李 杰 胡 嘯 范偉東

(1.解放軍理工大學工程兵工程學院，江蘇 南京 210007; 2.空軍后勤部機場營房部，北京 100720;3.沈陽軍區(qū)空軍后勤部機場營房處，遼寧 沈陽 110015)

0 引言

隨著較淺部能源的大量開采，越來越多的礦井正在向深部轉(zhuǎn)移，另外隨著鉆地武器的發(fā)展，各國的重要地下戰(zhàn)略工程也在逐漸向深部轉(zhuǎn)移。這些都要求對深部巖石中爆炸引起的應力、變形及其他運動參數(shù)給出比較準確的評估。

由于巖石中爆炸的瞬時性和復雜性使其研究十分困難，大多數(shù)研究表明[1－3]，炸藥在地下爆炸時，根據(jù)周圍介質(zhì)破壞的特點，由里及外依次可以分為爆炸腔、破碎區(qū)、徑向裂縫區(qū)和彈性區(qū)。根據(jù)爆炸的等效荷載理論，把淺埋爆炸的整個非彈性破壞區(qū)看成震動源，利用當前較為成熟的彈性波理論，可以大大地降低難度，對于爆炸遠區(qū)的研究具有重要的意義。

爆炸等效荷載的表示形式通常有兩種[4]:第一種由空腔表面的徑向粒子速度來描述;第二種由空腔表面徑向正應力來描述。在巖石介質(zhì)的地下爆炸試驗研究過程中，因為準確應力場數(shù)據(jù)的測量較為困難，大部分的測量數(shù)據(jù)為速度場數(shù)據(jù)，而在進行有限元等數(shù)值分析時，將球腔內(nèi)速度加載轉(zhuǎn)換為壓力加載可降低研究難度，因而建立一個相對準確的應力與速度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系是十分必要的。經(jīng)典的彈性波理論中，應力場和速度場存在簡單的線性轉(zhuǎn)換關(guān)系σ=ρCv[5]。但這種關(guān)系的成立只是建立在一維平面波的假設(shè)上，將其應用于球面波，無疑會產(chǎn)生很大的誤差。

本文在爆炸的等效荷載理論以及彈性波理論的基礎(chǔ)上，詳細探討了深埋爆炸波的傳播規(guī)律，并通過計算建立了通用的應力與速度轉(zhuǎn)換關(guān)系。

1 震源簡化模型

深埋地下爆炸由于炸藥埋置深度很大，可以不考慮地表面對地下自由場中波傳播的影響，把問題看成無限介質(zhì)中的球?qū)ΨQ問題進行研究。根據(jù)爆炸等效荷載理論可以將整個非彈性區(qū)看成爆炸的震動源，簡化后的爆炸地震波傳播如圖1所示。

震源為以O(shè)為球心，R0為半徑的球形空腔。邊界上的等效荷載可以用空腔表面的徑向粒子速度vR=vR(t)或者空腔表面徑向正應力σR=σR(t)來描述。設(shè)彈性半空間介質(zhì)的材料特性用密度ρ、泊松比v、拉梅常數(shù)λ和μ表示，縱波速度用Cp，橫波速度用Cs表示。

在t=0時刻球形空腔表面產(chǎn)生彈性壓縮波，震源周圍介質(zhì)質(zhì)點的一維徑向運動線性微分方程，可用球坐標r，θ，φ表示為[6]:

2 邊界條件轉(zhuǎn)換

在t=0初始時刻球形彈性壓縮波就開始激活周圍的介質(zhì)，這就引起下列邊界條件。

2.1 速度邊界條件

對于第一種邊界等效荷載，設(shè)其具體如下式:

對式(4)求時間t的導數(shù)，可以得到速度的表達式:

當r=R0時，有ζ=t，再將式(5)代入邊界條件式(3)有:

初始條件為φ″(0)=0，φ′(0)=0時，勢函數(shù)可以用卷積積分表示成:

2.2 應力邊界條件

對于第二類擾動形式，類似于式(3)，在半徑r=R0的球面上給出了正應力型邊界條件:

在這種情況下，利用式(4)代入式(1)中 σr，σθ，σφ的表達式可以得到:

然后可以得到:

2.3 邊界條件的相互轉(zhuǎn)換

因為不同邊界條件對應的是相同的運動場，所以令式(7)和式(11)的右邊相等，有:

等式兩邊分別對其進行Laplace變換有:

把式(14)代入式(13)，化簡后有:

運用留數(shù)定理進行計算有[7]:

再設(shè):

根據(jù)卷積定理有:

由式(18)和式(19)即可完成應力邊界條件到速度邊界條件的轉(zhuǎn)換。

同理也可以得到由速度邊界條件到應力邊界條件的轉(zhuǎn)換:

設(shè):

再設(shè):

根據(jù)卷積定理有:

由式(22)和式(23)即可完成應力邊界條件到速度邊界條件的轉(zhuǎn)換。

2.4 計算實例

以正弦指數(shù)衰減速度邊界條件和雙指數(shù)應力邊界條件為例進行計算，計算參數(shù)如表1所示。

表1 計算參數(shù)

1)正弦指數(shù)衰減速度邊界條件。

正弦指數(shù)衰減速度邊界條件的表達式為[8]:

其中，υ0為速度量綱常數(shù);α為衰減系數(shù);ω為振動頻率。取υ0=10 m/s，α =1 600，ω =5 000，則邊界條件圖形如圖2 所示。

圖1 深埋爆炸震源簡化模型

圖2 正弦指數(shù)衰減速度邊界條件

把式(24)代入式(23)可以得到其所對應的應力邊界條件如圖3所示。

由上面的計算可以看出，對應于正弦指數(shù)衰減的速度邊界條件，其應力的波動周期與速度波動周期相等。隨著時間的發(fā)展，應力趨于一極限值，考慮到爆炸近區(qū)的特點，可以理解為殘余應力[9]。與平面波陣面上的關(guān)系式σ=ρCpυ比較，轉(zhuǎn)換后邊界最大應力要比σ=ρCpυ計算得出的大30%左右。

2)雙指數(shù)應力邊界條件。取應力邊界條件為雙指數(shù)函數(shù)和形式，雙指數(shù)函數(shù)[8]的數(shù)學表達式如下:

其中，k為峰值修正系數(shù);p0為脈沖峰值;a和b的值影響脈沖峰值、前沿、半寬等參數(shù)。

取a=1 279，b=12 792，k=1.435時可以得到一個升壓時間為0.000 2 s、峰值壓力為p0=100 MPa的脈沖荷載。其圖形如圖4所示。

圖3 應力邊界條件

圖4 雙指數(shù)壓力荷載

將式(25)代入式(19)得到雙指數(shù)應力邊界條件對應的速度邊界條件波形如圖5所示。

圖5 速度邊界條件

由圖5可以看出，速度條件的升壓時間小于應力條件，與平面波陣面上的關(guān)系式σ=ρCpυ比較，轉(zhuǎn)換后邊界最大速度要小20%左右。

由此可以得出，與平面波中應力和速度的線性關(guān)系相比較，相同應力邊界條件下球面波上的質(zhì)點的速度要小，分析式(19)，式(23)可以看出影響這種差異大小的主要因素是波的傳播距離和介質(zhì)中波的傳播速度。

3 深埋爆炸波的傳播規(guī)律

式(9)用來描述應力隨距離的變化，這種變化比流體中的應力變化要復雜，公式中的第二項以及第三項用來表述介質(zhì)的抗剪能力(μ≠0)。如果μ=0，即Cs=0，可得到對應于流體的解:

式(9)的第一項描述在r→∞時應力的漸進行為，如果引進非平穩(wěn)波的波長概念，即λ=CpT(T為脈沖的特征時間)，那么式(9)的第一項以很好的精度描述在r?λ時應力隨時間的變化。

