☉甘肅天水市第一中學(xué) 宮前長

一、提出問題

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)5》（人教A版）第二章“數(shù)列”，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型.入門課就是“數(shù)列的概念與簡單表示法”，需要2個課時，上完此節(jié)的入門課后進(jìn)行例題、習(xí)題處理，學(xué)生對教材第34頁B組第一題產(chǎn)生獨到的見解和深層次的理解，令我深刻地反思以后的教學(xué)該如何進(jìn)行.

題目：下圖（如圖1所示）中的三個正方形塊中，著色正方形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前三項.請寫出這個數(shù)列的前五項和數(shù)列的通項公式.

圖1

二、展示題目亮點

1.立意新穎.

教材中數(shù)列的引入總是采用圖形的個數(shù)進(jìn)行的，即首先通過三角形數(shù)、正方形數(shù)的實例引入數(shù)列的概念，然后將數(shù)列作為一種特殊函數(shù)，構(gòu)思精巧，立意新穎，包含著豐富的數(shù)學(xué)思想，這類問題有利于學(xué)生的觀察問題和分析問題的能力以及創(chuàng)新能力的提高，有利于開發(fā)學(xué)生的智力.要更好地解決此類問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)入手點.

2.凸顯對學(xué)生自主探究能力的提升.

此題是數(shù)列第一節(jié)《數(shù)列的概念與簡單表示法》習(xí)題B組第一題，實質(zhì)是創(chuàng)設(shè)一個數(shù)列情境，同時著重考查學(xué)生歸納猜想、合情推理的意識.歸納推理作為合情推理的一種常用思維方法蘊涵在高中數(shù)學(xué)教材中的每個地方，它是發(fā)現(xiàn)和獲取知識結(jié)論的重要方法，更是解決探究問題的有力工具.此題是由特殊到一般的歸納推理，通過觀察、分析、抽象和概況發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

3.強化直覺思維.

觀察圖形是直覺思維能力得到提高的重要訓(xùn)練方式.此題表征是對正方形個數(shù)，深層是對思維能力的考查，讓學(xué)生從不同的角度切入，運用不同的數(shù)學(xué)知識與方法，給學(xué)生提供了充分展示自己才華與能力的空間.同時，教學(xué)取向的重點放在探究與思辨能力的升上.

三、課前思考

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)絕不是孤立的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既要與現(xiàn)實生活聯(lián)系，又要加強數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的聯(lián)系.在通過實際問題引入數(shù)列概念后，教材對數(shù)列的函數(shù)背景進(jìn)行了分析，指出通項公式實際可看做是數(shù)列的函數(shù)解析式.

在課堂上盡可能地讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、猜想、抽象、概括、歸納、類比等發(fā)現(xiàn)和探索的過程，鼓勵學(xué)生說出各種可能的設(shè)想和猜測.

1.題目考查目標(biāo).

此題的考查目標(biāo)是觀察圖形特征，給出數(shù)列的通項公式.查閱與教材配套的教學(xué)參考對此題提出：要注意引導(dǎo)學(xué)生對圖形表示數(shù)字規(guī)律的認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)，要培養(yǎng)從整體上去認(rèn)識圖形規(guī)律的意識和能力.

2.解題思路分析.

思路1：觀察圖形特征，第一個正方形塊中著色正方形的個數(shù)是1，第二個正方形塊中著色正方形的個數(shù)是第一個正方形塊中著色正方形的個數(shù)的8倍加1，第三個正方形塊中著色正方形的個數(shù)是第二個正方形塊中著色正方形的個數(shù)的8倍加1，依次類推，可以得出第n個正方形塊中著色正方形的個數(shù)的遞推公式，進(jìn)而推導(dǎo)出數(shù)列的通項公式.

思路2：觀察圖形特征，第一個正方形塊中著色正方形的個數(shù)是1，第二個正方形塊中著色正方形的個數(shù)是第一個正方形塊中著色正方形的個數(shù)加8，第三個正方形塊中著色正方形的個數(shù)是第二個正方形塊中著色正方形的個數(shù)加82，依次類推，可以得出第n個正方形塊中著色正方形的個數(shù)的遞推公式，進(jìn)而推導(dǎo)出數(shù)列的通項公式.

3.學(xué)情分析.

