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        函數(shù)奇偶性的多角度理解與應(yīng)用

        2012-08-27 02:42:04江蘇省連云港高級(jí)中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年15期
        關(guān)鍵詞:偶函數(shù)奇函數(shù)奇偶性

        ☉江蘇省連云港高級(jí)中學(xué) 高 原

        函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),對(duì)函數(shù)變化的規(guī)律可以從對(duì)稱的角度進(jìn)行描述,從不同的角度對(duì)函數(shù)奇偶性進(jìn)行理解,從而能夠?qū)瘮?shù)奇偶性靈活的應(yīng)用.

        一、定義的理解

        1.如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).

        2.如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).

        如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么我們就說(shuō)函數(shù)f(x)具有奇偶性.

        對(duì)上述定義可從以下三個(gè)角度理解:

        (1)任意性:要對(duì)定義域內(nèi)任意x都滿足條件,所以奇偶性是函數(shù)整個(gè)定義域上的性質(zhì),區(qū)別于單調(diào)性是某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì).

        (2)符號(hào)f(-x)=f(x)用文字語(yǔ)言描述是當(dāng)自變量互為相反數(shù)時(shí)函數(shù)值相等;f(-x)=-f(x)用文字描述為當(dāng)自變量互為相反數(shù)時(shí)函數(shù)值也互為相反數(shù).

        (3)一般地,奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,反過(guò)來(lái),如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù);偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,反過(guò)來(lái),如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).

        二、函數(shù)奇偶性的判定方法

        2.借助函數(shù)的圖像判定函數(shù)奇偶性.

        3.性質(zhì)法判定:

        (1)在兩個(gè)函數(shù)定義域的公共部分內(nèi),兩奇函數(shù)之積(商)為偶函數(shù);兩偶函數(shù)之積(商)也為偶函數(shù);一奇一偶函數(shù)之積(商)為奇函數(shù)(注意取商時(shí)分母不為0);

        (2)偶函數(shù)在區(qū)間(a,b)上遞增(減),則在區(qū)間(-b,-a) 上遞減(增);奇函數(shù)在區(qū)間(a,b)與(-b,-a)上的增減性相同.

        例1 判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性:

        (1)f(x)=x+x3+x5; (2)f(x)=x2+1;

        (3)f(x)=x+1; (4)f(x)=x2+1,x∈[-1,3].

        解析:(1)函數(shù)f(x)=x+x3+x5定義域?yàn)镽,

        因?yàn)閒(-x)=-x-x3-x5=-f(x),所以函數(shù)f(x)=x+x3+x5為奇函數(shù).

        (2)函數(shù)f(x)=x2+1定義域?yàn)镽,f(-x)=x2+1=f(x),所以函數(shù)f(x)=x2+1為偶函數(shù).

        (3)f(-1)=0,f(1)=2,所以f(x)=x+1不是偶函數(shù);f(-2)=-1,-f(2)=-3,所以f(x)=x+1不是奇函數(shù).

        (4)因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)以稱,所以f(x)=x2+1,x∈[-1,3]既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).

        答案:

        解析:由于f(x)是偶函數(shù),故f(x)=

        (1)求a、b、c的值;

        解析:(1)因?yàn)閒(-x)=-f(x),所以c=0.

        例4 已知函數(shù)f(x)=

        (1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;

        (2)函數(shù)g(x)=f(4-x),比較g(-1)與g(6)的大小.解析:(1)是偶函數(shù).定義域是R.

        則函數(shù)f(x)是偶函數(shù).

        三、誤解分析

        1.判斷函數(shù)是否具有奇偶性,首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.即函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.

        例5 判斷函數(shù)y=x2,x∈[-1,1)的奇偶性.

        解析:由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以是非奇非偶函數(shù).

        2.判斷函數(shù)是否具有奇偶性,一般要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn),這樣才能得出正確結(jié)論.

        則f(x)是偶函數(shù).

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