周 濤， 王 磊

(1.洛陽師范學院物理與電子信息系，河南 洛陽 471022; 2.同濟大學中德學院，上海 200092)

0 引言

自適應控制的研究始于20世紀50年代，用來解決高性能飛機自動駕駛儀的設計問題，這類飛機的飛行高度和速度變化范圍很大，從而造成大幅度的參數(shù)變化［1］。許多動力系統(tǒng)數(shù)學模型參數(shù)在較大的范圍內(nèi)具有不確定性，而自適應控制可以補償系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，因此它在許多實際問題中得到應用，例如電力系統(tǒng)、電機控制、機器手的控制、飛行器控制、化工過程和艦船的駕駛等［2］。目前，自適應控制主要有兩種形式:一種是模型參考自適應控制方法(MRAC);另一種是自校正方法(STC)。文獻［3］采用輸入—輸出變量設計了超聲波電機模型參考自適應轉(zhuǎn)速控制器，并給出了自適應速率在線調(diào)節(jié)等方法以改善起始階段的轉(zhuǎn)速控制性能;文獻［4］運用分散模型參考自適應控制方法研究了一類不確定時滯大系統(tǒng)問題，在選擇參考模型時，根據(jù)系統(tǒng)所期望的性能指標，考慮各子系統(tǒng)的相互作用;文獻［5］針對模型參考自適應控制中參考模型的建立問題，探討了3種模型設計方法;文獻［6］提出了自適應反推控制應用于具有不確定參數(shù)的永磁同步電機速度跟蹤控制，該方法能夠在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時保證控制系統(tǒng)的快速跟蹤性等［7］。

本文提出了一種基于跟蹤微分器的二階系統(tǒng)模型參考自適應控制。首先，證明了該模型參考自適應控制系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，并推導了參數(shù)自適應調(diào)節(jié)律表達式;然后，說明了基于跟蹤微分器的模型參考自適應控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu);最后，在雷達伺服系統(tǒng)中進行了試驗驗證，證明了該新型控制器的有效性。

1 二階系統(tǒng)模型參考自適應控制的設計

1.1 二階系統(tǒng)誤差狀態(tài)方程

設二階系統(tǒng)被控對象為［8］

式中:θ為系統(tǒng)輸出;u 為控制輸入;α0≥0;α1≥0;β0＞0。定義參考模型為

式中:θm為參考模型的輸出;r為系統(tǒng)指令輸入;a0＞0;a1＞0;b＞0。

定義誤差信號為

由式(2)減去式(1)可得誤差動態(tài)方程為

設計自適應控制律為

將式(5)代入式(4)得

式(7)中，s為標量函數(shù)。因為矩陣A的特征值具有負實部，所以系統(tǒng)(7)是穩(wěn)定的，存在正定對稱矩陣P、Q使得

1.2 模型參考自適應控制的穩(wěn)定性

取李雅普諾夫函數(shù)

式中，λ ＞0。

xTPx的導數(shù)為

式中，xTPBβ0ΦTV，β0VΦBTPx均為標量函數(shù)，且 P 為正定對稱矩陣，所以

由引理可知［2］，向量Φ的自適應律取為

式中，sign(β0)為符號函數(shù)。均為標量函數(shù)，

由式(7)～式(8)、式(11)和式(13)得(推導過程略)

由式(8)、式(14)得

由李雅普諾夫主穩(wěn)定性定理知，系統(tǒng)(7)為全局漸近穩(wěn)定。

1.3 參數(shù)自適用調(diào)節(jié)律的設計

因為

2 基于跟蹤微分器的二階系統(tǒng)模型參考自適應控制

由式(5)的自適應控制律和式(17)的參數(shù)自適應調(diào)節(jié)律可知，為了實現(xiàn)自適應控制，需要得到被控對象的輸出信號θ和輸出的微分信號，以及誤差信號e和誤差的微分信號實際系統(tǒng)輸出信號和誤差信號一般都包含大量高頻噪聲成分，常規(guī)的微分算法會造成嚴重的高頻噪聲放大效應，影響控制效果和精度，因此輸出的微分信號及誤差的微分信號常常難以利用。理想微分信號的獲取一直是控制工程上一個難點，這里，在模型參考自適應控制中，提出采用二階非線性跟蹤微分器(Tracking Differentiator，TD)得到輸出的跟蹤信號和理想的微分信號，而且很好地抑制了高頻噪聲放大效應［9］。

