王曉英，張洪光

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

不定式的極限問題

王曉英，張洪光

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

不定式的極限是極限計(jì)算問題的難點(diǎn)，結(jié)構(gòu)復(fù)雜、形式多樣，沒有統(tǒng)一固定的計(jì)算方法，可以用初等變換消去零因子、洛必達(dá)法則、無窮小代換等，有時(shí)候一道題目需要結(jié)合使用多種方法，才能化繁為簡(jiǎn)，快捷有效的得出結(jié)果.本文根據(jù)題目的具體形式，重點(diǎn)介紹洛必達(dá)法則和無窮小代換的適用情行、注意問題和使用技巧，使學(xué)生對(duì)計(jì)算不定式的極限問題有更深入的理解.

極限；不定式；洛必達(dá)法則；等價(jià)無窮小

1 關(guān)于洛必達(dá)法則

定義1當(dāng)x→a（或x→∞）時(shí)，f(x)→0且g(x)→0的極限可能存在，也可能不存在，通常把這種極限叫型不定式.

在所有的高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析教材里，一般都給出四種不同形式的洛必達(dá)法則，并用中值定理加以證明，如復(fù)旦大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》（第三版）237頁，同濟(jì)大學(xué)（第五版）133頁，本文概述如下；

（2）f與g在x0的某空心鄰域U0(x0)內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x)≠0；

注2定理中的“x→x0”換成“x→±x0、x→±∞、x→∞”只要修改相應(yīng)的條件（2），也得到同樣的結(jié)論.

注4只要f'，g'，f"，g"，f蓯，g蓯…滿足定理?xiàng)l件，洛必達(dá)法則可以重復(fù)使用.在多次應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)，使用前要檢查是否仍滿足洛必達(dá)法則條件，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，例如，但若兩次用洛必達(dá)法則就得錯(cuò)誤結(jié)果.原因是當(dāng)x→∞時(shí)，c o s x不存在極限，此時(shí)不滿足洛必達(dá)法則的條件（2）.利用洛必達(dá)法則求極限的時(shí)候應(yīng)該注意

注5 洛必達(dá)法則是處理未定式極限的重要手段，且非常有效.但它只能直接應(yīng)用于型和型的未定式.而對(duì)于∞-∞,0·∞,∞0,1∞,00等形式，需化為型和型求解.一般的∞-∞可以通分化為標(biāo)準(zhǔn)型;而∞0,1∞,00一般先取對(duì)數(shù)化為0·∞型進(jìn)而化為標(biāo)準(zhǔn)型.

解（1）當(dāng)x→π時(shí)，f(x)=1+c o s x和g(x)=t g2x都趨于零，由洛必達(dá)法則得

=3，試求f'(0).

解 因?yàn)?/p>

所以由洛必達(dá)法則，得

連續(xù)兩次用洛必達(dá)法則的做法是錯(cuò)誤的：

原因在于題設(shè)條件只有g(shù)在x=0存在二階導(dǎo)數(shù)，不知g在x=0的某鄰域內(nèi)是否也存在二階導(dǎo)數(shù)，更不知二階導(dǎo)數(shù)在x=0是否連續(xù).

注6 用洛必達(dá)法則求數(shù)列的極限 用洛必達(dá)法則求函數(shù)的極限，要求函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，數(shù)列的極限問題，由于不滿足洛必達(dá)法則條件，不能直接用洛必達(dá)法則計(jì)算，有時(shí)可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限問題，進(jìn)而求出數(shù)列的極限.

2 關(guān)于無窮小等價(jià)代換

無窮小具有很好的性質(zhì)，在求極限的運(yùn)算過程中，掌握并充分利用好它的性質(zhì)，往往會(huì)使一些復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，可起到事半功倍的效果.但代換不當(dāng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.利用無窮小量的代換性質(zhì)求函數(shù)的極限，即將分式函數(shù)中的分子、分母，用與其等價(jià)的無窮小量來代換.

定義2 在某一變化過程中，以零為極限的量稱無窮小

定義2'如果數(shù)列{an}當(dāng)n→∞時(shí)的極限是零，則稱數(shù)列{an}為當(dāng)n→∞時(shí)的無窮小.

定義2"如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的極限是零，則稱函數(shù)f(x))為當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無窮小.

定理2 設(shè)α,α',β,β',γ等均為同一自變量變化過程中的無窮小，則

（2）若α~β，β~γ，則α~γ,（3）若α~α',β~β'，且l i m=c(c≠-1)，則α+β~α'+β'

定理3 設(shè)在自變量的某一變化過程中，α(x)、β(x)、α (x)、β'(x)都是無窮小量.

（1）若α~α'，g(x)為同一過程中的另一函數(shù)，且l i m α'g(x) =A，則l i m αg(x)=A

（2）若α~α',β~β'，f(x)為同一過程中的另一函數(shù)，且l i m存在，則也存在，且

定理4 設(shè)在自變量的某一變化過程中，α(x)、β(x)、α (x)、β'(x)都是無窮小量.

（1）若α~α',β~β'，則對(duì)于未定式1∞型有：

證明 （1）在自變量的某一變化過程中

常用的等價(jià)無窮?。▁→0,a>0且a≠1,α為常數(shù)）.

解 因?yàn)閤→0時(shí)當(dāng)a r c s i n 5 x~5 x,a r c t a n 2 x~2 x,s i n 3 x~3 x，而且所以原式

解 因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)a r c s i n 3 x~3 x,c o s 2 x→1，而且,所以

以上例子說明等價(jià)無窮小量的代換方法對(duì)求函數(shù)的極限起到了簡(jiǎn)化運(yùn)算過程的作用，將一些不易求解的極限問題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，從而得到解決.因此，掌握以上方法，可以使得函數(shù)極限的計(jì)算更加容易.

3 有效結(jié)合多種方法，選擇最優(yōu)解決途徑

洛必達(dá)法則和等價(jià)無窮小代換都是解決不定式極限的常用的有效方法，但都有一定的局限性.利用無窮小量的代換性質(zhì)求函數(shù)的極限，能使問題簡(jiǎn)化，但是涉及代數(shù)和或部分代換時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，使用時(shí)需要謹(jǐn)慎.洛畢達(dá)法則也不是萬能的，更不一定是最佳的，有時(shí)盡管滿足條件，但把式子越變?cè)綇?fù)雜，難于求出最后的結(jié)果.如計(jì)算應(yīng)用洛必達(dá)法則有

繼續(xù)下去表達(dá)式會(huì)更加復(fù)雜.很多時(shí)候需要幾種方法結(jié)合起來運(yùn)用，包括初等變形、洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小代換、級(jí)數(shù)展開等.

解因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)s i n x~x,t a n x~x,ex-1~x

〔1〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社，1996.

〔2〕楊文泰，等.價(jià)無窮小量代換定理的推廣.甘肅高師學(xué)報(bào)，2005，10（2）：

〔3〕汪荷仙.高等數(shù)學(xué)解題方法指導(dǎo)[M].成都:成都科技大學(xué)出版社，1995.

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