徐志成，錢(qián)金法（常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州 213164）

1 引言

無(wú)功優(yōu)化是電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行最重要的手段之一，常用的方法包括靈敏度法、非線性規(guī)劃法、內(nèi)點(diǎn)法等。這些方法通常需要使用梯度矢量信息，這使得在求解具體問(wèn)題時(shí)不得不做一些近似處理，因?yàn)樵陔娏ο到y(tǒng)無(wú)功優(yōu)化中存在較多離散變量；同時(shí)，無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題又是一個(gè)多約束優(yōu)化問(wèn)題，將這些約束條件同時(shí)考慮時(shí)，就不能保證其性能指標(biāo)是一個(gè)凸函數(shù)，而有可能是一個(gè)多峰值的函數(shù)，以上幾種方法都是基于單點(diǎn)的搜索方法，很容易由于初始點(diǎn)的選取不當(dāng)而陷入局部極值區(qū)。

近年來(lái)，遺傳算法、免疫算法等現(xiàn)代啟發(fā)式尋優(yōu)方法在無(wú)功優(yōu)化方面做了大量的研究[1-4]，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法的不足。基于遺傳算法的無(wú)功優(yōu)化方法有許多優(yōu)良特性，能找到近似的全局最優(yōu)解。但是該算法缺點(diǎn)是計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)[3-5]，很難滿足實(shí)際運(yùn)行的需要，其主要原因是遺傳算法局部搜索能力差，容易出現(xiàn)早熟而收斂到局部最優(yōu)解[5-7]。采用自適應(yīng)等改進(jìn)的遺傳算法可以改善算法性能[5-6]，但并沒(méi)有完全解決這些問(wèn)題，目前的遺傳算法仍然存在計(jì)算速度慢的問(wèn)題。加快算法的收斂速度，改善算法解的質(zhì)量是目前研究的重點(diǎn)。

學(xué)者Stron和Price針對(duì)實(shí)參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題提出了微分進(jìn)化(differential evolution)算法[7-10]，其主要特點(diǎn)是收斂速度快、可調(diào)參數(shù)少、魯棒性好、算法簡(jiǎn)單，近些年逐漸被人們所接受，成為研究的熱點(diǎn)之一。本文在對(duì)基本DE算法進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上，利用其強(qiáng)大的尋優(yōu)能力來(lái)進(jìn)行電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化研究，并針對(duì)實(shí)際對(duì)象進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。

2 DE算法

2.1 初始化

同GA、PSO等進(jìn)化算法一樣，在尋優(yōu)時(shí)需要對(duì)種群數(shù)量的大小及初始種群進(jìn)行生成。通常，初始種群的生成方法是從給定邊界約束內(nèi)的值中隨機(jī)選擇，應(yīng)該覆蓋整個(gè)參數(shù)空間。而種群數(shù)量Np一般取10倍于所求解問(wèn)題規(guī)模的維數(shù)。設(shè)第i個(gè)個(gè)體Xi=(xi，1,xi，2,…,xi，n)，Xi∈Rn，n為問(wèn)題解空間的維數(shù)，初始種群s= {X1,X2,…,XNp}，為個(gè)體的集合。一般個(gè)體向量Xi各個(gè)分量的產(chǎn)生方式為

式中xi,j、xi,jmax、xi,jmin分別為個(gè)體向量Xi的第j個(gè)分量及第j個(gè)分量的上下限。

2.2 變異

對(duì)于第k+1代每個(gè)目標(biāo)向量，基本DE方法變異向量產(chǎn)生方式為：

2.3 交叉

式中：qi是從[1，n]中隨機(jī)選取的一個(gè)整數(shù)，用以保證本次操作必須有一位經(jīng)過(guò)交叉；ηj∈[0,1]是針對(duì)第j維分量隨機(jī)選取的控制參數(shù)；交叉因子CR∈[0,1]為算法參數(shù)，需要事先確定，其控制著種群的多樣性，幫助算法從局部最優(yōu)解中脫離出來(lái)。

2.4 選擇

在標(biāo)準(zhǔn)DE方法中，使用“貪婪”選擇模式：當(dāng)且僅當(dāng)新個(gè)體的評(píng)價(jià)函數(shù)值更好時(shí)，才被保留到下一代群體中，否則，父?jìng)€(gè)體仍然保留在群體中，再一次作為下一代的父向量。

2.5 DE的控制參數(shù)

控制參數(shù)的選擇對(duì)DE算法的搜索性能有較大的影響，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，種群數(shù)量Np可選擇在5～10倍的問(wèn)題維數(shù)之間，但Np必須大于4以確保DE具有足夠的不同變異向量。比例因數(shù)F和交叉因數(shù)CR在進(jìn)化過(guò)程中的取值區(qū)間一般分別是[0.4，0.9]和[0.3，0.8]，它們的優(yōu)化值往往依賴于目標(biāo)函數(shù)的特性。

