王正新，黨耀國，劉思峰

(1.浙江財(cái)經(jīng)學(xué)院經(jīng)濟(jì)與國際貿(mào)易學(xué)院，杭州 310018;2.南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，南京 210016)

1 前言

近年來，灰色系統(tǒng)預(yù)測方法[1，2]被廣泛應(yīng)用于非等間距序列的建模與預(yù)測，其應(yīng)用范圍主要集中在建筑物變形[3，4]、材料實(shí)驗(yàn)[5，6]、巖石力學(xué)[7]、資源勘探[8]等工程領(lǐng)域。由于灰建模不需要大量樣本數(shù)據(jù)就能建模預(yù)測，且建模過程簡單、易于操作，在小樣本序列的短期預(yù)測中具有獨(dú)特的優(yōu)勢，經(jīng)典灰色預(yù)測模型同樣具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值[9，10]。現(xiàn)有的非等間距灰色預(yù)測模型主要是經(jīng)典GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型的簡單推廣，模型改進(jìn)主要集中在背景值的優(yōu)化。鄧聚龍教授在分析非等間距序列的灰導(dǎo)數(shù)及其背景值的基礎(chǔ)上，提出了非等間距 GM(1，1)模型[11]。文獻(xiàn)[12] 利用文獻(xiàn)[13] 優(yōu)化的背景值構(gòu)建非等間距GM(1，1)模型，其建模精度高于直接建模法。文獻(xiàn)[14] 則將具有最優(yōu)背景值[15]的 GM(1，1)模型拓展為非等間距模型，獲得了較高的預(yù)測精度。文獻(xiàn)[4] 則通過優(yōu)化非等間距灰色Verhulst模型的背景值，改善傳統(tǒng)建模方法的模擬和預(yù)測精度。

GM(1，1)冪模型[1]是一種重要的非線性灰色模型，可以通過尋找與實(shí)際數(shù)據(jù)最匹配的冪指數(shù)，從而使得模型能夠較好地反映數(shù)據(jù)的非線性特征。但是自從鄧聚龍教授提出該模型以來，人們對它的關(guān)注甚少。筆者在文獻(xiàn)[16] 中首次提出了經(jīng)典GM(1，1)冪模型的求解方法，研究了模型解的性質(zhì)。目前，經(jīng)典GM(1，1)冪模型還難以被應(yīng)用到工程中大量存在的非等間距序列的建模中。文章將首先分析非等間距序列的生成方法，在此基礎(chǔ)上將經(jīng)典GM(1，1)冪模型[16]拓展為非等間距 GM(1，1)冪模型，并研究模型中參數(shù)的優(yōu)化問題。由于GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型均是GM(1，1)冪模型的特殊形式。因此，只要能夠通過恰當(dāng)?shù)氖侄握业椒堑乳g距GM(1，1)冪模型的最優(yōu)冪指數(shù)，其建模精度一定可以超越非等間距GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型。

2 非等間距GM(1，1)冪模型

2.1 非等間距序列生成

序列生成是灰色系統(tǒng)建模的前提和基礎(chǔ)，筆者首先給出非等間距序列的灰色累加生成、累減還原及均值生成的定義。

1)定義1:設(shè)序列

X(0)(tk)= (x(0)(t1)，x(0)(t2)，…，x(0)(tn))，

若間距 Δtk=tk－ tk－1≠ const，k=2，3，…，n，則稱序列X(0)(tk)為非等間距序列。

2)定義2:設(shè)序列X(0)(tk)為非等間距序列，若，則稱序列

X(1)(tk)= (x(1)(t1)，x(1)(t2)，…，x(1)(tn))為非等間距序列X(0)(tk)的一階累加生成(1－AGO，1－accumulated generating operation)序列。

3)定義3:設(shè)序列X(1)(tk)如定義2所述，若x(0)(tk)則稱序列

X(0)(tk)= (x(0)(t1)，x(0)(t2)，…，x(0)(tn))為非等間距序列X(1)(tk)的一階累減還原(1－IAGO，1－inverse AGO)序列。

4)定義4:設(shè)序列X(1)(tk)為一階累加生成序列，若 z(1)(tk)=0.5(x(1)(tk)+x(1)(tk－1))，k=2，3，…，n 。則稱序列

