黃明開

(協(xié)和集團，上海 200040)

0 引言

地震行波效應(yīng)的研究普遍認(rèn)為:地震行波效應(yīng)一般使地震反應(yīng)比一致輸入時小[1，2]，因為從輸入輸出看，一致輸入的輸入量總是大于行波輸入的輸入量。但是就像活載分布的結(jié)構(gòu)影響一樣，并非滿載時結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面的力就是最大的，行波輸入也是這樣的，當(dāng)結(jié)構(gòu)跨度不是非常大時，由于地震波速很快，因此其各點之間的輸入差別不大，用輸入輸出來解釋是沒問題的;當(dāng)結(jié)構(gòu)跨度超大時，各點之間的輸入差別較大，這種差別可以對結(jié)構(gòu)的有些節(jié)點和截面產(chǎn)生影響，往往會出現(xiàn)地震效應(yīng)比一致輸入大的情況，跨度135 m的結(jié)構(gòu)在地震波速為500 m/s時的地震反應(yīng)就會出現(xiàn)增大的現(xiàn)象[3]，也就是說，如果地震波速按常規(guī)1 000 m/s考慮，跨度300 m左右的結(jié)構(gòu)的行波效應(yīng)就應(yīng)該考慮。目前行波效應(yīng)更多的用時程分析法進(jìn)行分析計算，而作為工程應(yīng)用還不容易實現(xiàn)，也不經(jīng)濟。如果能用反應(yīng)譜法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行一些即便是定性的評估也是很有現(xiàn)實意義的。常規(guī)的反應(yīng)譜法不能考慮行波效應(yīng)等復(fù)雜的因素，文獻(xiàn)[4][5]介紹了一種由Berrech和Kausel提出的非一致激勵反應(yīng)譜法。該方法是反應(yīng)譜方法的一種推廣，它通過對反應(yīng)譜方法中一些系數(shù)的調(diào)整，可以在一定程度上考慮行波效應(yīng)和部分相干效應(yīng)。目前其簡化后的結(jié)果仍然難以付諸工程應(yīng)用，且系數(shù)簡化所帶來的問題還有待進(jìn)一步評估。本文將推導(dǎo)時間相關(guān)的行波反應(yīng)譜法，為工程中考慮行波效應(yīng)提供方法參考。

1 理論推導(dǎo)

其中，m為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的項數(shù);ωi為第i個圓頻率;φi為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的相位;t為時間;Ai，Bi均為常數(shù)。根據(jù)隨機振動理論，a1(t)有無窮多條，根據(jù)結(jié)構(gòu)共振原理可知，取得譜值的a1(t)，其主要頻率成分必然集中于ωi=ω1的附近。因此a1(t)又可表示為:

其中，O為余項。上式可以進(jìn)一步近似為:

其中，n為待定系數(shù)。則由于行波作用的影響，支點2對應(yīng)于周期為T1、圓頻率為ω1體系的加速度反應(yīng)時程為:

時—頻分析的任務(wù)是要描述信號的頻譜含量怎樣在時間上變化，研究并了解時變頻譜在數(shù)學(xué)上和物理上是一個怎樣的概念。在歷史上，對時—頻分析的研究開始于20世紀(jì)40年代[6]。其中有許多著名的學(xué)者，特別是伽波爾和維爾受到量子力學(xué)中類似研究的啟發(fā)，他們把部分?jǐn)?shù)學(xué)相似性引入時—頻分析。他們指出，經(jīng)典傅立葉分析只能把信號分解成單個的頻率分量，并建立起每一個分量的相對強度，但是，能量頻譜并沒有告訴我們那些頻率在什么時候出現(xiàn)。而時—頻分布則使我們能夠知道在某一特定的時間和頻率范圍有多少能量，并能夠計算在某一特定時間的頻率分布，還能夠計算這個分布的整體和局部的各階矩等等。假設(shè)距離為d的兩支點1和2，支點1對應(yīng)于周期為T1、圓頻率為ω1體系的加速度反應(yīng)時程為a1(t)，則a1(t)可由傅立葉級數(shù)展開，如下式所示:

其中，c為視波速。

將a2(t)按三角函數(shù)展開可得:

a1(t)關(guān)于時間t取得極值的條件為式(1)右邊關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)等于0，即:

即當(dāng)支點1的加速度取得幅值，即極值時，支點2的加速度值為:

同理可得支點1對應(yīng)于周期為 T2，T3，TiL圓頻率為 ω2，ω3，ωiL體系的加速度反應(yīng)與支點2對應(yīng)于周期為T2，T3，TiL圓頻率為ω2，ω3，ωiL體系的加速度反應(yīng)的關(guān)系，如式(8)所示。將上述結(jié)果推廣為多個支點，則第i個支點上的加速度反應(yīng)值應(yīng)為一致輸入下的譜值的cosθi倍。

其中，Ai(ω)為第i支點的加速度譜值;Amax(ω)為一致輸入下的加速度譜值;di為第i個支點與第一個支點之間的距離。

假設(shè)一個頻率為3.14 Hz的系統(tǒng)，跨度為180 m，當(dāng)視波速為1 000 m/s時，在支點1取得譜值時，由式(9)可知，支點2的譜值應(yīng)為支點1的譜值的0.944倍。當(dāng)各點的譜值計算出來后，就可以按傳統(tǒng)的振型疊加反應(yīng)譜法進(jìn)行計算結(jié)構(gòu)的反應(yīng)了。

2 應(yīng)用前景

對于超大跨度結(jié)構(gòu)而言，通過時間相關(guān)的行波反應(yīng)譜，可以在工程應(yīng)用中較方便地評估地震的行波效應(yīng)，為工程實踐提供方法依據(jù)。對于超高層建筑而言，地震反應(yīng)會出現(xiàn)時滯問題。即:基底地震反應(yīng)已經(jīng)出現(xiàn)了，而頂部還沒有任何反應(yīng)。因為對于彈性體而言，受力到完成變形到傳遞力是需要時間的。如何評估這樣一個問題，中規(guī)中矩的就是用波動理論。問題是波動理論就像靜力學(xué)里面的彈塑性力學(xué)一樣，其研究的結(jié)果能夠有很高精度的數(shù)學(xué)解，但最終卻因為前期的諸多假定，讓這些結(jié)果與實際有差距，不能在工程中直接應(yīng)用，而不得不采用經(jīng)驗公式?！昂唵问钦娴挠∮洝保诟邔咏ㄖ母叨确较蚪频乜紤]行波效應(yīng)是比較簡單務(wù)實的考慮。因為科研的本質(zhì)也并不在于理論是否難懂，公式是否復(fù)雜，而在于是否能夠反映客觀事實。因為行波反應(yīng)譜在結(jié)構(gòu)高度方向的作用是正三角形，而風(fēng)荷載是倒三角形，所以這樣組合的結(jié)果將比傳統(tǒng)的做法更為合理，也更為經(jīng)濟些。當(dāng)然行波反應(yīng)譜還需要大量實驗和實踐的支持和完善。

[1] 樓夢麟，邸 龍.地震行波激勵下單層柱面網(wǎng)殼反應(yīng)分析[J].結(jié)構(gòu)工程師，2005，21(5):48-52.

[2] 樓夢麟，黃明開.上海浦東機場(二期)候機樓水平地震行波效應(yīng)時程分析[J].建筑結(jié)構(gòu)，2009，39(2):8-11.

[3] 黃明開，樓夢麟.浦東機場候機樓豎向地震行波效應(yīng)時程分析[J].地震工程與工程振動，2009，29(3):15-21.

[4] Mounir K，Berrrah，Eduardo Kausel.A model cordial combination rule for spatially varying seismic motions[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1993，22(9):791-800.

[5] Yamamura N，Tanaka H.Response analysis of flexible MDF systems for multiple support seismic excitation[J].Earthquake Engineering ＆ Structural Dynamics，1990(19):345-357.

[6] L.科恩.Time-Frequency Analysis[M].西安:西安交通大學(xué)出版社，1998.