學(xué)生剛學(xué)習(xí)了數(shù)列（入門課），能否將此題解決？對通項公式、遞推公式的理解處于剛認(rèn)識的階段（沒有更多的數(shù)列知識儲備），但學(xué)生對圖形的直覺感受卻是有基礎(chǔ)的（函數(shù)圖像的認(rèn)識和理解），解決問題是有希望的.

四、教學(xué)片斷回放

師：大家看看教材第34頁B組第一題：下圖中的三個正方形塊中，著色正方形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前三項.請寫出這個數(shù)列的前五項和數(shù)列的通項公式.（通過實例引入數(shù)列概念時，舉例較多，學(xué)生對此題的認(rèn)識和解答很好）

巡視時激勵、點撥學(xué)生從圖形的結(jié)構(gòu)、放置方式、正方形的大小與個數(shù)等多方位進(jìn)行觀察、聯(lián)想，尋找蘊涵的數(shù)學(xué)規(guī)律.

生甲：（學(xué)生自己積極舉手）老師，觀察前三個圖形，容易得到它們的正方形數(shù)目分別是1，9，73.

師：生甲你是如何快速算出第三個圖形中的正方形數(shù)？

生甲：我是將第三個圖形提出分層，提升位置成立體圖，變成金字塔狀進(jìn)行計算：將其中的最大的一個正方形拔到最高處屬于第一層（塔頂）；再將周圍較大的八個正方形拔到較高位置屬于第二層；再將周圍較大的每個正方形周圍的最小的八個正方形拔到較高位置屬于第三層（塔底）.這樣就會得到a3=1+8+82=73（個）

師：生甲的思路和方法太精妙了！那么第四個、第五個圖形中的正方形數(shù)是多少？

生甲：a4=1+8+82+83（個）；a5=1+8+82+83+84（個）.（教室頓時響起掌聲！）接著高興地說了數(shù)列的通項公式是an=1+8+82+83+…+8n-1（個）.

師：學(xué)生甲的想法很好，能將二維平面圖形“升維”到三維空間圖形進(jìn)行觀察，可謂思維敏捷，奇思妙想，以后大家要向生甲學(xué)習(xí).那么大家思考a4、a5的值具體是多少？an的值又是多少？

隨意的一問，像一塊小石子投進(jìn)了平靜的水中，許多學(xué)生提出采用冪和計算可以知道.但計算過程太繁，步驟太多，容易出錯，大家覺得不是好方法，自然an就無法進(jìn)行冪和運算得到答案.

大家正在犯愁時，有位女生大聲喊起來：“我找到方法了！”

生乙：我觀察同學(xué)甲歸納出的通項公式，有新的發(fā)現(xiàn)，第三個圖形中的正方形總數(shù)的式子可以改寫為a3=82+8+1=111（8）=73（個），從而依次就有a4=83+82+8+1（個）=1111（8），a5=84+83+82+8+1（個）=11111（8），這樣做就能依據(jù)同學(xué)甲歸納出的通項公式的結(jié)構(gòu)特征，借助進(jìn)位制的思想將通項公式具體地表示出來，即an=111…11（8），其中有n個“1”.

師：能告訴大家你是如何聯(lián)想到進(jìn)位制的記數(shù)方法？

生乙：看到同學(xué)甲的表述a4=1+8+82+83（個）；a5=1+8+82+83+84（個），我就想到進(jìn)位制的知識，與將二進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的數(shù)的計算形式一致，于是類比到這個數(shù)的表示上，得到a3=82+8+1=111（8），a4=83+82+8+1（個）=1111（8），就是這樣想出的.

話音一落，教室掌聲一片！

師：多么簡潔、簡單的表示，這正是數(shù)學(xué)追求的形式美.女同學(xué)就是細(xì)心，將前面學(xué)過的算法的二進(jìn)制計數(shù)知識記得很清楚，又能靈活應(yīng)用，可喜可賀！

正當(dāng)大家處于學(xué)生甲、乙的精彩回答的興奮中，一位平時靦腆又性格孤獨的男生站起來！（教師用眼神示意他發(fā)表自己的看法）

生丙：我也從同學(xué)甲歸納出的通項公式，有新的發(fā)現(xiàn)，第三個圖形中的正方形總數(shù)的式子可以改寫為a3=1+8+82=a2+82=73（個），從而依次就有a4=83+a3（個），a5=84+a4（個），這樣做就能依據(jù)同學(xué)甲歸納出的通項公式的結(jié)構(gòu)特征，借助相鄰兩項的關(guān)系將遞推公式具體地表示出來，即an=an-1+8n-1（個）.

