劉金堂，楊曉東，聞邦椿

(1.沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航工程學(xué)院，沈陽 110136;2.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽 110004)

軸向運(yùn)動(dòng)薄板普遍存在，如動(dòng)力傳送帶、磁帶、帶鋸、印刷紙張、軋制中的板帶鋼等。運(yùn)動(dòng)薄板極易失穩(wěn)，產(chǎn)生有害的橫向振動(dòng):帶鋸的橫向振動(dòng)將影響切割質(zhì)量并加劇鋸的磨損;軋制中的板帶鋼的振動(dòng)可引起板帶鋼扭曲甚至引起撕裂;動(dòng)力傳送帶的振動(dòng)引起帶跑偏并影響設(shè)備壽命等。同時(shí)，軸向運(yùn)動(dòng)連續(xù)體作為典型陀螺連續(xù)系統(tǒng)，由于陀螺項(xiàng)的存在也對(duì)振動(dòng)的分析和控制提出了若干重要的理論問題。

國內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)軸向勻速運(yùn)動(dòng)小撓度彎曲薄板的振動(dòng)和穩(wěn)定性進(jìn)行了大量研究。Ulsoy等［1］研究了寬帶鋸片的振動(dòng)特性;Lengoc等［2］分析了帶鋸鋸片在切割工況時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng);Lin［3］分析了軸向運(yùn)動(dòng)板的長(zhǎng)寬比和剛度對(duì)穩(wěn)定性的影響;Kim等［4］應(yīng)用一種特殊單元法研究了受均布軸向拉力勻速運(yùn)動(dòng)薄板的振動(dòng)特性;Hatami［5］研究了彈性支撐軸向運(yùn)動(dòng)板的振動(dòng)和穩(wěn)定特性;Yin［6］研究了軸向運(yùn)動(dòng)薄板橫向非線性振動(dòng)內(nèi)部共振的基諧波響應(yīng);周銀鋒等［7］研究了軸向運(yùn)動(dòng)粘彈性板的橫向振動(dòng)特性。實(shí)際上，薄板并不是以嚴(yán)格的均勻速度運(yùn)動(dòng)的，由于各種因素的影響，速度通常具有周期脈動(dòng)量，系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出更加復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性，且薄板在振動(dòng)過程中，撓度有時(shí)不一定遠(yuǎn)小于厚度，這時(shí)，就必須考慮中面內(nèi)各點(diǎn)的面內(nèi)位移引起的幾何非線性。

本文研究四邊簡(jiǎn)支軸向變速運(yùn)動(dòng)大撓度薄板的非線性動(dòng)力學(xué)行為。在von Kàrmàn大撓度板理論基礎(chǔ)上，利用達(dá)朗貝爾原理得到軸向變速運(yùn)動(dòng)薄板的非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，采用Galerkin方法對(duì)其離散，然后假設(shè)薄板運(yùn)動(dòng)速度具有周期脈動(dòng)量，用數(shù)值方法分析所得常微分方程，研究薄板運(yùn)動(dòng)平均速度、速度脈動(dòng)幅值和外激勵(lì)力等參數(shù)對(duì)板非線性運(yùn)動(dòng)特性的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在上述參數(shù)變化時(shí)，均產(chǎn)生了分岔，經(jīng)歷了周期運(yùn)動(dòng)、倍周期運(yùn)動(dòng)、概周期運(yùn)動(dòng)，直至在平衡位置失去穩(wěn)定性而出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。

1 運(yùn)動(dòng)方程

考慮一四邊簡(jiǎn)支勻質(zhì)等厚矩形薄板，建立圖1所示直角坐標(biāo)系，xoy平面與薄板中面重合。薄板x和y向尺寸分別為a和b，薄板厚度為h，板沿x軸運(yùn)動(dòng)速度為V(t)，單位面積質(zhì)量為ρ，材料的楊氏模量為E。F為x面單位長(zhǎng)度上的拉力，q為薄板受到的垂直于板面的單位面積外激勵(lì)力。板內(nèi)任一點(diǎn)在x，y，z向的位移分別為 u(x，y，z，t)，v(x，y，z，t)，w(x，y，z，t)。

圖1 軸向變速運(yùn)動(dòng)薄板Fig.1 Axially accelerating plates

在von Kàrmàn大撓度板理論基礎(chǔ)上，應(yīng)用達(dá)朗伯原理可得軸向變速運(yùn)動(dòng)大撓度薄板運(yùn)動(dòng)微分方程［8］:

