譚曉慧，李 丹，沈夢芬，侯曉亮，胡 娜

（合肥工業(yè)大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，合肥230009）

土水特征曲線（Soil－water characteristic curve，簡稱SWCC）表征非飽和土的基質(zhì)吸力與含水率（如重力含水率、體積含水率）或飽和度之間關(guān)系，它包含了土體在任一吸力時孔隙中含有的水量及孔徑分布信息，由土水特征曲線可以得到非飽和土的抗剪強度、滲透系數(shù)、體積變化等性質(zhì)［1－5］。由于土水特征曲線的重要性，很多學(xué)者對之進行了研究，并提出了大量有關(guān)土水特征曲線的數(shù)學(xué)模型［6－7］。文［1，6－7］通過研究，指出 Frenlund－Xing模型（簡稱 FX模型）［10］及van Genutchen模型（簡稱 VG 模型）［11］效果較好，它們適用的吸力范圍廣，擬合參數(shù)的物理意義明確。采用數(shù)學(xué)模型來表示SWCC的優(yōu)點在于：模型的參數(shù)可以量化描述曲線的形狀，可用于土體的分類，可方便地用于估計其它土性參數(shù)。在涉及到非飽和土的巖土工程數(shù)值分析中，非飽和土的性質(zhì)非常重要，數(shù)值分析的結(jié)果是否正確在很大程度上依賴于SWCC參數(shù)等輸入數(shù)據(jù)的可靠性。在進行可靠度分析時，還需要提供參數(shù)的均值、均方差、分布類型等信息。因此，對SWCC模型參數(shù)進行概率統(tǒng)計分析是十分重要的。

Sillers等［7］通過對二百多組數(shù)據(jù)的數(shù)理統(tǒng)計，對8種土的多種SWCC模型及其修正型式求得了模型參數(shù)的均值、均方差及中值，并指出在大多數(shù)情況下，這些擬合參數(shù)的變異性都較大。Puppala等［8］采用FX模型研究了2種膨脹土的SWCC特征，并采用線性回歸分析的方法求解了模型參數(shù)與基本土性參數(shù)間的關(guān)系。Phoon等［9］以VG模型為基礎(chǔ)，指出可采用對數(shù)正態(tài)隨機矢量來表示SWCC的2個擬合參數(shù)a及n。

由于FX模型及VG模型的擬合效果較好［1，6－7］，筆者以這2類模型及其修正型式為基礎(chǔ)，研究SWCC參數(shù)的擬合方法，分析不同土類的SWCC參數(shù)的概率分布特征，并進行參數(shù)的敏感性分析。

1 土水特征曲線模型及擬合方法

1.1 SWCC模型

SWCC可以通過某種數(shù)學(xué)模型來表示，即：采用某種特定型式的函數(shù)來表示試驗所得的基質(zhì)吸力與含水率的關(guān)系。筆者以FX模型和VG模型為基礎(chǔ)進行研究。根據(jù)具體表達式的不同，這2類模型又分別分為3種型式，具體如下。

1.1.1 FX模型 文［10］通過對土體孔徑分布曲線的研究，用統(tǒng)計分析理論推導(dǎo)出非飽和土體積含水率與基質(zhì)吸力之間的對數(shù)函數(shù)型式的土水特征曲線，其歸一化表達式如下（FX1模型）：

式中：ψ為基質(zhì)吸力；θ為與基質(zhì)吸力ψ相對應(yīng)的體積含水率，其取值范圍為［θr，θs］，θr和θs分別為殘余含水率和飽和含水率；θn為歸一化的體積含水率（有效飽和度）；a、n、m為擬合參數(shù)（a是與進氣值有關(guān)的吸力值，對應(yīng)于曲線的拐點；n是與孔徑分布有關(guān)的參數(shù)，對應(yīng)于曲線的斜率；m是與曲線拐點處的不對稱性有關(guān)的參數(shù)）；e為自然對數(shù)的底。