師：學(xué)生丙能積極發(fā)表自己的看法就是進(jìn)步，敘述的過程已經(jīng)揭示了遞推關(guān)系與通項公式之間的一種轉(zhuǎn)換方法，提出表揚！只要大家認(rèn)真觀察、多總結(jié)，就能從不同的角度獲得不同的認(rèn)識.

……

師：今天這節(jié)課，大家對數(shù)列概念的形成和通項公式的歸納學(xué)得很好，尤其學(xué)生甲、乙做得更好，他（她）們對習(xí)題第34頁B組第一題的通項公式的歸納有獨到見解，非常精彩.以后大家多交流，多合作，一定會有新的發(fā)現(xiàn)、新的收獲！

說心里話，我翻閱教參，介紹用遞推公式可以求得通項公式，具體方法是從圖形進(jìn)行觀察出這個數(shù)列的遞推公式an=8an-1+1，也就容易求得前五項.學(xué)生甲、乙和丙的方法完全是觀察、歸納、概括得到結(jié)論，沒有依照先尋找遞推公式，再進(jìn)行歸納出通項公式的方法進(jìn)行，完全消除了備課時的困惑和擔(dān)心，也體現(xiàn)出學(xué)生對數(shù)列的領(lǐng)悟能力，表現(xiàn)出來的思路、方法，令我非常高興、感動.

教學(xué)之后，心里總是被學(xué)生精彩的想法，完美的認(rèn)識和簡單大氣升維的表示撞擊著.新教材的編寫專家精心打造精品，其中數(shù)與形的完美結(jié)合，在學(xué)生觀察思考后，產(chǎn)生出精妙的思想火花.再細(xì)細(xì)品讀教材中的習(xí)題，每一道都或多或少閃爍著編者獨具匠心的光芒.我深深地感到數(shù)學(xué)的無窮魅力與精彩.心中對教材的編排思路漸漸清晰了，不由得感謝新教材給教學(xué)帶來新的生機！

五、對教學(xué)的啟示

1.自主探究圖形放飛學(xué)生思維.

數(shù)學(xué)課堂是在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S邏輯、清晰的條理、簡潔的符號表示的過程中進(jìn)行的，教師一定要用數(shù)學(xué)的魅力呼喚出學(xué)生對數(shù)學(xué)的原本思維，如在學(xué)生甲、乙說出正確答案后追問“你是如何快速算出第三個圖形中的正方形數(shù)”與“能告訴大家你是如何聯(lián)想到進(jìn)位制的記數(shù)知識”，有意讓學(xué)生甲、乙回答自己的思維過程，其目的是強力“擠”出學(xué)生甲、乙的思維方法，強化學(xué)生進(jìn)一步對問題的深刻領(lǐng)悟，喚醒學(xué)生對數(shù)學(xué)的直觀感悟和理性思維的交匯靈性.在教學(xué)中強化數(shù)列就是一種特殊函數(shù)的意識，同時也對前面例題2中的著色三角形個數(shù)與序號關(guān)系及其數(shù)量關(guān)系加深理解.

生乙在觀察同學(xué)甲歸納出的通項公式后，有新的發(fā)現(xiàn)：聯(lián)想到用類比二進(jìn)制計數(shù)方式來表示十進(jìn)制的數(shù)，即用八進(jìn)制來表示問題中的每一項的正方形的個數(shù)，贏得了好多學(xué)生的掌聲.筆者當(dāng)時也很興奮，油然想起“人的心靈深處都有一種根深蒂固的需求——這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者”（蘇霍姆林斯基語）.說明在數(shù)學(xué)教學(xué)中，多讓學(xué)生擁有更多的自由思考的時間和空間，多一些平等交流表達(dá)的機會，學(xué)生的思維會得到放飛.

對平時不善言談的學(xué)生丙要多鼓勵，能積極發(fā)言就是大進(jìn)步，有利于學(xué)生思維的拓展和視野的開闊.為了更好地暴露學(xué)生的直觀思維，激勵、點撥學(xué)生從圖形的結(jié)構(gòu)、放置方式、正方形的大小與個數(shù)等多方位進(jìn)行觀察、聯(lián)想，目的是喚醒學(xué)生對數(shù)學(xué)認(rèn)識的靈感.學(xué)生甲的“升維”寶塔的思維方式敘述地形象、逼真，學(xué)生乙的計數(shù)結(jié)構(gòu)用類比二進(jìn)制計數(shù)法顯得簡潔、美妙.唯有這樣，才能讓學(xué)生在某個問題、某種解法的精妙之中獲得樂趣，更能提升、錘煉學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維，強化由直覺思維自覺進(jìn)入理性思辨，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在教育形態(tài)中不斷升華.

