齊成偉 （重慶科技學(xué)院石油與天然氣工程學(xué)院，重慶401331）

楊茂椿 （中國石油大學(xué) （華東）校長助理辦公室，山東 青島266555）

龍芝輝 （重慶科技學(xué)院石油與天然氣工程學(xué)院，重慶401331）

自從1947年7月第一條裂縫在Kansas州Hugoton氣田的Kelpper－1井成功壓裂以來，水力壓裂很快成為一門標(biāo)準(zhǔn)工藝。關(guān)于水力壓裂的各方面研究迅速興起，并逐漸成熟。然而，對于流體流入和流出裂縫的流動(dòng)動(dòng)態(tài)研究卻一直未見諸文獻(xiàn)。鑒于此種情形，筆者將遵循Lagrange描述流體運(yùn)動(dòng)的方法追蹤每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)，試圖獲得規(guī)律性結(jié)論，為石油鉆采理論提供有益指導(dǎo)。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

每一流體質(zhì)點(diǎn)從無限大水平地層中流入有限長直裂縫內(nèi)或從有限長直裂縫內(nèi)流入無限大水平地層中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律服從齊成偉公式[1]：

式中，t為流動(dòng)時(shí)間，s；L 為直裂縫長度，m；q為裂縫強(qiáng)度，m2/s；Φ 為勢（Φ ＝ Kp/μ），m2/s；Ψ 為流，m2/s。式（1）由不定積分得到，等號右端應(yīng)含有積分常數(shù)項(xiàng)。此處省略常數(shù)使得t由相對時(shí)刻變?yōu)榱黧w質(zhì)點(diǎn)沿流線Ψ從勢Φ流動(dòng)到勢0所經(jīng)歷的時(shí)間。當(dāng)q＜0時(shí)，有t＜0，即流體質(zhì)點(diǎn)沿流線Ψ從勢Φ流動(dòng)到勢0所經(jīng)歷的時(shí)間為負(fù)數(shù)。這是流體質(zhì)點(diǎn)不能逆勢而上的結(jié)果，其實(shí)質(zhì)含義為流體質(zhì)點(diǎn)沿流線Ψ從勢0流動(dòng)到勢Φ所經(jīng)歷的時(shí)間，因?yàn)榇藭r(shí)裂縫外勢Φ＜0。式（1）的導(dǎo)出過程異常復(fù)雜，但其形式卻非常簡潔。觀察式（1）容易發(fā)現(xiàn)：q全部出現(xiàn)在分母上，且出現(xiàn)在每一個(gè)分母上；π全部出現(xiàn)在分子上，且出現(xiàn)在每一個(gè)分子上；4πΦ/q與4πΨ/q整齊劃一。可見式（1）與直角坐標(biāo)（x，y）表象下的公式（見文獻(xiàn)[1]式（5，6））相比，不僅簡潔，而且對稱，方便記憶。

式（1）無法寫成Φ＝f（Ψ，t）的顯函數(shù)形式，因而要繪制流體質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)動(dòng)態(tài)圖像，必須通過數(shù)值計(jì)算。

已知復(fù)勢公式[2]：

解方程（2）得：

式（3）便是曲紋坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

式（1）和式（3）精確描繪了流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律。

2 等時(shí)推進(jìn)線

2.1 流體由地層匯入裂縫

以下繪制從同一條等勢線同時(shí)出發(fā)的各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在未來同一時(shí)刻到達(dá)的位置。

不妨選取在裂縫延長線上到裂縫距離為裂縫長度的等勢線。這條等勢線是一個(gè)橢圓[3]，長半軸長度為3L/2，短半軸長度為L，其勢為qarch3/（2π）。而對于流線，選取Ψk＝kq/32，k＝－16，－15，－14，…，15，即在區(qū)間[－q/2，q/2）內(nèi)，每隔q/32取一條流線。

由式（2）知，裂縫 －L/2≤x ≤L/2，y ＝0處勢Φc＝q[arch（2x/L）＋c.c.]/（4π）＝q｛ln[2x/L±c.c.]/（4π）＝q（lne±iα＋c.c.）/（4π）＝q（±iα＋c.c.）/（4π）＝q（±iαiα）/（4π）＝0。繼而由式（1）知，tc＝0。但此處，宜設(shè)流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)起始位置的時(shí)刻為0。

