趙 峰，周 斌，武永勝

(中鐵西南科學(xué)研究院有限公司，四川成都 611731)

2004年國務(wù)院審議通過《中長期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》，標(biāo)志著我國鐵路新一輪大規(guī)模建設(shè)的開始。鐵路隧道是鐵路線路重要的組成部分，隧道施工質(zhì)量直接影響到將來鐵路運(yùn)營的通暢和安全，隧道襯砌病害是困擾鐵路快速發(fā)展的一個(gè)關(guān)鍵因素。襯砌空洞是指襯砌混凝土厚度達(dá)到設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，但由于斷面超挖等原因，造成襯砌混凝土和圍巖以及初期支護(hù)，二襯混凝土之間存在空隙，襯砌空洞是襯砌主要病害之一，是隧道襯砌無損檢測的重要內(nèi)容。

在地質(zhì)雷達(dá)檢測隧道襯砌缺陷領(lǐng)域，國外的研究結(jié)合了工程實(shí)踐和實(shí)驗(yàn)室模擬，并且不斷改進(jìn)雷達(dá)軟硬件技術(shù)，取得了一定的成果［1］。美國有一個(gè)研究小組于2000年做了探地雷達(dá)用于檢測隧道病害的試驗(yàn)?zāi)M研究［2］，日本東京大學(xué)作了探地雷達(dá)用于鋼筋網(wǎng)定位以及空洞探測的室內(nèi)模擬研究［3］，我國薄會申在鐵路隧道襯砌檢測的工程實(shí)踐中，總結(jié)出了襯砌病害主要的雷達(dá)檢測圖形特征［4］，長沙鐵道學(xué)院做了探地雷達(dá)用于隧道襯砌檢測的室內(nèi)模擬，主要模擬了襯砌空洞以及研究了混凝土齡期和介電常數(shù)的關(guān)系［5-8］。

探地雷達(dá)用于隧道襯砌中，對雷達(dá)波形特征的判斷具有重要的作用，國內(nèi)外多通過試驗(yàn)?zāi)M來總結(jié)波形特征［9］。本文通過數(shù)值模擬，正演了隧道空洞的探地雷達(dá)探測情況，總結(jié)出了襯砌空洞的雷達(dá)波形特征，并將其用于襯砌檢測工程實(shí)踐，取得了較好的效果。

1 正演原理

1.1 麥克斯韋方程

探地雷達(dá)工作中發(fā)射的是電磁波，雷達(dá)正演模擬的問題就是解特定條件下的麥克斯韋方程組的問題，通常情況下，麥克斯韋方程很難得到解析解。在1966年，美國學(xué)者K S Yee，通過引入Yee元胞，初步提出了解麥克斯韋偏微分方程的方法［10］，后來經(jīng)過不同學(xué)者對該方法進(jìn)行了完善，提出解的穩(wěn)定條件以及改進(jìn)邊界約束條件，發(fā)展成時(shí)域有限差分正演方法。

為了模擬雷達(dá)波形在隧道襯砌中的傳播情況，選擇雷達(dá)波TM模式在x，y平面上的傳播(TMz)。TM模式下，垂直于模擬橫截面方向上沒有磁場。二維TMz模式的解可由解麥克斯韋方程組得到。在這里，采用時(shí)域有限差分方法，通過Yee網(wǎng)格剖分，運(yùn)用有限差分思想，來逐步得到二維TM模式下麥克斯韋方程組的數(shù)值解。

二維TM模式下時(shí)域有限差分經(jīng)典麥克斯韋方程組的偏微分形式由以下公式組成

式(1)中，μ是磁導(dǎo)率，ε是介電常數(shù)，σ是電導(dǎo)率，

σ*是等效磁阻率，t是時(shí)間，E，E是x，z方向上的電

xz場強(qiáng)度，Hx，Hy是x，y方向上的磁場強(qiáng)度。假設(shè)材料是線性、各向同性和非色散的。

對于離散空間，有限差分方程涉及的是指定點(diǎn)的泰勒線性展開式的值，該方法提供了偏微分方程的近似解。那么式(1)中函數(shù)的空間偏導(dǎo)數(shù)可由式(2)計(jì)算