2.以“退”為“進(jìn)”，“悟”出數(shù)學(xué)本質(zhì).

在教學(xué)中，只有加強數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的聯(lián)系，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突出概念的理解和運用、思維能力的培養(yǎng)，才能真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).題目要求“寫出這個數(shù)列的前五項和數(shù)列的通項公式”，學(xué)生觀察圖形時，抓住了兩個關(guān)鍵的機會，一是抓住關(guān)鍵步驟一般化的思維方式；二是特殊條件（圖形特征）精致化.生甲是將第三個圖形作為“退”的最原始“點”（第一個、第二個圖形不能充分地體現(xiàn)出圖形特征）進(jìn)行立體分層，提升位置成立體圖，變成金字塔狀進(jìn)行計算，突出了圖形的特征，把復(fù)雜問題簡單化、精致化.生乙的計數(shù)結(jié)構(gòu)用類比二進(jìn)制計數(shù)法更能凸顯數(shù)學(xué)的精致和美妙，即對a3=82+8+1=111（8）=73（個），a4=83+82+8+1（個）=1111（8）；a5=84+83+82+8+1（個）=11111（8）等數(shù)的改寫，促進(jìn)對得到的正方形數(shù)的八進(jìn)制表示的“悟理”，很快歸納出an=111…11（8），其中有n個“1”.這完全印證了著名數(shù)學(xué)家華羅庚的“退”字解決問題的訣竅，“退”是方法、手段、途徑，“退”的目的是為“進(jìn)”，關(guān)鍵取決于“悟理”.

學(xué)生解題經(jīng)歷了從“形”的觀察、分析、歸納到“數(shù)”的代數(shù)式的表示，其中蘊涵著豐富的數(shù)學(xué)思想、方法和學(xué)生的聰明才華，這些是教學(xué)關(guān)注的重點.學(xué)生甲、乙精彩的巧思妙解來源于對問題更深入、更本質(zhì)的認(rèn)識，經(jīng)歷了“退”、“悟理”、“進(jìn)”的過程，有利于進(jìn)一步強化對數(shù)列知識理解的深刻性、數(shù)列概念掌握的全面性、運用數(shù)列知識的靈活性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成.

3.研發(fā)課本資源，搭建成就學(xué)生平臺.

數(shù)學(xué)教學(xué)可以說是發(fā)展學(xué)生的思維能力的過程.對待教材熟悉平淡的例題、習(xí)題，一定要從有利于學(xué)生信心的提升、思維的展開上下工夫，將數(shù)學(xué)思想方法和新課程理念貫徹、落實其中，學(xué)生的理性思維就會自然得到提升.尤其是學(xué)生對問題的分析態(tài)度、探究的目光就會不斷地持續(xù)發(fā)展.如學(xué)生乙將數(shù)列的通項公式an=1+8+82+83+…+8n-1（個），類比用二進(jìn)制的方法計數(shù)為an=111…11（8），其中有n個“1”是解題探究的一個亮點，看起來簡單，但要想到卻不容易，這樣拓展了二進(jìn)制等進(jìn)位制思想的解題功能.學(xué)生甲的“升維”寶塔思維方式從“平面”到“立體”，展現(xiàn)出了思維的開放性，點亮了師生思維的火花，讓數(shù)學(xué)教學(xué)在研發(fā)教材資源，做足“做數(shù)學(xué)”的“過程”中，更多地開拓出學(xué)生思維的一點“靈光”，激發(fā)、成就、喚醒學(xué)生，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出無限的生機和活力，享受著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維快樂，探究能力自然會得到進(jìn)一步的提升.

在新課程數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的精彩表現(xiàn)，總是在頭腦中不斷地旋回，我深深感悟到：學(xué)生的奇思妙想凸顯著數(shù)學(xué)的精彩，編者的匠心寓意蘊涵新課程理念！又一次體會到德國教育家第斯多惠的一句名言：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵、喚醒、鼓舞.”