若在曲線擬合時視殘余含水率為零，則上式變?yōu)椋‵X2模型）：

當(dāng)土體的體積含水率小于殘余含水率時，上述模型常高估了含水率的數(shù)值。此時，可采用下述方法進行修正（FX3模型）：

式中：C（ψ）為修正函數(shù)，ψr為與殘余含水率θr對應(yīng)的基質(zhì)吸力，一般取ψr＝3 000kPa［7］。

1.1.2 VG模型 文［11］通過對土水特征曲線的研究，得出非飽和土體積含水率與基質(zhì)吸力之間的冪函數(shù)形式的土水特征曲線，其歸一化表達式如下（VG1模型）：

與Fredlund－Xing模型類似，van Genutchen模型亦可寫成如下2種型式［7］：

1.2 SWCC擬合方法

對于任一組基質(zhì)吸力－體積含水率試驗數(shù)據(jù)，為獲得上述各種SWCC模型的擬合參數(shù)，筆者分別采用科學(xué)編程語言MATLAB中的非線性回歸擬合函數(shù)Nlinfit、最小二乘法擬合函數(shù)Lsqcurvefit及最優(yōu)化求最小值函數(shù)Fminsearch來進行SWCC參數(shù)的求解。

方法1：Nlinfit是Matlab統(tǒng)計工具箱中的非線性回歸函數(shù)，它采用Levenberg－Marquardt算法來進行非線性回歸。它需要的輸入值是：待擬合的數(shù)據(jù)、非線性曲線函數(shù)及擬合參數(shù)的初值。

方法2：Lsqcurvefit是Matlab優(yōu)化工具箱中的函數(shù)，它采用最小二乘法來求解非線性函數(shù)的參數(shù)。它需要的輸入值除了待擬合的數(shù)據(jù)、非線性曲線函數(shù)及擬合參數(shù)的初值以外，還可以限定所需求解參數(shù)的范圍。

方法3：Fminsearch屬于 Matlab的基本函數(shù)，它采用不需求導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化方法來求解無約束多變量函數(shù)的最小值。它需要的輸入變量是目標(biāo)函數(shù)及參數(shù)的初值。筆者定義目標(biāo)函數(shù)值為體積含水率的擬合值與實測值之差的平方和。因此，用這種方法求解參數(shù)的實質(zhì)也是最小二乘法。

2 土水特征曲線的擬合

為了研究各種不同土的SWCC形狀及特性，分析SWCC模型、擬合方法等因素對參數(shù)擬合結(jié)果的影響，對大量的基質(zhì)吸力－體積含水率數(shù)據(jù)進行了參數(shù)擬合及統(tǒng)計分析。

2.1 數(shù)據(jù)來源

2.1.1 UNSODA數(shù)據(jù)庫中的黏土和砂土

UNSODA是由美國農(nóng)業(yè)部鹽度實驗室開發(fā)的有關(guān)非飽和土性質(zhì)的數(shù)據(jù)庫，全稱為非飽和土水力數(shù)據(jù)庫（UNsaturated SOil hydraulic DAtabase）［9］。該數(shù)據(jù)庫包含世界各地約790個土樣的試驗數(shù)據(jù)，并含有土的分類、試驗方法、粒徑分布、密度、飽和體積含水率、土樣所處環(huán)境的溫度及降雨量等內(nèi)容。由于篇幅所限，分別選取該數(shù)據(jù)庫中實驗室試驗條件下的黏土（clay）與砂土（sand）為研究對象進行曲線擬合。其中，黏土與砂土所包含的基質(zhì)吸力－體積含水率的數(shù)據(jù)分別為23組及117組。

2.1.2 廣西膨脹土及合肥膨脹土

UNSODA數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)主要是國外土樣的試驗結(jié)果。為了研究中國土體的SWCC曲線特征，經(jīng)過查閱文獻，得到了廣西膨脹土的9組基質(zhì)吸力－體積含水率數(shù)據(jù)［12－13］。

上述UNSODA中的數(shù)據(jù)及廣西膨脹土的數(shù)據(jù)都是由文獻中的資料收集而得的，其各組土樣的具體取樣地點、試驗方法及試驗條件都不相同。為了研究同一種土、同一種試驗方法下SWCC的統(tǒng)計規(guī)律，以合肥市某工地的膨脹土為例，采用滲析法試驗進行了6組重復(fù)試驗，得到了6組相同試驗條件下的基質(zhì)吸力－體積含水率數(shù)據(jù)。