假設(shè)沒有點(diǎn)激發(fā)源，介質(zhì)的磁導(dǎo)率μ和真空中的磁導(dǎo)率一致(μ=μ0，很多非鐵磁材料的磁導(dǎo)率都屬于這種情況)。假設(shè)空間步進(jìn)在橫縱坐標(biāo)是同一個(gè)值(Δx=Δy=0)，則式(1)可以消除梯變增量而得到進(jìn)一步簡化。由于金屬等良導(dǎo)體的電導(dǎo)率無窮大，因此，在計(jì)算中，當(dāng)介質(zhì)中含有良導(dǎo)體時(shí)，良導(dǎo)體的電場強(qiáng)度為零，可得

式(3)即為二維時(shí)域有限差分TM模式對時(shí)間因子的麥克斯韋偏微分方程。

1.2 穩(wěn)定條件

對于給定的初始條件，偏微分方程的解由于數(shù)值的不穩(wěn)定而導(dǎo)致計(jì)算值沒有約束的增加。而在計(jì)算中，系統(tǒng)中的誤差一定不能累積。在有限差分公式中，通過柯朗公式［11］，運(yùn)用空間步進(jìn) Δx，Δy來約束時(shí)間步進(jìn) Δt。

在二維情況下柯朗公式為

式(4)中，c為真空中電磁波傳播的速度。

1.3 邊界條件

Berenger于1994年提出了完全匹配層(Perfectly Matched Layer:PML)［12］的概念，它可以完全吸收真空中以任何頻率和角度入射的電磁波。

假設(shè)圍繞目標(biāo)模擬區(qū)域有一層材料能夠完全吸收波形并且不產(chǎn)生反射。該材料的相對介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別是εp，μp，由于該材料能夠吸收入射波，因此是復(fù)數(shù)，其阻抗ηp可由下式得到

式(5)中，ω為電磁波的角頻率，j是其復(fù)數(shù)部分。

根據(jù)電磁波傳播原理，從真空入射進(jìn)入完全匹配層的入射波的反射系數(shù)Γ

要使完全匹配層邊界不產(chǎn)生反射，則必須使Γ =0，即要求 η0= ηp，即為

計(jì)算可得

1.4 程序?qū)崿F(xiàn)

按照時(shí)域有限差分解麥克斯韋偏微分方程的思路，采用Matlab語言，編制了隧道襯砌空洞的二維正演程序，以研究探地雷達(dá)在探測隧道襯砌空洞的有效性以及探地雷達(dá)的波形特征。程序的流程為:設(shè)定模擬區(qū)域幾何尺寸以及電磁參數(shù)，進(jìn)行Yee網(wǎng)格剖分，輸入雷達(dá)天線發(fā)射器參數(shù)，設(shè)定天線收發(fā)位置、步進(jìn)長度，進(jìn)行正演計(jì)算，以及圖像輸出。

2 模型模擬

根據(jù)電磁波正演的穩(wěn)定條件以及采樣定理，用于Yee網(wǎng)格剖分的區(qū)域是長×寬=2.4 m×0.8 m的矩形區(qū)域，設(shè)定Yee的空間步進(jìn)Δ=Δx=Δy=0.002 5m，時(shí)間步進(jìn) Δt=5.896 7 ps，時(shí)間窗口 T=12 ns。隧道襯砌的尺寸為長×寬=2.4 m×0.1 m，位于模擬區(qū)域的下方，其中，襯砌和圍巖的界面，有一層寬度為0.05 cm的接觸面，其由空氣填充;空洞的位置位于襯砌與圍巖之間，其規(guī)模為長×寬=1.0m×0.2 m。圖1是襯砌超挖形成空洞的模型圖，該圖清晰地顯示了模型的幾何尺寸以及模擬介質(zhì)的電磁參數(shù);圖2是襯砌超挖2D FDTD雷達(dá)正演色階圖，該圖整體上反映了襯砌與圍巖的分界面以及空洞反射區(qū)域;圖3是襯砌超挖2D FDTD雷達(dá)正演波形圖，可以從波形圖中看到，在空洞處，反射波同相軸錯(cuò)亂，出現(xiàn)了多次反射圖像，這是雷達(dá)波在空洞中來回反射造成的，未超挖部分，襯砌和圍巖反射界面同相軸清晰明確。根據(jù)反射波單道波形特征，可以很容易地確定空洞反射波的起跳點(diǎn)。另外從波形圖上還可以看到，在空洞與圍巖介質(zhì)突變點(diǎn)上，還出現(xiàn)單點(diǎn)繞射特征，這是由狹義繞射導(dǎo)致的。

