王宇亮 汪金花 張志敏

(河北聯(lián)合大學，河北 唐山 063009)

0 引言

GPS測量經(jīng)平差后的高程是以WGS－84橢球為基準的大地高HGPS，工程上經(jīng)常使用的是以似大地水準面上為基準的正常高H0，兩者之差通常稱為高程異常。高程異常求解的精度取決于數(shù)學模型的準確性。求取高程異常擬合的方法多，常用的有多項式擬合法、Shepard曲面擬合法、多面函數(shù)法、樣條函數(shù)法等。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因其強大的自學習、自組織和自適應(yīng)能力在非線性系統(tǒng)的預測中得到了廣泛的應(yīng)用。基于BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的GPS高程轉(zhuǎn)換方法是一種自適應(yīng)的映射方法，該方法沒作假設(shè)，能夠減少模型誤差，但是存在著收斂速度慢、訓練時間長、神經(jīng)元個數(shù)難確定等問題。徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡單，有較強的非線性映射能力，適合于多變量函數(shù)的逼近，非常適合于空間散亂數(shù)據(jù)的擬合。本文分別將BP網(wǎng)絡(luò)和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于GPS水準高程擬合研究，在此基礎(chǔ)上，選擇某一地區(qū)的GPS水準實測數(shù)據(jù)進行了高程擬合實驗，并將得到的最后精度進行了比較分析。

1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行高程擬合的原理

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入與輸出關(guān)系是一種高度非線性映射關(guān)系，如果輸入結(jié)點數(shù)為n，輸出結(jié)點數(shù)為m，則網(wǎng)絡(luò)是從n維空間到m維空間的映射。由于GPS高程擬合的實質(zhì)是求一個從二維平面坐標或者大地坐標到GPS點的高程異常的映射。對于樣本集合X和輸出Y，可認為存在某一映射G使:

即高程擬合是求出映射G，使得在某種意義下，G是函數(shù)模型的最佳逼近。

1.1 BP網(wǎng)絡(luò)的基本原理

經(jīng)典的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是三層結(jié)構(gòu):輸入層、隱含層和輸出層。因此比較理想的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)應(yīng)該是A×M×B的結(jié)構(gòu)，又因GPS高程擬合的數(shù)學模型可以表達為:

即高程異常ζ和點位坐標(X，Y)有關(guān)，若輸入層取2(即坐標X，Y)，輸出層取1(即高程異常ζ)，則模型2×M×1為最佳選擇。

1.2 RBF網(wǎng)絡(luò)的基本原理

徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)(Radial Basis Function，簡稱RBF)是一種兩層前向型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，包含一個具有徑向基函數(shù)神經(jīng)元的隱含層和一個具有線性神經(jīng)元的輸出層。

輸入信號傳遞到隱含層，隱含層有S1個神經(jīng)元，節(jié)點函數(shù)為高斯函數(shù);輸出層有S2個神經(jīng)元，節(jié)點函數(shù)通常是簡單的線性函數(shù)。隱含層節(jié)點(基函數(shù)中心)以徑向基函數(shù)為核函數(shù)，其對輸入矢量產(chǎn)生局部響應(yīng)，輸出節(jié)點對隱含層節(jié)點的輸出進行線性加權(quán)，從而實現(xiàn)輸入空間到輸出空間的映射，使整個網(wǎng)絡(luò)達到函數(shù)逼近的目的。在構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的過程中，通過反復調(diào)整散布常數(shù)的數(shù)值來確定最好的擬合效果，最終完成高程內(nèi)插的運算。

2 實例分析與研究

本文針對大范圍內(nèi)GPS高程擬合，選取試驗數(shù)據(jù)為某市D級GPS網(wǎng)(平坦地區(qū)，區(qū)域面積約為300 km2)中40個GPS點進行了三等GPS水準聯(lián)測，其部分數(shù)據(jù)情況如表1所示。

表1 已知數(shù)據(jù)情況(部分)

2.1 BP網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用實例

在三層網(wǎng)絡(luò)的擬合中，適當?shù)剡x擇網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就可以實現(xiàn)任意精度逼近連續(xù)函數(shù)，使用BP網(wǎng)絡(luò)解決實際問題，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化決定了網(wǎng)絡(luò)特性的提高，成為擬合成功與否的關(guān)鍵。對于三層BP網(wǎng)絡(luò)，輸入層和輸出層神經(jīng)元數(shù)量都是由實際問題本身決定的。

BP網(wǎng)絡(luò)的創(chuàng)建代碼如下所示:

%創(chuàng)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，

%2表示輸入層有兩個輸入，n表示隱含層神經(jīng)元個數(shù)，1表示輸出層數(shù)目，

%tansig，purelin為傳遞函數(shù)，trainlm為學習函數(shù)。

圖1 GPS水準點聯(lián)測平面示意圖

確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，實際上就是確定隱含層神經(jīng)元數(shù)目的多少，不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在獲得最佳的擬合效果時的隱含層神經(jīng)元數(shù)目也是不同的。隨著逼近函數(shù)的波動性增加，隱含層單元數(shù)應(yīng)適當增加;隨著學習樣本數(shù)目增加，隱含層單元數(shù)目也應(yīng)該適當調(diào)整。經(jīng)過多次反復實驗，最終確定學習樣本為35，測試樣本為5時的測試誤差可以達到最小。圖1表示了這40個均勻分布的已知點點位分布情況。