2.6 DE算法的改進(jìn)

在DE算法中，控制參數(shù)的合理設(shè)置是一個(gè)十分困難的問(wèn)題，許多學(xué)者對(duì)此問(wèn)題作了專門(mén)的研究，使得DE參數(shù)的控制策略有了很大的提高，但一般采用進(jìn)化代數(shù)作為參數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整依據(jù)[8]。一般來(lái)說(shuō)，F(xiàn)和CR不能過(guò)小，以避免算法過(guò)早收斂，較大的F和CR增加了算法從局部最優(yōu)逃脫的可能性。然而，若F>1，則算法的收斂速度會(huì)明顯降低，這是因?yàn)楫?dāng)擾動(dòng)大于群體內(nèi)兩個(gè)成員間的距離時(shí)，收斂會(huì)非常困難。由式(2)可見(jiàn)，在搜索的初始階段，由于個(gè)體隨機(jī)分布在解空間中，因此向量的差值比較大，這時(shí)要求算法的控制參數(shù)F相對(duì)小一些；隨著種群的不斷進(jìn)化，各個(gè)個(gè)體逐漸靠近最優(yōu)個(gè)體，算法中的變異操作產(chǎn)生的差向量會(huì)逐漸變小，在一定程度上減弱了算法搜索空間的多樣性，因此要求此時(shí)的控制參數(shù)F相對(duì)大一些，使得變異操作后的向量能夠開(kāi)拓新的搜索空間，從而提高算法的全局尋優(yōu)能力。同樣，對(duì)交叉因子來(lái)說(shuō)，過(guò)小的CR使得算法的種群在交叉操作后產(chǎn)生較少的新個(gè)體，這樣就減弱了算法開(kāi)拓新空間的能力；而過(guò)大的CR使得種群不能較好地保持穩(wěn)定，降低了算法的穩(wěn)定性。

由式(2)可見(jiàn)，要對(duì)算法參數(shù)較好的進(jìn)行控制，就要?jiǎng)討B(tài)掌握種群的個(gè)體分布情況，根據(jù)個(gè)體的分布，確定合適的控制參數(shù)。在進(jìn)行尋優(yōu)的過(guò)程中，群體適應(yīng)度方差是一個(gè)能夠較好體現(xiàn)當(dāng)前個(gè)體與最優(yōu)點(diǎn)的分布情況的量化指標(biāo)，計(jì)算方便，適合用來(lái)對(duì)控制參量進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，適應(yīng)度方差計(jì)算如下：

式中，Np為種群數(shù)量；fi為第i個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度；fav為種群的平均適應(yīng)度；fbest為群體最佳適應(yīng)度。由式(4)可見(jiàn)，適應(yīng)度方差的取值范圍在[0，Np]，群體適應(yīng)度方差 σ2越小，群體聚集程度越高；反之，則群體個(gè)體分布越分散?？紤]種群分布情況后，DE算法的第k代控制參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略為：

式中，F(xiàn)max、Fmin為差分因子F的上下限；CRmax、CRmin為交叉因子CR的上下限。

3 基于改進(jìn)DE算法的電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化

3.1 問(wèn)題描述

電力系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)無(wú)功功率的優(yōu)化調(diào)度與控制，可以改善系統(tǒng)的電壓質(zhì)量，減少電能傳輸損耗。無(wú)功優(yōu)化的目的是通過(guò)調(diào)整無(wú)功潮流的分布降低有功網(wǎng)損，并保持最好的電壓水平，因此，目標(biāo)通常是有功損耗最小，即

PL為系統(tǒng)的有功損耗，其表達(dá)式為：

式中，Ui、Uj為節(jié)點(diǎn)i、j電壓；θij為節(jié)點(diǎn)i電壓和節(jié)點(diǎn)j電壓的相位角之差；Gij、Bij為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣中元數(shù)的實(shí)部和虛部。

等式約束條件為：

式中，Pi、Qi為節(jié)點(diǎn)i注入的有功和無(wú)功功率；

不等式約束條件為：

式中，Uimax和Uimin為PQ節(jié)點(diǎn)i的電壓幅值上下限；Qimax和Qimin為 發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)i無(wú)功出力上下限；QCi、QCimax、QCimin為無(wú)功補(bǔ)償裝置節(jié)點(diǎn)i投切量及其上下限；KTi、KTimax、KTimin為有載可調(diào)變壓器i變比及其上下限；UGi、UGimax、UGimin為PV節(jié)點(diǎn)發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓幅值及其上下限。

為了方便與文獻(xiàn)[11]比較，本文?。?1）式作為無(wú)功優(yōu)化目標(biāo)函數(shù):

λuPu為PQ節(jié)點(diǎn)電壓越限的懲罰項(xiàng)，λu為懲罰因子，Pu的表達(dá)式為：

λQPQ為PQ節(jié)點(diǎn)無(wú)功越限的懲罰項(xiàng)，λQ為懲罰因子，PQ的表達(dá)式為：

采用本文算法進(jìn)行無(wú)功優(yōu)化時(shí)，位置x(k)的各維變量由無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題中的控制變量UG、KT、QC組成，即