Z(1)(tk)= (z(1)(t2)，z(1)(t3)，…，z(1)(tn))為非等間距序列X(1)(tk)的緊鄰均值生成序列。

2.2 非等間距GM(1，1)冪模型的建立

根據(jù)鄧聚龍教授關(guān)于灰導(dǎo)數(shù)[1] 的定義，可以得到非等間距序列的灰導(dǎo)數(shù)為:

灰導(dǎo)數(shù)δ(tk)的白化背景值為X(1)(tk)的緊鄰均值生成序列Z(1)(tk)。

1)定義5:設(shè) X(0)(tk)為非等間距序列，x(0)(tk)為灰導(dǎo)數(shù)，Z(1)(tk)為灰導(dǎo)數(shù)背景值，則稱

為非等間距GM(1，1)冪模型的灰色微分方程(為了更好地區(qū)別模型中的發(fā)展系數(shù)a，文章用γ表示文獻(xiàn)[16] 中的α)。

當(dāng)γ=0時(shí)，式(2)為非等間距GM(1，1)模型;當(dāng)γ=2時(shí)，式(2)則為非等間距灰色Verhulst模型。由此可見，只要處理好冪指數(shù)γ的選取問題，非等間距GM(1，1)冪模型完全可以覆蓋非等間距GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型的應(yīng)用范圍，并超越它們的預(yù)測精度。

3)定義6:設(shè)X(0)為非等間距序列，X(1)(tk)為X(0)(tk)的1－AGO序列，=(a，b)T，則稱

為非等間距GM(1，1)冪模型的白化方程。

若以x(1)(tk)為初始值，非等間距GM(1，1)冪模型的時(shí)間響應(yīng)序列為:

還原值為:

2.3 模型參數(shù)的確定

在實(shí)際應(yīng)用中，可以利用非線性規(guī)劃的方法來求解冪指數(shù)γ。一旦γ確定，式(2)中的參數(shù)a和b也就確定了。首先將非等間距GM(1，1)冪模型中的參數(shù)a和b的代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行展開，經(jīng)整理得:

以平均相對誤差最小化為目標(biāo)，以參數(shù)之間的關(guān)系為約束條件，可建立以下優(yōu)化模型，以便求出最優(yōu)的冪指數(shù)γ的值。

為了去掉以上優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)中的絕對值，引入以下定理。

引理 1[17]:對于任意 n 個(gè)實(shí)數(shù) f1，f2，…，fn，有:

其中，An= (f1，f2，…，fn)，Bn為n×2n矩陣，Bn的每一列都是1或－1允許重復(fù)的排列。

因此，文章優(yōu)化模型中的目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為以下等價(jià)目標(biāo):

An，Bn的每一列都是1或－1允許重復(fù)的排列。

通過運(yùn)籌學(xué)軟件 LINGO(或 MATLAB、EXCEL等)可以很方便地求解以上模型，得到參數(shù)γ、a和b的優(yōu)化值。將以上方式獲得的參數(shù)值代入非等間距GM(1，1)冪模型求解過程，便可以獲得理論上誤差最小的模擬結(jié)果。

3 工程實(shí)例

P.G.福雷斯研究了溫度對鈦合金疲勞強(qiáng)度的影響，羅佑新從福雷斯所給實(shí)驗(yàn)曲線中采集到鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化的數(shù)據(jù)，如表1所示[5]。

表1 鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化關(guān)系Table 1 The relationship between the fatigue strength of titanium alloy and temperature

為了便于計(jì)算，對原始數(shù)據(jù)作如下線性變換T=50+50tk，k=2，3，…，9;x(0)=(σ－1－400)/50，變換后的數(shù)據(jù)見表2。

表2 鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化數(shù)據(jù)處理后的關(guān)系Table 2 The data processed relationship between the fatigue strength of titanium alloy and temperature

1)非等間距 GM(1，1)模型[5]。文獻(xiàn)[5] 建立的GM(1，1)模型時(shí)間響應(yīng)式為:

2)非等間距GM(1，1)冪模型。最優(yōu)值γ=0.003593 ，a=0.25091 ，b=4.291305 ，可得時(shí)間響應(yīng)式為:

還原值為:

