趙燦冬

（靖江高級(jí)中學(xué) 江蘇 泰州 214500）

【例1】如圖1所示，質(zhì)量為M的光滑半圓形凹槽放在光滑水平面上，凹槽的半徑為R，質(zhì)量為m的小球從凹槽的左側(cè)最高點(diǎn)由靜止釋放，求當(dāng)小球滑至凹槽的最低點(diǎn)時(shí)，小球?qū)Π疾鄣膲毫?

圖1

解析：根據(jù)動(dòng)量守恒定律的相關(guān)知識(shí)可知，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡不是圓，但小球相對(duì)于半圓形凹槽的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)圓.所以本題可以以半圓形凹槽為參考系來(lái)解決問(wèn)題.

首先計(jì)算小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球和半圓形凹槽的速度.

當(dāng)小球滾到凹槽的最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒

根據(jù)機(jī)械能守恒

當(dāng)小球滾到凹槽的最低時(shí)

式中v相是小球相對(duì)于半圓凹槽的相對(duì)速度.答案是肯定的，但疑問(wèn)是有的.

為什么可以用相對(duì)速度來(lái)計(jì)算？

本題在求解的過(guò)程中，有一個(gè)問(wèn)題沒(méi)有說(shuō)清：相對(duì)于半圓形凹槽做圓周運(yùn)動(dòng)就一定可以這樣列式求解嗎？回答是否定的，因?yàn)樵诒绢}中還有一個(gè)隱藏的條件：當(dāng)小球在最低點(diǎn)時(shí)，圓弧槽的加速度為零.

分析半圓形凹槽的受力可知，在水平方向半圓形凹槽不受力的作用，所以其加速度為零.而小球相對(duì)于半圓形凹槽做圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，相對(duì)于半圓形凹槽，其相對(duì)加速度

所以，球?qū)Φ丶铀俣?/p>

因此本題可以用相對(duì)速度計(jì)算向心力來(lái)求解的關(guān)鍵是半圓形凹槽的加速度為零，而不是選擇了半圓形凹槽為參考系.實(shí)際上，由于在整個(gè)過(guò)程中，半圓形凹槽做變速運(yùn)動(dòng)，不是真正良好的慣性系.本題不需要選擇其為參考系，只要根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性和加速度的牽連關(guān)系求出小球的對(duì)地加速度即可求解.

有些情況下，物體可以相對(duì)于一個(gè)有加速度的另一物體做圓周運(yùn)動(dòng)，這時(shí)也可以根據(jù)牽連關(guān)系求解.

圖2

【例2】如圖2所示，用長(zhǎng)為l的輕繩a和b豎直懸掛質(zhì)量均為m的小球A和B，某時(shí)刻，突然給球A一個(gè)水平向左的沖量I后，求此時(shí)繩a和繩b的張力.

錯(cuò)解：因?yàn)锽球相對(duì)于A球做圓周運(yùn)動(dòng)，所以B球的加速度為

分析B球的受力，根據(jù)牛頓第二定律

解出

分析球B的受力，根據(jù)牛頓第二定律

解出

再對(duì)球A受力分析，根據(jù)牛頓第二定律

解出

2005年江蘇高考的最后一道題在參考答案中就注意到了這一問(wèn)題，并給出了說(shuō)明.

【例3】如圖3所示，三個(gè)質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長(zhǎng)均為L(zhǎng)的輕繩連成一條直線(xiàn)而靜止在光滑水平面上.現(xiàn)給中間的小球B一個(gè)初速度v0，方向與繩垂直.小球相互碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失，輕繩不可伸長(zhǎng).求當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線(xiàn)上時(shí)，繩中的拉力F的大小.

圖3

解析：當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線(xiàn)上時(shí)，則由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，得

以后三球還會(huì)處于同一直線(xiàn)，三球的速度回復(fù)到初始狀態(tài)

小球A和C均以半徑L繞小球B做圓周運(yùn)動(dòng)，在兩種情況下，當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線(xiàn)上時(shí)，以小球B為參考系（小球B的加速度為零，為慣性參考系），小球A（C）相對(duì)于小球B的速度均為

所以，此時(shí)繩中拉力大小為

本題特別強(qiáng)調(diào)了小球B的加速度為零這一特殊條件.

用這一方法可以求例1中小球在任意位置的速度嗎？回答是肯定的，只是比較繁.

圖4

例1解法2：設(shè)小球在某時(shí)刻和球心的連線(xiàn)與水平方向夾角為θ，如圖4（a）所示.

此時(shí)，半圓形凹槽的速度大小為vM，小球的速度大小為vm，小球速度的水平分量大小為vmx，豎直分量大小為vmy，如圖4（b）.

根據(jù)小球相對(duì)于半圓形凹槽的速度沿圓弧的切線(xiàn)方向，可得

根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒

根據(jù)機(jī)械能守恒

可得

由圖4（b）可知

解得

設(shè)半圓形凹槽對(duì)小球的作用力為N，則半圓形凹槽的加速度為

沿半徑方向的分量為

所以小球?qū)Φ匮匕霃椒较虻募铀俣葹?/p>

分析小球的受力，在沿半徑方向，根據(jù)牛頓第二定律得

解得

用相對(duì)速度解決動(dòng)圓心的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題拓寬了解題的思路，但是要注意分清圓心的加速度，這一點(diǎn)是關(guān)鍵.