如果g(t)=σ0H(t)，H(t)為階躍函數(shù)，則式(11)最終表達式為:

從式(27)中可以看到，在固定位置存在著阻尼振蕩，顯示了球面波與平面波的截然不同，球面波的情形場變量服從至少是r－1量級的幾何衰減。

此時，對于r?λ條件，速度的近似表達式為:

分析這最后的關(guān)系式表明:介質(zhì)的空間(徑向)運動具有使振動衰減的特點。振幅的衰減參數(shù)為振動的有條件周期等于，它與土壤的性質(zhì)和震源的半徑有關(guān)。

可見，剪應力τmax(r/R0)在震源r=R0和彈性波陣r=R0+Cpt的區(qū)域內(nèi)，是坐標r/R0的單調(diào)遞減函數(shù)。在震源表面(r=R0)上達到最大值，而在波陣面前達到最小值。波陣上各點處的振幅，由于彈性壓縮波的傳播有一個突降值[6]，因此剪切力的振幅也將有一個突變。

圖7計算給出了觀察點r/R0=1.1和1.5處對應于式(17)相對環(huán)向應力隨時間 t/t0變化的歷程。在介質(zhì)運動的初始階段，環(huán)向應力是拉應力(＞0)，然后拉應力變成壓應力(＜0)。拉應力可能引起(在許多情況下都會引起)徑向裂紋破壞。當t無限增加時，趨近于靜力解。

圖6 最大剪應力沿半徑的分布

圖7 環(huán)向正應力的時程曲線

如果在球形震源r=r0表面上作用的是靜荷載σ0，可以得到無窮大彈性介質(zhì)中邊值問題的精確解析解:

可見靜力問題中環(huán)向應力σθ(r)總是拉應力，徑向應力σr總是壓應力(σr＜0)。靜應力的幅值隨著遠離震源而與一樣衰減，位移場則與一樣衰減，應力與靜態(tài)作用力源周圍介質(zhì)的參數(shù)無關(guān)。

4 結(jié)語

以彈性空腔膨脹為研究對象，利用速度和應力兩種邊界條件下運動場勢函數(shù)相等的原理，建立了球面波運動場中速度場與應力場的轉(zhuǎn)換關(guān)系。結(jié)果表明:

1)不同于平面波中應力和速度的線性關(guān)系，球面波中應力與速度轉(zhuǎn)換關(guān)系要復雜的多，相同應力條件下，球面波上的質(zhì)點的速度要小，影響這種差異大小的主要因素是波的傳播距離和介質(zhì)中波的傳播速度。2)通過對階躍壓力荷載作用下應力場的衰減規(guī)律研究發(fā)現(xiàn)，球面波的情形場變量隨著遠離震源服從至少是γ－1量級的幾何衰減。3)介質(zhì)的徑向運動具有使振動衰減的特點。振幅的衰減參數(shù)和振動的有條件周期與土壤的性質(zhì)和震源的半徑有關(guān)。4)剪應力在震源γ=R0和彈性波陣r=R0+Cpt的區(qū)域內(nèi)是坐標r/R0的單調(diào)遞減函數(shù)，在震源表面上達到最大值。波陣上各點處的振幅，由于彈性壓縮波的傳播有一個突降值，因此剪切力的振幅也將有一個突變。5)在介質(zhì)運動的初始階段，環(huán)向應力是拉應力，然后拉應力變成壓應力。拉應力可能引起(在許多情況下都會引起)徑向裂紋破壞。當t無限增加時，環(huán)向應力趨近于靜力解。6)靜力問題中環(huán)向應力總是拉應力，徑向應力總是壓應力。靜應力的幅值隨著遠離震源而與一樣衰減，位移場則與一樣衰減，應力與靜態(tài)作用力源周圍介質(zhì)的參數(shù)無關(guān)。

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