何紅軍

（鄭州華信學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 鄭州 451100；許昌實驗小學(xué)，河南 許昌 461000）

時標(biāo)上高階動力方程邊值問題正解的存在性

何紅軍

（鄭州華信學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 鄭州 451100；許昌實驗小學(xué)，河南 許昌 461000）

本文研究了一類時標(biāo)上高階動力方程m點(diǎn)邊值問題

其中T是時標(biāo)，aj∈[0,+∞]，ξj∈[0,ρ(T))T是滿足適當(dāng)條件的常數(shù).利用泛函型錐上壓縮拉伸不動點(diǎn)定理，得到該問題的正解存在性，并且推廣了一些原有的結(jié)果.

不動點(diǎn)；錐；格林函數(shù)；正解

1 引言和假設(shè)

由于動力方程的重要性和深刻性，關(guān)于動力方程邊值問題的研究受到廣大學(xué)者的關(guān)注.例如在文［1］中利用上下解法，得到二階三點(diǎn)邊值問題的正解，在文［2］［3］中使用不動點(diǎn)指數(shù)，不動點(diǎn)定理，得到二階m-點(diǎn)邊值問題正解存在性，在文［4］中研究了：

受上面學(xué)者研究工作的啟發(fā)，本文對如下問題進(jìn)行了研究：

其中aj>0,ξj∈(0,ρ(T))T，σn-1(0)<ρn-1(ξj)，σn-1(ξj)<ρn-1(T)，λ>0我們做如下基本假設(shè)

(H2)f(x)是正函數(shù)，a:[0,T]→[0,+∞]且a(t)≠0,t∈[0,T]

2 引理及定理

先考慮

的格林函數(shù)，當(dāng)y(t)=0時，(3)(4)有唯一解為0，則(3)(4)的格林函數(shù)存在.

引理1設(shè)w≠0則(3)(4)有唯一解

證可以驗證(5)滿足(4)

對(5)兩端△-可微，得

再對上式兩端塄-可微，則u△塄(t)=-y(t)證畢.

引理2設(shè)w≠0，則(3)(4)的格林函數(shù)為

證 當(dāng)t∈[0,ξ1]時，根據(jù)(5)式

當(dāng)t∈[ξr-1,ξr]，2≤r≤m-2時，由(5)式

當(dāng)t∈[ξm-2,T]時，由(5)式

由上可得結(jié)論.

引理3設(shè)w≠0，則(3)(4)的格林函數(shù)滿足：G(t,s)≥G (T,s)，t,s∈[0,T]

引理4設(shè)w>0，則關(guān)于(3)(4)的格林函數(shù)G(t,s)>0，t,s∈[0,T]

證 根據(jù)引理3，只須證G(t,s)≥0

當(dāng)s∈[0,ξ1]時

當(dāng)s∈[ξi-1,ξi]時

當(dāng)s∈[ξm-2,T]時

由上可知G(t,s)≥0證畢.

引理5設(shè)(H1)成立，則G(t,s)≤G(s,s)其中t,s∈[0,T]

證當(dāng)t∈[0,T],s∈[0,ξ1],s≤t時，

當(dāng)t∈[ξr-1,ξr](2≤r≤m);s∈[ξi-1,ξi](r≤i≤m-2),t≤s時

當(dāng)t∈[0,T],s∈[ξm-2,T],t≤s時,

定理6設(shè)(H1)成立，則對固定s∈[0,T]，

證根據(jù)引理5可知，||G(·，s)||=G(s,s)

當(dāng)s∈[0,ξ1]時

當(dāng)s∈[ξi-1,ξi]，2≤i≤m-2時

由于s∈[ξi-1,ξi]，那么

當(dāng)s,t∈[ξm-2,T]時

情形1s≤t時

由ξj≤ξm-2≤s≤T,(j≤m-2)則

定理7設(shè)(H1)成立，設(shè)G1(t,s):=G(t,s)，G j(t,s)=G(τ,s)塄s(2≤j≤n)則Gn(t,s)是（-1）nu(△塄)n(t)=0 t∈[0,T]滿足(2)的格林函數(shù).