2.1 二階最速離散跟蹤微分器

二階跟蹤微分器可以對它的輸入信號進行低通濾波，同時得到輸入信號理想的微分信號。設h為采樣周期，x1(k)，x2(k)為二階系統(tǒng)的狀態(tài)變量，二階最速離散跟蹤微分器為［9］

二階最速控制函數(shù) fopt(x1(k)，x2(k)，r，h)為［10］

式中:fix(b1)為向零取整函數(shù);sat(x，n)為飽和函數(shù)。

2.2 基于跟蹤微分器的模型參考自適應控制系統(tǒng)

基于跟蹤微分器的二階系統(tǒng)模型參考自適應控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于跟蹤微分器的二階系統(tǒng)模型參考自適應控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of model reference adaptive control based on tracking differentiators

圖1 中:r(t)為控制系統(tǒng)的指令輸入信號;θm(t)為參考模型的輸出信號;θ(t)為被控對象的輸出信號;u(t)為被控對象的控制輸入信號;e(t)=θm(t)－θ(t)為誤差信號。圖1中包含了兩個二階最速離散跟蹤微分器:跟蹤微分器1能對實際輸出信號進行低通濾波，并獲得輸出信號的跟蹤值θ和微分信號;跟蹤微分器2能對誤差信號e(t)進行低通濾波，得到誤差信號的跟蹤值e和微分信號

3 實驗驗證

在某型雷達系統(tǒng)進行實驗驗證，利用工控機系統(tǒng)作為控制平臺，該雷達系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 實驗的雷達系統(tǒng)Fig.2 Experimental radar system

該雷達伺服系統(tǒng)被控對象為［8，11］

對比式(1)可得:α0=35，α1=30，β0=120。

參考模型為

當設定輸入指令為正弦信號時，被控對象的位置跟蹤誤差如圖3所示(縱坐標的單位為(°))，控制器參數(shù)h0、h1、h2的自適應變化曲線如圖4所示。

圖3 正弦信號位置跟蹤誤差Fig.3 Sine signal position tracking error

圖4 控制器參數(shù)的變化曲線Fig.4 Change curves of controller parameters

圖3 表明在2.5 s之后被控對象正弦信號的跟蹤誤差始終小于 ±0.4°×10－3。同時，圖4表明，由于正弦信號屬于持續(xù)激勵信號，導致了快速的參數(shù)收斂。

假設雷達伺服系統(tǒng)被控對象變?yōu)?/p>

即 α0=0，α1=5，β0=70。

參考模型仍為式(21)，且兩個TD的參數(shù)、模型參考自適應控制器的初始狀態(tài)、自適應調(diào)節(jié)律參數(shù)λ和正定矩陣Q取值均保持不變。設定輸入指令為相同的正弦信號，則被控對象的位置跟蹤誤差如圖5所示(縱坐標的單位為(°))，控制器參數(shù)的自適應變化曲線如圖6所示。

圖5 正弦信號位置跟蹤誤差Fig.5 Sine signal position tracking error

圖6 控制器參數(shù)的變化曲線Fig.6 Change curves of controller parameters

圖5 表明在2.5 s之后被控對象正弦信號的跟蹤誤差仍小于±0.4°×10－3，圖6表明自適應控制器的參數(shù)快速達到收斂。當雷達伺服系統(tǒng)被控對象模型的參數(shù)α0、α1和β0在較大范圍內(nèi)變化時，實驗表明采用該新型控制器的伺服系統(tǒng)總能夠保持高的位置跟蹤精度。

4 結(jié)論

本文提出的新型二階系統(tǒng)模型參考自適應控制利用跟蹤微分器獲取理想的微分信號，同時跟蹤微分器對輸出信號和誤差信號進行低通濾波。實驗結(jié)果表明，當雷達伺服系統(tǒng)的數(shù)學模型參數(shù)發(fā)生了較大變化時，該控制器能自動補償伺服系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，提高了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和動態(tài)跟蹤精度，對處理一般二階系統(tǒng)模型參數(shù)的不確定性具有重要的參考意義和應用價值。

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