將曲紋坐標(biāo)Φ0，k＝qarch3/（2π）、Ψk＝－q/2，－15q/32，－7q/16，…，15q/32代入式（3）便得到32個(gè)起始位置的直角坐標(biāo)（見圖1）。

正實(shí)軸上的流體質(zhì)點(diǎn)從起始位置運(yùn)動(dòng)到裂縫所需時(shí)間為：

取q＝128m2/s、L＝56m，得到Δt≈129.357s。需要說明的是，q為單位地層厚度內(nèi)的裂縫產(chǎn)能，故其量綱為[L2/t]。

Δt/2≈64.6784s時(shí)刻，各流體質(zhì)點(diǎn)的位置如何來求？

流體質(zhì)點(diǎn)從起始坐標(biāo)（Φ0，k，Ψk）運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)（ΦΔt/2，k，Ψk）所需時(shí)間為：

于是，針對每一個(gè)Ψk，都能通過數(shù)值方法求得一個(gè)ΦΔt/2，k，繼而通過式（3）便可得到 Δt/2時(shí)刻32個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)所處位置的直角坐標(biāo)（見圖1）。

同理，得到Δt≈129.357s時(shí)刻各流體質(zhì)點(diǎn)的位置。3Δt/2≈194.035s時(shí)刻，只剩下Ψ＝－36，－32，－28，28，32，36m2/s的流線上6個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)未流入裂縫（見圖1）。

記C為任一非零實(shí)常數(shù)，若q→Cq，由式（2）知（Φ，Ψ）→ （CΦ，CΨ），繼 而 由 式 （3）知 （x，y）→（x，y）和由式（1）知t→t/C。也就是說，若q→Cq，則t→t/C。不論q取值如何變化，圖1中各流體質(zhì)點(diǎn)位置不變。

當(dāng)?shù)貙雍穸扰c生產(chǎn)段長度之比遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1時(shí)，水平井激發(fā)的滲流場可近似為裂縫激發(fā)的滲流場[1]。根據(jù)圖1可以做出定性的射孔策略——生產(chǎn)段中部射孔孔密大，越靠近端部射孔孔密越小。

圖1 流體由地層匯入裂縫時(shí)的等時(shí)推進(jìn)線

2.2 流體由裂縫注入地層

在巖屑回注地層[4]時(shí)，有必要知道巖屑配漿與地層流體界面在地層中的前進(jìn)動(dòng)態(tài)。在忽略流體滲濾系數(shù)的差異，以及認(rèn)為裂縫無限導(dǎo)流的情況下，采用前文方法可以繪出流體由裂縫注入地層時(shí)的前緣推進(jìn)線（見圖2）。注意：注入時(shí)裂縫強(qiáng)度為負(fù)值，取q＝－128m2/s；取Δt＝0－πL2[sh（2arch3）－2arch3]/（8q）；其他參數(shù)取值同前。圖2中僅繪制了流體質(zhì)點(diǎn)在0、Δt/2、Δt時(shí)刻的位置，3Δt/2、2Δt、5Δt/2、…時(shí)刻的位置可如前法求得并繪于圖2中。

同前，不論q取值如何變化，圖2中各流體質(zhì)點(diǎn)位置不變。與圖1比較，靠近裂縫的前緣線非常扁平。

圖2 流體由裂縫注入地層時(shí)的等時(shí)推進(jìn)線

3 進(jìn)一步研究

為了理論的完整性和方便后續(xù)研究，有必要給出滲流場中每一坐標(biāo)點(diǎn)的速率和每一流體質(zhì)點(diǎn)流入裂縫的行程。

3.1 速率場

在文獻(xiàn)[1]中，已經(jīng)得到：

將式（3）第2式代入式（6）并化簡，得到流經(jīng)坐標(biāo)（Φ，Ψ）的流體質(zhì)點(diǎn)速率：

特別地，若（Φ，Ψ）→ （0，0）/（0，±q/2），有v（Φ，Ψ）→ ∞，即裂縫兩端速率達(dá)到無窮大；當(dāng)（Φ，Ψ）＝（0，±q/4）時(shí)，v（Φ，Ψ）＝q/（πL）。這是可以直觀理解的，詳見文獻(xiàn)[3]的式（16）。