式中，D=Eh3/［12(1－μ2)］，μ為泊松比，Φ為應(yīng)力函數(shù)，▽4為雙調(diào)和算子，L(w，Φ)為非線性微分算子。

在x=0和a的兩邊上，有水平拉力F，在y=0和b的兩邊上，無邊界力。故四邊簡(jiǎn)支大撓度板的邊界條件為:

式(2a)為位移邊界條件，式(2b)為應(yīng)力邊界條件。引入如下無量綱變量及參數(shù):

可得無量綱化運(yùn)動(dòng)微分方程:

邊界條件式(2)則化為:

2 Galerkin截?cái)?/h2>

而撓度函數(shù)取為:

為方便討論，四邊簡(jiǎn)支條件下的公式推導(dǎo)和計(jì)算取 m=1，2，n=1，即:

將式(8)和式(9)代入式(4b)，并進(jìn)行Galerkin積分:

得到:

解式(11)得應(yīng)力函數(shù):

將應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式(12)和撓度函數(shù)表達(dá)式(9)代入式(4a)，并再次進(jìn)行Galerkin積分:

得到離散后的振動(dòng)微分方程組:

設(shè)薄板軸向運(yùn)動(dòng)速度帶有周期脈動(dòng)量:

其中，C1為速度脈動(dòng)振幅(正實(shí)數(shù)小量)，C0為平均速度，Ω為速度脈動(dòng)頻率。將式(17)代入式(15)得:

其中:

考慮系統(tǒng)阻尼的影響并引入如下參數(shù)變量:

則式(18)變?yōu)?

式中的η1和η2為無量綱線性阻尼系數(shù)。

3 數(shù)值計(jì)算

通過分析式(21)，可以得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性隨薄板運(yùn)動(dòng)平均速度C0，外激勵(lì)力Q等參數(shù)的變化情況。薄板參數(shù)設(shè)定為:長(zhǎng)度a=1 m，寬度b=1 m，厚度h=0.004 m，單位面積質(zhì)量ρ=31.2 kg/m2，泊松比μ =0.3，楊氏模量E=2×1011N/m2，軸向拉力F=1 000 N/m。

用Poincaré映射圖和最大Lyapunov指數(shù)分析系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的變化。設(shè)定速度脈動(dòng)頻率為一固定值，繪出每一周期間隔處薄板中點(diǎn)處的位移和速度分岔圖。

3.1 速度脈動(dòng)幅值對(duì)非線性特性的影響

設(shè)定無量綱線性阻尼 η1=η2=0.7，外激勵(lì)力Q=3 200，速度脈動(dòng)頻率 Ω=33，平均速度 C0=12，初始值為［1 ×10－6，0，1×10－6，0］。改變速度脈動(dòng)幅值C1得到的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)如圖2所示。

圖2顯示，薄板以勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)C1達(dá)到0.46時(shí)，產(chǎn)生Hopf分岔，由周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入2倍周期運(yùn)動(dòng)，C1繼續(xù)增加到1.82時(shí)，由倍周期轉(zhuǎn)入概周期運(yùn)動(dòng)，隨后當(dāng)C1=1.835時(shí)，從概周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)為16倍周期運(yùn)動(dòng)，其間為倍周期與概周期運(yùn)動(dòng)的不斷轉(zhuǎn)換，最后，在C1=1.92處，LLE值開始大于零，由概周期運(yùn)動(dòng)通向混沌

圖3、圖4分別為C1=1.874時(shí)的概周期運(yùn)動(dòng)和C1=2時(shí)的混沌運(yùn)動(dòng)相平面圖和Poincaré映射圖。

圖2 系統(tǒng)隨C1的分岔及最大Lyapunov指數(shù)Fig.2 Bifurcation and the largest Lyapunov exponent versus the velocity amplitude

圖3 概周期運(yùn)動(dòng)Fig.3 The quasi-periodic motion

3.2 平均速度對(duì)非線性特性的影響

圖4 混沌運(yùn)動(dòng)Fig.4 The chaotic motion

設(shè)定無量綱線性阻尼η1=η2=0.7，外激勵(lì)力Q=3 000，速度脈動(dòng)頻率 Ω =33，速度脈動(dòng)幅值C1=0.7，初始值為［1×10－6，0，1 ×10－6，0］。改變板平均速度C0得到的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)如圖5所示。圖6為薄板中點(diǎn)速度分岔圖的局部放大圖。