2.2 SWCC參數(shù)擬合結(jié)果

2.2.1 影響因素分析

1）擬合方法對SWCC參數(shù)的影響

分別采用3種擬合方法及FX1、FX2、FX3、VG1、VG2、VG3這6種模型對 UNSODA黏土、UNSODA砂土、廣西膨脹土、合肥膨脹土進行SWCC參數(shù)擬合。大量數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果表明：對于同一種SWCC模型，采用不同的擬合方法均能得到很好的擬合效果，但它們所得到的擬合參數(shù)不完全相同，某些參數(shù)值甚至相差較大。例如，表1是對UNSODA中第2361＃黏土采用FX2模型進行擬合的結(jié)果，各種擬合方法的擬合參數(shù)初值相同。表1中R2是決定系數(shù)，其表達式為：

式中：θi及分別為第i個數(shù)據(jù)的實測值及預(yù)測值，為n個數(shù)據(jù)的平均值。

表1 UNSODA中2361＃黏土的SWCC擬合參數(shù)值（FX2）

由表1可見，3種擬合方法所得的擬合參數(shù)有一定差別，尤其是a值相差較大。但是，各種擬合方法的決定系數(shù)都大于0.99，這表明這3種擬合方法的效果都很好。圖1為各種擬合方法所得的SWCC擬合曲線，可見，這3種擬合方法所得的SWCC擬合曲線幾乎相同。因此，對于同一組吸力－體積含水率數(shù)據(jù)及同一種曲線擬合模型，采用不同的擬合方法可以得到不同的擬合參數(shù)值，但是它們都能較好地擬合原有數(shù)據(jù)。

圖1 UNSODA中第2361＃黏土的SWCC（FX2）

2）擬合模型對SWCC參數(shù)的影響

大量數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果表明：擬合方法一定時，各種擬合模型所得的SWCC曲線參數(shù)亦有一定差異。圖2是對UNSODA中第2361＃黏土采用Nlinfit進行擬合的結(jié)果。由圖2（a）可知：FX1、FX2與FX3的差別主要在于高吸力部分。對于低吸力部分，它們的SWCC擬合曲線十分接近。由圖2（b）可知，對于VG系列模型亦有此規(guī)律。

圖2 UNSODA中第2361＃黏土的SWCC（Nlinfit）

圖2（c）將FX2、FX3、VG2及 VG3的擬合曲線置于同一圖形。盡管這4種模型的擬合參數(shù)有所不同，但由圖2（c）可見，在低吸力部分，這4種模型的SWCC卻十分接近；在高吸力部分，F(xiàn)X2與VG2的SWCC接近，F(xiàn)X3與VG3的SWCC幾乎相同。

由于FX1及VG1都是4參數(shù)模型（參數(shù)：a、n、m、θr），而其它4個模型都是3參數(shù)模型（參數(shù)：a、n、m），因此，對于相同數(shù)目的試驗數(shù)據(jù)點，F(xiàn)X1及VG1對應(yīng)的擬合效果相對較差，有時會出現(xiàn)殘余含水率為負的不合理現(xiàn)象。后續(xù)分析只對FX2、FX3、VG2及VG3模型進行研究。

2.2.2 SWCC參數(shù)的統(tǒng)計分析 為了研究SWCC曲線擬合參數(shù)的概率分布特征，基于上述研究，分別對采用FX2、FX3、VG2、VG3模型及3種擬合方法得到的參數(shù)a、n、m進行統(tǒng)計分析，求解UNSODA黏土、UNSODA砂土、廣西膨脹土及合肥膨脹土的SWCC擬合參數(shù)的均值、均方差、變異系數(shù)、分布類型及參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)。在進行參數(shù)的統(tǒng)計分析時，根據(jù)3倍均方差的原則進行異常數(shù)據(jù)的剔除。統(tǒng)計結(jié)果表明：UNSODA黏土及砂土的SWCC擬合參數(shù)滿足對數(shù)正態(tài)分布；廣西膨脹土及合肥膨脹土由于參與統(tǒng)計的數(shù)據(jù)組數(shù)偏少，未對其統(tǒng)計參數(shù)的概率分布類型。4種土的SWCC擬合參數(shù)均值統(tǒng)計結(jié)果見圖3。