當(dāng)水平井激發(fā)的滲流場不能近似為裂縫激發(fā)的滲流場時(shí)，則必須從三維的角度研究流體流入和流出無限大板狀地層中水平井[5]及帶狀地層中橫向和縱向水平井[6]的流動(dòng)規(guī)律。

3.2 行程

在文獻(xiàn)[1]中，已經(jīng)得到：

式（9）中，E（k，φ）為Legendre第二類橢圓積分。特別注意，式（9）所示曲線在Ψ＝0，±q/2處間斷。對式（9）取Ψ →0，±q/2的極限，得s→Lsh2（πΦ/q）。

4 未來研究方向

4.1 滲濾系數(shù)差異

油、水滲濾系數(shù)的差異，可否忽略？這要視公式對滲濾系數(shù)的依賴強(qiáng)度而定。然而，包含滲濾系數(shù)的公式至今未能建立，所以無法做出判斷。不過，可以設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)裝置，拍攝流動(dòng)動(dòng)態(tài)，與圖1和圖2對比。如果照片與圖1和圖2的符合程度高，則可認(rèn)為油、水滲濾系數(shù)的差異可以忽略。

4.2 裂縫導(dǎo)流能力

本文假設(shè)裂縫無限導(dǎo)流，也會歪曲真實(shí)的流動(dòng)動(dòng)態(tài)?？紤]到有限導(dǎo)流，則只能采用全數(shù)值的方法，而不像本文半解析半數(shù)值地得到流動(dòng)圖像。同時(shí)，導(dǎo)流模型的合理程度會左右流動(dòng)圖像。關(guān)于裂縫導(dǎo)流能力的研究已有論述[7～10]，建議感興趣的讀者進(jìn)行更深層次的研究。

4.3 調(diào)整流動(dòng)動(dòng)態(tài)

前文中已經(jīng)得到認(rèn)識，應(yīng)進(jìn)行合理的流入控制才能使油水邊界上各流體質(zhì)點(diǎn)同時(shí)推進(jìn)到裂縫。因而如何設(shè)計(jì)水平井的射孔、篩孔或割縫密度，是值得深入研究的。

5 結(jié)論和建議

運(yùn)用裂縫激發(fā)的滲流場之運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，成功繪制了流動(dòng)動(dòng)態(tài)圖像，并在分析圖像后得到以下結(jié)論和建議：

1）流體由地層匯入裂縫時(shí)，裂縫延長線及其左右方向上流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)快于中垂線及其左右方向上的流體質(zhì)點(diǎn)。圖像顯示，隨著時(shí)間的推進(jìn)，推進(jìn)線逐漸收縮為張開的扇貝形，再收縮為閉合的扇貝型，最后消失于裂縫中點(diǎn)。

2）為了延緩水平井生產(chǎn)段端部先見水，延長無水采油期，應(yīng)在生產(chǎn)段中部加大射孔密度。

3）流體由裂縫注入地層時(shí)，裂縫延長線及其左右方向上流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與中垂線及其左右方向上流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)快慢差異很小。圖像顯示，隨著時(shí)間的推進(jìn)，推進(jìn)線由線段膨脹為紅細(xì)胞形，再膨脹為卵圓形，最后在無窮遠(yuǎn)處膨脹為圓形。

4）建議考慮油、水滲濾系數(shù)差異和裂縫導(dǎo)流能力的影響，深入研究流體流入和流出裂縫的流動(dòng)規(guī)律。

5）建議研究流體流入和流出無限大板狀地層中水平井和帶形地層中水平井的流動(dòng)規(guī)律。

由式（2）得

再運(yùn)用ch[ξ（z）＋iζ（z）]＝chξ（z）cosζ（z）＋ishξ（z）sinζ（z）便得到式（3）。

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