圖3 隧道襯砌超挖空洞的2D FDTD正演模擬波形

考慮到正演模擬的截?cái)嗾`差和逼近誤差，這個(gè)誤差也是在正常范圍內(nèi)的?？芍?，雷達(dá)在探測隧道超挖空洞，并計(jì)算空洞寬度上，是可行的。對于空洞的埋深，也可以通過讀取雷達(dá)波形起跳時(shí)間計(jì)算出，但是對于空洞的規(guī)模，不能做到精確判斷，主要是以下兩點(diǎn)導(dǎo)致的:①電磁波在空洞中會產(chǎn)生多次反射，多次反射波和空洞與圍巖反射波往往難以區(qū)分，有時(shí)甚至疊加在一起，這就導(dǎo)致了“凸鏡”效應(yīng)，從雷達(dá)反射波形上看出的空洞規(guī)模往往大于實(shí)際空洞尺寸;②雷達(dá)波在空洞中傳播的速度大于其在襯砌中傳播的速度，那么這樣會減小兩個(gè)反射波峰之間的時(shí)間距離，而在雷達(dá)剖面時(shí)深轉(zhuǎn)換時(shí)，都是用雷達(dá)波在襯砌中的波速計(jì)算的，這樣又會減小對空洞尺寸的判斷。因此，在判斷空洞的規(guī)模時(shí)，應(yīng)該小心謹(jǐn)慎，綜合考慮各種情況。

圖4是抽取第18道和第42道單道反射波的圖像，其中第42道反射波對應(yīng)的位置正處于模型空洞處，從第42道反射波波形上看，在空洞處有明顯的多次反射波，而第18道波形的反射只發(fā)生在襯砌與圍巖界面處。

圖4 襯砌空洞第18道和第42道反射波

3 工程實(shí)例

通過對隧道襯砌空洞進(jìn)行探地雷達(dá)正演模擬，得到了探地雷達(dá)的空洞檢測波形，分析這些波形，可以得到如下特征:襯砌界面雷達(dá)反射信號強(qiáng)，且呈現(xiàn)多次反射特征，通常呈現(xiàn)雙曲線特征，振幅強(qiáng)，頻率低，在空洞下部仍有強(qiáng)反射界面信號，上下界面兩組信號時(shí)程差較大;按照正演模擬總結(jié)的特征，指導(dǎo)探地雷達(dá)用于襯砌檢測的工程實(shí)踐。圖5是襯砌中存在空洞的雷達(dá)探測偽彩色圖和波形圖。從圖5中可以看到，圍巖與襯砌的分界面在27 ns處，其中第12～27 ns為襯砌，圖中用曲線圈定的地方為襯砌中空洞的反射波形，可以明顯地看到此處呈現(xiàn)多次反射，且反射波振幅大，能量強(qiáng)，頻率低，由該空洞所處的位置及規(guī)模，推斷為襯砌內(nèi)部注漿不充分形成的空洞。

圖6是與襯砌接觸處的圍巖存在空洞的雷達(dá)探測偽彩色圖和波形圖。此圖中，圍巖與襯砌的分界面在27 ns處，環(huán)狀曲線所圈定處即為空洞，該空洞在圍巖與襯砌的分界面處，整體呈現(xiàn)較明顯的雙曲線特征，有多次反射特征，由其所處道號起始位置，首次強(qiáng)反射起跳時(shí)間還可以判斷出該空洞的埋深和規(guī)模，由該空洞所處的位置及規(guī)模，推斷為隧道超挖未回填形成的空洞。以上兩處空洞，都經(jīng)過鉆孔得到驗(yàn)證。

4 結(jié)論與建議

1)采用時(shí)域有限差分方法模擬探地雷達(dá)波形在襯砌空洞傳播，在空洞處呈現(xiàn)強(qiáng)反射，且有多次反射特征，同相軸明顯錯(cuò)亂，波形振幅大，能量強(qiáng)。

2)正演模擬對隧道襯砌檢測的雷達(dá)圖像識別具有重要的指導(dǎo)作用，根據(jù)襯砌缺陷的電磁參數(shù)，建立精細(xì)準(zhǔn)確的模型，是總結(jié)正演雷達(dá)波形的前提。

3)和物理模型試驗(yàn)相比，正演模擬的波形特征更具體，更能體現(xiàn)多次反射，單點(diǎn)繞射，雙曲線弧線形成等經(jīng)典波形傳播規(guī)律。

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