圖3 SWCC擬合參數(shù)的均值

圖3中，左、中、右圖形分別代表參數(shù)a、n、m的統(tǒng)計結(jié)果；橫坐標(biāo)的數(shù)字1～4分別代表FX2、FX3、VG2及VG3模型；縱坐標(biāo)代表參數(shù)a、n、m的均值，a的單位是kPa。

由圖3可知：對于同一種土，SWCC擬合方法及擬合模型不同時，擬合參數(shù)值不同。但是，從統(tǒng)計意義上看，參數(shù)a、n、m的均值受擬合方法的影響不大，而受擬合模型的影響較大，即：擬合模型相同但擬合方法不同時，參數(shù)a、n、m的均值有一定變化，但相對變化量較小；擬合方法相同但擬合模型不同時，參數(shù)a、n、m的均值有較大變化。

對參數(shù)a、n、m的均方差及變異系數(shù)進行數(shù)理統(tǒng)計，亦可得出上述規(guī)律。為簡化起見，文中只列出擬合方法2及模型FX2、VG2對應(yīng)的擬合參數(shù)均值及變異系數(shù)，見表2～5。

表2 UNSODA黏土的擬合參數(shù)（Lsqcurvefit）

表3 UNSODA砂土的擬合參數(shù)（Lsqcurvefit）

表4 廣西膨脹土的擬合參數(shù)（Lsqcurvefit）

表5 合肥膨脹土的擬合參數(shù)（Lsqcurvefit）

以上述4種土的SWCC擬合均值為參數(shù)，可以繪制各種土的SWCC擬合曲線。例如，F(xiàn)X2模型的SWCC曲線如圖4所示。由該圖知：UNSODA黏土、廣西膨脹土及合肥膨脹土的SWCC曲線形狀較為一致，因為它們同屬于黏土；相對于UNSODA砂土而言，它們的曲線相對平緩，曲線拐點不明顯；而UNSODA砂土的SWCC曲線之斜率相對較大，曲線拐點相對較為明顯。這種現(xiàn)象可結(jié)合表6進行解釋。表6是對表2～5中FX2模型進行匯總得到的，它將UNSODA黏土、廣西膨脹土及合肥膨脹土匯總為黏土，并統(tǒng)計了其擬合參數(shù)均值及變異系數(shù)的變化范圍。由表6可見，對于均值而言，黏土的a值遠大于砂土的a值，但黏土的n及m值卻分別小于砂土的相應(yīng)值；但對于變異系數(shù)而言，黏土與砂土的變異系數(shù)大小無明顯區(qū)別。對表2～5中VG2模型進行統(tǒng)計，亦可同到類似的結(jié)論。

圖4 SWCC擬合曲線（FX2模型，Lsqcurvefit）

表6 黏土及砂土擬合參數(shù)對比分析（Lsqcurvefit）

2.2.3 SWCC參數(shù)的敏感性分析

為研究SWCC參數(shù)a、n、m對體積含水率θ的影響程度，判斷各參數(shù)的相對影響，需要進行參數(shù)的敏感性分析。

參數(shù)的敏感性可以用因變量對自變量的導(dǎo)數(shù)來表示。在進行敏感性分析時，SWCC擬合參數(shù)為基本變量，飽和體積含水率為定值。為消除飽和體積含水率的影響，此處以歸一化的體積含水率θn為研究對象進行參數(shù)的敏感性分析。

對于FX2模型，由式（1）可以推導(dǎo)出θn對3個擬合參數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式如下：

對于VG2模型，由式（5）可求得θn對3個擬合參數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為：

對于FX3及VG3模型，只需將式（9）～（14）分別乘以修正函數(shù)C（ψ），即可得到其對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)求解公式。

