

2 碰撞分析

圖2 兩帶電小球發(fā)生碰撞示意圖

碰撞時，將x＝L－2R代入碰撞前小球的運動學(xué)方程（即方程1）與式（4）得

假設(shè)兩小球發(fā)生完全彈性碰撞，又因兩小球均為絕緣小球，所以碰撞后帶電情況無變化且C球反向初速度v2＝vp.

3 碰撞后小球動力學(xué)方程及其求解

圖3 碰撞后小球運動情況示意圖

碰撞后，當(dāng)0＜x＜L時根據(jù)牛頓第二定律得

令L－x＝x′，有

得

利用和推導(dǎo)碰撞前C球的運動學(xué)方程同樣的換元積分法就可得碰撞后小球的運動學(xué)方程（設(shè)為方程2）.

方程2：

4 結(jié)果分析

將x＝0代入碰撞后小球的運動學(xué)方程（即方程2）和式（10）得

這顯然符合動能定理及功能轉(zhuǎn)換關(guān)系.

當(dāng)已知小球運動的時間t（t＜tp時代入方程（1），t＞tp時代入方程（2））時，即可確定小球的位置坐標(biāo).通過式（4）或式（10）（t＜tp時代入式（4），t＞tp時代入式（10））又可確定出小球的速度，這樣小球的運動狀態(tài)就可清楚地掌握了.

5 結(jié)果展望

根據(jù)以上推導(dǎo)得出了碰撞小球的運動學(xué)方程從而掌握了發(fā)生此類碰撞時任一時刻小球的運動狀態(tài).然而，點電荷之間相互作用的庫侖力和兩行星之間相互作用的萬有引力具有相似性，并且?guī)靵龆珊腿f有引力定律在數(shù)學(xué)表達式上也有相同的規(guī)律，它們都遵循平方反比定律.那么，不妨這樣考慮：將固定的D球類比為一個恒星，C球類比為一個行星，行星在恒星萬有引力的作用下以一定的初速度撞向恒星.這樣帶電小球的碰撞問題就轉(zhuǎn)化成了行星碰撞問題，可以根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律列出行星的運動學(xué)方程，再根據(jù)以上介紹的換元積分法和分離變量法就可將這一問題搞清楚了，這樣就將以上討論的問題和天體物理聯(lián)系在一起了.

［1］ 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué) 第六版（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2007.193～200

［2］ 吳百詩，張孝林.大學(xué)物理基礎(chǔ)（下冊）［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.4

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2011－11－21）

李瑋侖，1991年出生，現(xiàn)就讀于西安建筑科技大學(xué)機電工程學(xué)院2009級.