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        等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)N的計(jì)算

        2012-08-28 02:33:20吳東武
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年15期
        關(guān)鍵詞:項(xiàng)數(shù)圈數(shù)整數(shù)

        ☉吳東武

        等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)N的計(jì)算

        ☉吳東武

        吳東武 男,廣東省五華縣人.1966年畢業(yè)于華南工學(xué)院化工系無(wú)機(jī)物工學(xué)專業(yè).廣州石油化工總廠退休高級(jí)工程師,曾從事化工工藝及化工設(shè)備技術(shù)工作.

        前言

        等差數(shù)列n項(xiàng)和公式Sn,是德國(guó)數(shù)學(xué)家C.F.高斯少年時(shí)發(fā)現(xiàn)的,此公式人們已經(jīng)學(xué)習(xí)了200多年.直至今日,全世界中學(xué)數(shù)學(xué)只教C.F.高斯的等差數(shù)列n項(xiàng)和Sn,學(xué)生只會(huì)計(jì)算整數(shù)的項(xiàng)數(shù)n,而不會(huì)計(jì)算帶小數(shù)的項(xiàng)數(shù)N.我們的化工專家學(xué)者面對(duì)等差數(shù)列前N項(xiàng)和SN,同樣也不會(huì)計(jì)算帶小數(shù)的項(xiàng)數(shù)N,只好按自己的思維習(xí)慣,建立接近實(shí)際的計(jì)算公式,以解決設(shè)計(jì)、計(jì)算之需.

        在上世紀(jì)30年代,傳熱工程出現(xiàn)了一種高效換熱設(shè)備——螺旋板換熱器(如右圖),它是由兩張厚度為δ的平行鋼板卷成,有兩條寬度(板間距)為b1和b2的螺旋通道,分別與中央直徑為d11與d21的空心半圓柱相通,d11=d21+b1-b2,冷熱介質(zhì)在各自的通道中流動(dòng)換熱,廣泛應(yīng)用于化學(xué)工業(yè)、制藥和食品等領(lǐng)域.螺旋板由里往外各圈長(zhǎng)度組成一個(gè)等差數(shù)列,在螺線長(zhǎng)度即等差數(shù)列n項(xiàng)和Sn計(jì)算中,螺旋圈數(shù)即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)

        式中的n必須是整數(shù).但是,在設(shè)備設(shè)計(jì)和實(shí)際計(jì)算中,往往需要用螺旋通道的長(zhǎng)度L準(zhǔn)確計(jì)算帶小數(shù)的螺旋通道圈數(shù)N,準(zhǔn)確計(jì)算公式是怎樣的?

        等差數(shù)列N項(xiàng)和

        在公式導(dǎo)出前,我們先來(lái)看看螺旋板長(zhǎng)的等差數(shù)列是怎樣形成的.

        螺旋板換熱器的卷板過(guò)程:當(dāng)兩根不同直徑(d11和d21)的半圓柱狀的卷輥牢固夾住隔板時(shí),啟動(dòng)卷床,卷輥轉(zhuǎn)動(dòng),卷板過(guò)程開始.對(duì)螺旋板長(zhǎng)度而言,長(zhǎng)度是從零開始由小至大的過(guò)程,是一個(gè)程積分過(guò)程,也是等差數(shù)列的形成過(guò)程.首圈長(zhǎng)度從0開始,慢慢增長(zhǎng)至第一圈長(zhǎng)度a1,又從0開始再慢慢增長(zhǎng)至第二圈長(zhǎng)度a2,…,如此增長(zhǎng)至an,此時(shí),由各圈長(zhǎng)度構(gòu)成的等差數(shù)列為

        式中a1為等差數(shù)列首項(xiàng),an為整數(shù)項(xiàng),d為公差.