圖5 系統(tǒng)隨C0的分岔及最大Lyapunov指數(shù).Fig.5 Bifurcation and the largest Lyapunov exponent versus the mean velocity

圖5和圖6顯示，在C0=11.75處，系統(tǒng)產(chǎn)生 Hopf分岔，由周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)入2倍周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平均速度達(dá)到13.42時(shí)，進(jìn)入概周期運(yùn)動(dòng)，在C0=13.48處，由概周期轉(zhuǎn)入14倍周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平均速度達(dá)到13.485時(shí)，再次產(chǎn)生Hopf分岔，進(jìn)入28倍周期運(yùn)動(dòng)，隨后連續(xù)分岔，最后在C0=13.51處由倍周期分岔通向混沌，隨著速度的持續(xù)增加，系統(tǒng)又經(jīng)歷了14倍周期，當(dāng)C0=13.533時(shí)，LLE＞0，由爆炸性分岔通向混沌，于C0=13.588處，進(jìn)入16倍周期，隨后又經(jīng)歷了2倍周期運(yùn)動(dòng)，在C0=13.78處，又產(chǎn)生Hopf分岔，進(jìn)入4倍周期運(yùn)動(dòng)，連續(xù)分岔，最后在C0=13.92處，由爆炸性分岔第三次通向混沌。圖中共有三個(gè)區(qū)域出現(xiàn)混沌，但通向混沌的道路是不同的，一次是由倍周期分岔通向混沌，兩次是由爆炸性分岔通向混沌。

圖6 X2隨平均速度C0的分岔Fig.6 Bifurcation of X2 versus the mean velocity C0

圖7和圖8分別為C0=13.46時(shí)的概周期運(yùn)動(dòng)和C0=14時(shí)的混沌運(yùn)動(dòng)相平面圖和Poincaré映射圖。

圖7 概周期運(yùn)動(dòng)Fig.7 The quasi-periodic motion

圖8 混沌運(yùn)動(dòng)Fig.8 The chaotic motion

3.3 外激勵(lì)力對(duì)非線性特性的影響

設(shè)定無量綱線性阻尼η1=η2=0.8，平均速度C0=14，速度脈動(dòng)頻率Ω=33，速度脈動(dòng)幅值C1=0.6，初始值為［1×10－6，0，1×10－6，0］。改變外激勵(lì)力 Q 得到的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)如圖9所示。

圖9顯示，系統(tǒng)產(chǎn)生了倒分岔，當(dāng)Q的值在3 200處時(shí)，系統(tǒng)為2倍周期運(yùn)動(dòng)，隨著Q的逐漸減小，在Q=3 158時(shí)產(chǎn)生分岔，進(jìn)入4倍周期運(yùn)動(dòng)，隨著Q值的繼續(xù)減小，又連續(xù)產(chǎn)生Hopf分岔，最后在Q=3 049.7處，由倍周期分岔通向混沌。

圖9 系統(tǒng)隨Q的分岔及最大Lyapunov指數(shù)Fig.9 Bifurcation and the largest Lyapunov exponent versus the excitation amplitude

4 結(jié)論

本文研究了四邊簡(jiǎn)支軸向變速運(yùn)動(dòng)大撓度薄板非線性橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性。在von Kàrmàn大撓度板理論基礎(chǔ)上，利用達(dá)朗貝爾原理推導(dǎo)軸向變速運(yùn)動(dòng)薄板的非線性橫向振動(dòng)微分方程組，采用Galerkin法將時(shí)間變量和空間變量、位移函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)分離，然后用數(shù)值方法分析所得常微分方程組。當(dāng)板無量綱運(yùn)動(dòng)平均速度、外激勵(lì)力和速度脈動(dòng)幅值變化時(shí)，板中點(diǎn)處的位移和速度的分岔圖中均出現(xiàn)了分岔，系統(tǒng)相繼經(jīng)歷了周期運(yùn)動(dòng)、倍周期運(yùn)動(dòng)、概周期運(yùn)動(dòng)，甚至混沌運(yùn)動(dòng)。共發(fā)現(xiàn)了3條通向混沌的道路:由倍周期分岔、爆炸性分岔和概周期通向混沌。

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