證 當(dāng)n=1時易見成立，假設(shè)n=k-1成立，亦即Gk-1(t,s)

設(shè)u(△塄)(t)=v(t)那么

由假設(shè)

由上可知n=k時成立，證畢.

定理8設(shè)(H1)成立，則Gn(t,s)滿足：

（1）0≤Gn(t,s)≤Ln-1||G(·,s)||t,s∈[0,T]

（2）Gn(t,s)≥mnLn-1||G(·,s)||t∈[ξm-2,T]s∈[0,T]

3 錐及泛函型錐拉伸壓縮定理

定義9設(shè)E為實B a n a c h空間，若P是E中非空凸閉集且滿足下列條件：

(1)u∈P,λ≥0,則λu∈P(2)u∈P,-u∈P則u=0（其中0為零元）

則稱P為E中一個錐.

規(guī)定：α,γ:P→[0,+∞]連續(xù)，r,R為正實數(shù).

P(γ,R):={u∈P:γ(u)

P(γ,α,r,R):={u∈P:γ<α(u)且γ(u)

下為泛函型錐拉伸壓縮不動點(diǎn)定理，見［6］

引理10設(shè)P為實B a n a c h空間E中的錐，γ為P上非負(fù)連續(xù)泛函，P(γ,α,r,R)為P上的一個有界非空集全連續(xù)且若下列之一成立：

(1)當(dāng)u∈鄣P(α,r)時α(A u)≤r.

當(dāng)y∈鄣P(α,r)z∈鄣P(γ,R),λ≥1,μ∈(0,1]時

α(λy)≥λα(y)，γ(μz)≥μγ(z)，α(0)=0.

(2)當(dāng)u∈鄣P(α,r)時α(A u)≥r.

當(dāng)y∈鄣P(α,r)z∈鄣P(γ,R),μ≥1,λ∈(0,1]時

α(λy)≤λα(y)，γ(μz)≥μγ(z)，γ(0)=0.

則A至少有一個不動點(diǎn)u*使得r≤α(u*)且γ(u*)≤R

4 主要結(jié)果

我們把在[0,T]上左稠密點(diǎn)連續(xù)，右稠密點(diǎn)右極限存在泛函全體記為Cld[0,T]，記E=Cld[0,T]E為B a n a c h空間，其中

P:={u∈E:u(t)≥0,坌t∈[0,T]}，P為E中的錐,

定理11設(shè)(H1)成立，a∈Clα([0,T],[0,+∞)，若存在0

S t e p 2.若u∈鄣P(α,r)，則u(t)≤r，t∈[0,T].由引理8和(C1)

從而有α(T u)≤r.

S t e p 3.若u∈鄣P(α,r)，則u(t)≥R，t∈[ξm-2,T].由引理8和(C2)

S t e p 4.由γ(A u)≥R及||A u||≥γ(A u)≥R>0，則||A u||≥R>0

根據(jù)引理10可知，A至少有一不動點(diǎn)u*，使得r≤α(u*)且γ(u*)≤R.證畢.

在定理11為λ為定常數(shù)時(1)(2)存在正解的情形，我們再給出λ在某區(qū)間變動時(1)(2)存在正解的情形.設(shè)

定理12設(shè)(H1)成立，并且，則(1)(2)至少存在一個正解.

證明 只須要求滿足定理11的(C1)(C2)即可

推論 設(shè)f滿足超線性，并且有(H1)成立，則對任意λ>0，(1)(2)至少有存在一個正解.

〔1〕Ma R,Multiplicity results for a three-point boundary value problem at resonance,Nonlinear analysis,53(2003): 777-789.

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〔3〕Liu X.,Qiu J,three positive solutions for second-order m-point boundary value problems,APPL.Math.comput, 156(2004):733-742.

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A

1673-260X（2012）10-0003-04