王偉民（太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校 安徽 阜陽 236652）

拋物線是中學(xué)數(shù)學(xué)和物理學(xué)科的一種重要圖形.對二次項系數(shù)絕對值相等的這種特殊類型拋物線形狀的描述，不同版本的教科書和相關(guān)的教輔資料，幾乎無一例外地給出了“形狀相同”的說法.筆者以為，這種說法是欠妥的.現(xiàn)以義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書九年級《數(shù)學(xué)》下冊［1］及與之配套的《教師教學(xué)用書》［2］為例進(jìn)行說明.

教科書第6～9頁給出了例2、例3兩道例題，分別要求在同一直角坐標(biāo)系中畫出幾個二次項系數(shù)相等的二次函數(shù)的圖像，并在兩例題的解題之后，給出了類似的兩個問題討論，即

有什么關(guān)系？［1］

在例2、例3解題之后，文獻(xiàn)［1］又歸納出“一般地，拋物線y＝a（x－h(huán)）2＋k與y＝ax2形狀相同，位置不同”［1］的結(jié)論.

從上面列舉的這些例子可以看出，編者似乎欲向讀者傳遞這樣一種信息：二次項系數(shù)的絕對值相等，是幾個二次函數(shù)的圖像——拋物線“形狀相同”的必要條件.換言之，若二次項系數(shù)的絕對值不等，則其圖像的形狀便不相同.實際上，這種信息已經(jīng)“發(fā)揮”了作用，不但多種教輔資料中有這樣的說法，而且，絕大多數(shù)教師在課堂教學(xué)中，也有這樣的講法.應(yīng)該說，這是錯誤的.

眾所周知，“形狀相同”一般是對相似形而言，幾個相似的圖形，盡管大小不一定相同，卻也可以說“形狀相同”.文獻(xiàn)［1］在第27章“相似”的引言中說道“在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常見到形狀相同的圖形，如國旗上大小不同的五角星，還有不同尺寸同底板的相片等等”（第33頁），并在第一節(jié)給出了相似的定義——“形狀相同的圖形叫做相似圖形”（第34頁），這雖說只是“相似圖形”的描述性定義，卻也道出了“形狀相同”的實質(zhì)，所謂的“形狀相同”，指的就是“圖形相似”.

那么，不同的拋物線是否也可看作相似圖形，從而也說它們的“形狀相同”呢？

對于一般形式的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，式中a的正負(fù)決定拋物線的開口方向，而a絕對值的大小則決定拋物線的開口大小，a的絕對值越大，拋物線的開口越小.幾個不同的二次函數(shù)，只要它們的二次項系數(shù)的絕對值相等，其圖形的形狀和大小也完全相同，其中的一個圖形可以通過平移或翻轉(zhuǎn)而與另一個圖形完全重合，這樣的兩條拋物線應(yīng)該說是全等形.

可以證明，不論二次項系數(shù)的絕對值是否相等，二次函數(shù)的圖像都相似.因而也可以說，所有的拋物線形狀都是相同的.由于拋物線的開口大小僅與二次項系數(shù)的絕對值大小有關(guān)，所以，為了討論問題的方便，只需對二次項系數(shù)為正數(shù)，且一次項系數(shù)及常數(shù)項均為零這種最簡的情形進(jìn)行證明即可.

需要說明的是，在很多情況下，在同一坐標(biāo)系中觀察不同的二次函數(shù)圖像時，之所以會產(chǎn)生“看”起來“形狀不同”的感覺，主要是因為觀察的范圍選擇不合適.比如圖1中的兩條拋物線y＝x2與y＝2x2，若選擇同樣的高度觀察，怎么“看”它們也不相似，但若將觀察拋物線y＝2x2的范圍適當(dāng)調(diào)整——將觀察y＝2x2的高度降為原來的，用y＝2x2上的弧線與y＝x2上的弧線相比較，便會發(fā)現(xiàn)，兩者形狀完全相同.這就如同由同一人的同一張底板沖出的大小不等的兩張照片，本來是相似的，但是，如果拿大照片上人的一只眼睛去和小照片上的人臉相比較，二者肯定是不相似的.

圖1

這樣看來，對于所有的二次函數(shù)，不論它們二次項系數(shù)的絕對值是否相等，其圖像都是相似的.因此說，所有的拋物線形狀都應(yīng)該是相同的.

既然“形狀相同”是所有拋物線的“共性”，而不為某些類型的拋物線所“獨有”，那么，對于二次項系數(shù)絕對值相等的拋物線，再說其“形狀相同”，不僅顯得多余，而且還會給讀者一種“若二次項系數(shù)的絕對值不等，則其圖像的形狀便不相同”的錯誤導(dǎo)向.打個不恰當(dāng)?shù)谋确?，“有兩只眼睛”是所有人的共性，但是，若說“中國人長著兩只眼睛”——盡管該語句從邏輯上看沒有任何問題，但這樣的說法勢必給人一種“外國人長的不是兩只眼睛”的錯覺.所以，筆者以為，教科書及相關(guān)資料中，對二次項系數(shù)絕對值相等的、這種“特殊”拋物線形狀的描述，應(yīng)改為“它們不但形狀相同，大小也相等”才算妥當(dāng).

1 課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（九年級下冊）.北京：人民教育出版社，2009.6～9，34

2 課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（九年級下冊）·教師教學(xué)用書.北京：人民教育出版社，2009.11～12