        當(dāng)螺旋板長(zhǎng)度增至an后,又繼續(xù)從0慢慢增長(zhǎng)至aN而未到a(n+1),卷床停止.此時(shí),螺旋板圈數(shù)由第一圈,第二圈,…,第n圈直至第N圈而未到第(n+1)圈,各圈長(zhǎng)度構(gòu)成的等差數(shù)列為

        等差數(shù)列N項(xiàng)和

        式中n為正整數(shù),0≤n0<1,aN為帶小數(shù)項(xiàng).aN在螺旋板換熱器中的幾何意義是不足一圈的螺線長(zhǎng)度.

        當(dāng)n0≠0時(shí),等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)N通過(guò)下述方法計(jì)算:

        式中n是整數(shù),0≤n0di<1.以式④中的整數(shù)n代入③式,計(jì)得n0,項(xiàng)數(shù)N=n+n0.

        我們依據(jù)等差數(shù)列N項(xiàng)和公式③,可以找出螺旋板換熱器螺旋通道長(zhǎng)度計(jì)算公式:

        式中n是整數(shù),0≤n0di<1.以式⑥中的整數(shù)n代入⑤式,計(jì)得n0,項(xiàng)數(shù)N=n+n0.

        公式⑤在特定條件n0=0,b=b1=b2,t=2(b+δ),d=d21下,變?yōu)?/p>

        也有文獻(xiàn)[1]采用公式⑦計(jì)算螺旋通道圈數(shù)N.

        當(dāng)n0=0時(shí),N=n,公式⑤的螺旋通道圈數(shù)

        以前,多數(shù)文獻(xiàn)[2][3][4][5]采用下列公式計(jì)算螺旋通道圈數(shù)N,其首先使用者是日本學(xué)者[6].

        同樣是不可取.

        計(jì)算實(shí)例(選自參考文獻(xiàn))

        設(shè)計(jì)一臺(tái)將3000kg/h的煤油從140℃冷卻至40℃螺旋板換熱器,冷卻水入口溫度為30℃,冷卻水量為15m3/h.

        由傳熱計(jì)算得到傳熱面積A=7.15m2,其中,螺旋板寬H=0.3m,螺旋板2初始內(nèi)徑d21=0.110m,板厚δ=0.0023m,螺旋通道寬b1=0.0093m,b2=0.0042m.

        計(jì)算螺旋通道圈數(shù)N.

        解:因?yàn)槎菪ǖ莱跏贾睆絛f1相等,二通道長(zhǎng)度L相等.螺旋通道長(zhǎng)度

        結(jié)論:通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的形成過(guò)程分析和實(shí)例計(jì)算可以看出,等差數(shù)列n項(xiàng)和Sn是神圣的自然規(guī)律,不能更改.Sn是基礎(chǔ),公式③④是由SN計(jì)算等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)N的完整而準(zhǔn)確的方法,公式⑤⑥是螺旋板換熱器由螺旋通道長(zhǎng)度L計(jì)算螺旋通道圈數(shù)N實(shí)用、準(zhǔn)確的方法,不論N是整數(shù)還是帶小數(shù).

        1.王松漢.石油化工設(shè)計(jì)手冊(cè).北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2002.

        2.尾花英朗(日).熱交換器設(shè)計(jì)手冊(cè).徐中權(quán).北京∶石油工業(yè)出版社,1982.

        3.毛希瀾.換熱器設(shè)計(jì).上海:上??茖W(xué)技術(shù)出版社,1988.

        4.時(shí)鈞,汪家鼎,余國(guó)琮,等.化學(xué)工程手冊(cè).北京:化學(xué)工業(yè)出版社,1996.

        5.余國(guó)琮.化工機(jī)械工程手冊(cè).北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2003.

        6.化學(xué)裝置編輯部.螺旋板式熱交換器的設(shè)計(jì)[J].化學(xué)裝置(日本),1966,8(7):43-49.

        7.錢頌文.換熱器設(shè)計(jì)手冊(cè).北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2002.

        8.董其伍,張垚,等.換熱器.北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2009.

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