為了消除變量單位的影響，文［14］定義了無量綱化的敏感因子。對于系統(tǒng)特性P（X），X＝（X1，X2，…，Xn），敏感性因子的計算公式為：

式中：x＊＝ （x1，x2，…，xn）＊為變量X的基準值。

當(dāng)變量間具有相關(guān)性時，文［15］定義了可靠指標(biāo)對參數(shù)均值的相對敏感性計算公式。借鑒這種方法，定義體積含水率對各參數(shù)的相對敏感性為：

以FX2模型及UNSODA黏土為例，歸一化體積含水率θn對3個變量的相對敏感性見圖5。其中，圖5（a）是假設(shè)變量間不相關(guān)時的敏感性曲線，圖5（b）是根據(jù)參數(shù)a、n、m的統(tǒng)計結(jié)果（參數(shù)a與n、a與m、n與m間的相關(guān)系數(shù)分別為（0.36、0.48、0.33）計算而得的敏感性曲線，它考慮了參數(shù)間的相關(guān)性。由圖5可見，對于UNSODA黏土，在工程常見的吸力范圍內(nèi)，θn對參數(shù)a的敏感性很小，對參數(shù)n、m的變化較為敏感；隨著吸力的增加，θn對參數(shù)n的敏感性逐漸減小，敏感性數(shù)值由正轉(zhuǎn)負；θn對參數(shù)m的敏感性數(shù)值為負值，其絕對值在60kPa左右達到最大值；參數(shù)間的相關(guān)性對參數(shù)a的敏感性有較大影響，但對參數(shù)n及m的敏感性影響不大。

圖5 歸一化體積含水率對SWCC參數(shù)的敏感性（UNSODA黏土）

3 結(jié) 論

以Fredlund－Xing模型的3種型式（FX1、FX2、FX3）及van Genuchten模型的3種型式（VG1、VG2、VG3）為SWCC曲線的擬合模型，以科學(xué)計算語言 Matlab中的3種函數(shù)（Nlinfit、Lsqcurvefit、Fminsearch）為擬合方法，對UNSODA數(shù)據(jù)庫中的黏土與砂土、廣西膨脹土及合肥膨脹土的大量基質(zhì)吸力－體積含水率數(shù)據(jù)進行了曲線擬合，得到了這4類土的擬合參數(shù)均值、均方差、變異系數(shù)、分布類型及參數(shù)間的相關(guān)系數(shù)；求得了這4種土的典型SWCC曲線；提出了歸一化體積含水率對SWCC曲線參數(shù)的相對敏感性計算公式，進行了參數(shù)的敏感性分析。這些研究成果為非飽和土工程的可靠度分析提供了必要的研究基礎(chǔ)。

計算結(jié)果表明：

1）擬合方法對SWCC擬合參數(shù)有一定影響，不同的擬合方法可以得到不同的擬合結(jié)果；但從統(tǒng)計意義而言，大量擬合參數(shù)的均值、均方差及變異系數(shù)受擬合方法的影響不明顯。

2）擬合模型對SWCC擬合參數(shù)影響較大，采用不同的擬合模型可以得到不同的擬合參數(shù)。對于相同數(shù)目的數(shù)據(jù)點，F(xiàn)X2、FX3、VG2、VG3的擬合效果優(yōu)于FX1及VG1；FX2、FX3、VG2與VG3在低吸力部分的SWCC曲線一致；在高吸力部分，F(xiàn)X2與VG2的SWCC接近，F(xiàn)X3與VG3的SWCC接近。

3）UNSODA黏土、廣西膨脹土及合肥膨脹土同屬于黏土，其SWCC曲線形狀較為一致，它們的a值一般較大，n值相對較小，曲線拐點不明顯，曲線中部的斜率較小。UNSODA砂土的a值較小，n值較大，曲線拐點較為明顯，曲線的斜率相對較大。

4）敏感性分析結(jié)果表明：參數(shù)a對歸一化體積含水率θn的影響程度較小，θn對參數(shù)a的變化不敏感，而對參數(shù)n及m的變化則較為敏感。

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