在網(wǎng)絡(luò)的學習訓練過程中可以看出，當隱含層神經(jīng)元數(shù)目為6時的網(wǎng)絡(luò)擬合精度最高，訓練樣本的最大誤差最小，只有0.84 cm。因此，選用訓練樣本為35，測試樣本為5，隱含層神經(jīng)元數(shù)為6來構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其訓練后得到的測試樣本的誤差和其平均的中誤差結(jié)果如表2所示。

表2 測試樣本為5時的誤差情況(一) mm

2.2 RBF網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用實例

用徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)函數(shù)逼近時，newrb()函數(shù)可以自動調(diào)整網(wǎng)絡(luò)隱含層神經(jīng)元數(shù)目，直到均方差滿足精度或者神經(jīng)元數(shù)目達到最大為止。其調(diào)用格式如下:

其中，P為輸入向量;T為目標輸出向量。

SPREAD為徑向基層的散布常數(shù)，缺省值為1。

GOAL為訓練精度。

在網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計中散布常數(shù)是一個非常重要的參數(shù)，下面我們就來看一下散布常數(shù)的選擇對網(wǎng)絡(luò)精度的影響。在下面的試驗中我們已知數(shù)據(jù)中的35個已知點作為學習樣本，其余的5個樣本作為測試集，通過調(diào)整散布常數(shù)的不同數(shù)值來確定網(wǎng)絡(luò)的最佳結(jié)構(gòu)，在學習樣本為35，測試樣本為5，散布常數(shù)SPREAD=1.5時測試集的訓練誤差如表3所示。

表3 測試樣本為5時的誤差情況(二) mm

由以上實驗可以看出，散布常數(shù)的確定對網(wǎng)絡(luò)的擬合精度有很大的影響。散布函數(shù)需要足夠大時才能覆蓋所有的輸入?yún)^(qū)間，但是如果其數(shù)值太大，則每個神經(jīng)元的響應(yīng)區(qū)域又會交叉過多，反而會使得精度有所降低。

因而，在此次的徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計中將散布常數(shù)SPREAD的值選為1.5，使得訓練樣本的最大誤差值為0.84 cm，同時也保證了此時的擬合精度最高。

3 兩種結(jié)構(gòu)精度對比

1)隨著學習樣本的增加、測試樣本的減少，測試樣本的最大誤差變得越來越小，因而，在設(shè)計網(wǎng)絡(luò)的時候應(yīng)該盡可能的選擇較多的訓練樣本，從而保證利用訓練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到的待定點的高程精度是最好的。

2)隨著隱含層神經(jīng)元數(shù)目的增加，網(wǎng)絡(luò)的收斂次數(shù)逐漸增加，但是測試數(shù)據(jù)的最大誤差在改變。通過實驗發(fā)現(xiàn)，當隱含層神經(jīng)元的數(shù)目為6的時候，網(wǎng)絡(luò)的仿真誤差最小，也就是說此時網(wǎng)絡(luò)的擬合效果是最好的。

3)當隱含層神經(jīng)元的數(shù)目增大到13及其以上時，測試集中的最大誤差都超過了10 cm，但是，只是有一兩個測試點的誤差比較大。盡管如此，為了保證最好的擬合效果，隱含層神經(jīng)元的數(shù)目也不能過多地通過以上BP網(wǎng)絡(luò)和徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用實例，得到BP網(wǎng)絡(luò)和徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)的學習、訓練誤差情況如表4所示。

表4 BP網(wǎng)絡(luò)與RBF網(wǎng)絡(luò)的精度比較 mm

由表4可以看出，雖然徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)的最小學習誤差明顯小于BP網(wǎng)絡(luò)的最小學習誤差，并且除了徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)測試樣本的最大誤差值和BP網(wǎng)絡(luò)的訓練后的最大誤差值相同，都為8.4 mm之外。BP網(wǎng)絡(luò)的其他精度誤差都比徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)的誤差要小很多，尤其是BP網(wǎng)絡(luò)訓練后的平均中誤差4.8 mm要比徑向基函數(shù)的平均中誤差5.7 mm小一些，因而BP網(wǎng)絡(luò)訓練后所得的擬合精度也相對比較高。

4 結(jié)語

本文以探究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法實現(xiàn)GPS高程異常擬合為目標，并結(jié)合具體的工程數(shù)據(jù)進行了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)性能分析，通過性能比較得出了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在GPS高程異常擬合中具有較高的精度。

最后利用實驗得到擬合后的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)完成測區(qū)內(nèi)GPS水準的設(shè)計，實現(xiàn)待定點大地高到正常高的轉(zhuǎn)換。但由于采集的數(shù)據(jù)量有限，故只能根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)和成果進行分析，對此提出以下建議:在地勢平緩、經(jīng)緯度相差較小的局部地區(qū)，在保證觀測質(zhì)量的情況下，聯(lián)測數(shù)量越多的高等級水準點，采用GPS水準法可以獲得越高的擬合精度;高程擬合起算點應(yīng)盡可能的聯(lián)測到高精度的已知水準點，已知高等級水準點在GPS網(wǎng)中的位置很重要，距離工程區(qū)越近，則通過已知點擬合的似大地水準面越接近工程區(qū)似大地水準面的現(xiàn)狀，從而提高各個待定點的擬合高程精度。

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