發(fā)電機(jī)電壓UG的取值范圍為[0.9 1.1]，且是連續(xù)的；變壓器檔位KT的取值范圍為[0.9 1.1]，間距為0.02；電容器無(wú)功QC的取值范圍為[-0.1 0.1]，間距為0.02。

3.2 實(shí)例仿真

以IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，用MATLAB7.0編程，對(duì)上述模型和方法進(jìn)行驗(yàn)證。系統(tǒng)具有30個(gè)節(jié)點(diǎn)、6臺(tái)發(fā)電機(jī)、4臺(tái)可調(diào)變壓器。節(jié)點(diǎn)電壓變化范圍均為0.94～1.06p.u.。有載調(diào)壓變壓器的檔位范圍均為1±8×0.0125。系統(tǒng)在節(jié)點(diǎn)10、24處分別配置了可投切電容器組，節(jié)點(diǎn)10處并聯(lián)電容器組電納可調(diào)上限為0.50p.u.，分段步長(zhǎng)0.10p.u.，節(jié)點(diǎn)24處并聯(lián)電容器組電納可調(diào)上限為0.10p.u.，分段步長(zhǎng)0.02 p.u.。

為了進(jìn)一步說(shuō)明本文方法的有效性，本文同時(shí)采用PSO算法，并與文獻(xiàn)[11]中二次變異遺傳算法（SMGA）的結(jié)果相比較。

方便于比較三種算法的性能，與文獻(xiàn)[11]相同，三種算法的收斂條件為：連續(xù)8代目標(biāo)函數(shù)值沒(méi)有減小并且計(jì)算代數(shù)大于設(shè)置的最小代數(shù)。在滿足不等式約束的條件下，計(jì)算100次進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。計(jì)算代數(shù)統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1；100次計(jì)算中最好、最差和平均網(wǎng)損統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表2；優(yōu)化的網(wǎng)損分布區(qū)域統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表3。

表1 計(jì)算代數(shù)統(tǒng)計(jì)

方法 最好 最差 平均 偏差SMGAA 0.04641 0.06149 0.04685 0.00024 PSO 0.04919 0.06456 0.06201 0.00256 DE 0.04450 0.04660 0.04555 0.00012

表3 網(wǎng)損分布區(qū)域統(tǒng)計(jì)

從表1可以看出，文獻(xiàn)[11]中提出的二次變異遺傳算法(SMGA)用于電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化，其計(jì)算最小代數(shù)為30，最大代數(shù)126，平均代數(shù)63；運(yùn)用PSO算法，其計(jì)算最小代數(shù)為39，最大代數(shù)139，平均代數(shù)89；而運(yùn)用本文提出的方法，其計(jì)算最小代數(shù)為13，最大代數(shù)62，平均代數(shù)36。可以看出，本文方法的收斂速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于上述兩者方法。

從表2可以看出，SMGA算法的優(yōu)化結(jié)果分布在0.04641～0.0490p.u.區(qū)域，最好和最差網(wǎng)損相差2.25%；本文方法的結(jié)果分布在0.0455～0.0460p.u.區(qū)域，最好網(wǎng)損和最差網(wǎng)損相差2.55%?？梢钥闯?，本文方法得到的平均網(wǎng)損和標(biāo)準(zhǔn)偏差均比SMGA算法、PSO算法小，本文方法的尋優(yōu)性能更好，且優(yōu)化結(jié)果更集中，可見(jiàn)運(yùn)用本文方法能搜索到更好的優(yōu)化解，其解的質(zhì)量更高，本文方法的標(biāo)準(zhǔn)偏差低于SMGA算法和PSO算法，說(shuō)明本文方法更具有穩(wěn)定性。

從表3數(shù)據(jù)可以看出，SMGA算法的優(yōu)化結(jié)果分布在0.0460～0.0490p.u.之間；本文方法的優(yōu)化結(jié)果分布在0.0455～0.0475p.u.之間，這說(shuō)明本文方法優(yōu)化結(jié)果比SMGA算法更加集中在小的區(qū)域并且集中在網(wǎng)損小的一端， 同樣說(shuō)明本文方法較SMGA算法的尋優(yōu)性能及穩(wěn)定性更好。

4 結(jié)語(yǔ)

無(wú)功優(yōu)化在電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中占有重要的地位，對(duì)其進(jìn)行研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。DE算法是一種基于群體優(yōu)化的全局搜索方法，可有效解決無(wú)功優(yōu)化這類非線性混和整數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)對(duì)IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的仿真分析表明，DE比GA以及PSO算法的搜索性能更好，能在較短的搜索時(shí)間內(nèi)找到更接近于全局最優(yōu)解。

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★ [基金項(xiàng)目]：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60421002）