兩種模型的模擬值與實(shí)際值的比較見表3。

由表3可看到，文獻(xiàn)[5] 的方法和文章提出的非等間距GM(1，1)冪模型都取得了較高的建模精度，但是非等間距GM(1，1)冪模型的誤差顯著小于文獻(xiàn)[5] 的方法。除第一個(gè)時(shí)點(diǎn)外，文章方法在每個(gè)時(shí)點(diǎn)的模擬誤差都小于文獻(xiàn)[5] 的方法，總體來看，文章方法的平均誤差僅為0.94%，顯著小于文獻(xiàn)[5] 的2.77%。筆者認(rèn)為，主要原因就在于非等間距GM(1，1)冪模型的形式較為靈活，可根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)調(diào)整模型的冪指數(shù)的大小。非等間距GM(1，1)模型直接取冪指數(shù)γ=0，而文章的優(yōu)化結(jié)果顯示γ=0.003593更適合本例中的原始數(shù)據(jù)。

表3 兩種模型的模擬值與實(shí)際值的比較Table 3 Comparison of the modeling results of the two grey models

4 結(jié)語

當(dāng)非等間距GM(1，1)冪模型中的冪指數(shù)取0和2時(shí)，分別等價(jià)于GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型。非等間距GM(1，1)冪模型中的冪指數(shù)γ取值的多樣性賦予了該模型形式的靈活性的特點(diǎn)，只要通過合適的方法獲得最佳冪指數(shù)γ的值，則一定可以獲得理想的建模精度，其應(yīng)用范圍已經(jīng)覆蓋了非等間距GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型。由此可見，非等間距GM(1，1)冪模型在工程中有著更為廣泛的應(yīng)用前景。

[1] 鄧聚龍.灰理論基礎(chǔ)[M] .武漢:華中科技大學(xué)出版社，2002.

[2] Liu Sifeng，Lin Y.Grey Information Theory and Practical Applications[M] .London:Springer－ Verlag，2006.

[3] 齊長鑫，汪樹玉.灰色系統(tǒng)模型在壩基位移預(yù)測中的應(yīng)用[J] .水利學(xué)報(bào)，1996(9):49－52.

[4] 偶昌寶，俞亞南，王戰(zhàn)國.不等時(shí)距灰色Verhulst模型及其在沉降預(yù)測中的應(yīng)用[J] .江南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，4(1):63－65.

[5] 羅佑新，周繼榮.非等間距GM(1，1)模型及其在疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理和疲勞試驗(yàn)在線監(jiān)測中的應(yīng)用[J] .機(jī)械強(qiáng)度，1996，18(3):60－63.

[6] 郭麗萍，孫 偉，鄭克仁，等.非等時(shí)距GM(1，1)直接模型及其在材料試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[J] .東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，34(6):833 －837.

[7] 陳有亮.非等距時(shí)序灰色預(yù)測方法及其在巖石力學(xué)與工程中的應(yīng)用[J] .系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2003，23(11):130－134.

[8] 田 敏.煤層氣資源量預(yù)測中的灰色系統(tǒng)理論研究[D] .北京:中國石油大學(xué)，2008.

[9] 陳子錦，王福亮，陸守香.灰色預(yù)測模型GM(1，1)的適用性分析及在火災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測中的應(yīng)用[J] .中國工程科學(xué)，2007，9(5):91－98.

[10] 毛占利，朱 毅，楊伯忠，等.火災(zāi)事故的灰色－馬爾可夫模型預(yù)測研究[J] .中國工程科學(xué)，2010，12(1):98－101.

[11] Deng J L.A novel GM(1，1)model for non － equigap series[J] .The Journal of Grey System，1997，9(2):111 －116.

[12] 戴文戰(zhàn)，李俊峰.非等間距GM(1，1)模型建模研究[J] .系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2005，25(9):89 －93.

[13] 羅 黨，劉思峰，黨耀國.灰色模型GM(1，1)優(yōu)化[J] .中國工程科學(xué)，2003，5(8):50 －53.

[14] 王葉梅，黨耀國，王正新.非等間距GM(1，1)模型背景值的優(yōu)化[J] .中國管理科學(xué)，2008，16(4):159－161.

[15] 王正新，黨耀國，劉思峰.基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的GM(1，1)模型[J] .系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2008，28(2):61 －67.

[16] 王正新，黨耀國，劉思峰，等.GM(1，1)冪模型求解方法及其解的性質(zhì)[J] .系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31(10):2380－2383.

[17] 王義鬧，吳利豐.基于平均相對誤差絕對值最小的GM(1，1)建模[J] .華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，37(10):29－31.