張煒 袁駔 葉燕清 賈祥 戴琪瑋

（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)信息系統(tǒng)與管理學(xué)院 湖南長沙 410072）

中國體育健兒在各類賽事中積極拼搏，為國爭光。作為運(yùn)動(dòng)隊(duì)的管理者，在日常訓(xùn)練中可以統(tǒng)計(jì)各位運(yùn)動(dòng)員的訓(xùn)練成績，得到運(yùn)動(dòng)員的成績分布律。在參加特定比賽時(shí)，如何組建具體的最優(yōu)參賽陣容，尤為重要。對(duì)這一問題，王磊建立規(guī)劃模型，并通過仿真來估計(jì)奪冠概率；唐建國將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)規(guī)劃來求解；劉萍等建立兩級(jí)目標(biāo)函數(shù)，加權(quán)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃模型進(jìn)行分析；杜欣等首先確定最優(yōu)目標(biāo)，然后尋找?guī)追N評(píng)定條件，進(jìn)行優(yōu)先排序，再根據(jù)排序后的約束條件進(jìn)行篩選，最終得出最佳陣容；張雨等利用整數(shù)規(guī)劃求解問題，并且利用隨機(jī)模擬取值的辦法，估計(jì)奪冠的把握。在問題的建模和求解分析上，這些研究都很成熟，但是都缺乏對(duì)所選方法合理性的分析。本文將充分討論這個(gè)問題的各種解法，確定合適的策略和模型。

1 問題描述

現(xiàn)假設(shè)某屆世界體操錦標(biāo)賽團(tuán)體決賽有個(gè)項(xiàng)目（例高低杠項(xiàng)目）組成，共有支隊(duì)伍參賽。每個(gè)隊(duì)至多有名運(yùn)動(dòng)員可以報(bào)名，每一個(gè)項(xiàng)目可以有名選手參加，取這名運(yùn)動(dòng)員的成績作為該隊(duì)在該項(xiàng)目上的有效得分。每個(gè)代表隊(duì)的總分是所有參賽選手所得有效分之和，總分最高的代表隊(duì)為優(yōu)勝者[6]。某支代表隊(duì)的各個(gè)隊(duì)員在各個(gè)項(xiàng)目上的得分分布律已知，那么該如何組合最優(yōu)陣容。

假設(shè)運(yùn)動(dòng)員出場順序不影響團(tuán)隊(duì)的比賽成績。每個(gè)運(yùn)動(dòng)員可以參加任意一項(xiàng)比賽項(xiàng)目，并且參加項(xiàng)目數(shù)量不受限制。比賽時(shí)所有運(yùn)動(dòng)員都可以正常參賽，不受疾病、心理等因素影響。

對(duì)決策問題，可以依據(jù)期望策略，最樂觀策略，最悲觀策略等準(zhǔn)則。本文認(rèn)為，利用最悲觀策略組建陣容去參加比賽和沖擊冠軍，過于保守，是不合適的。因而選取期望準(zhǔn)則和最樂觀準(zhǔn)則兩種策略。

這個(gè)問題的目標(biāo)應(yīng)是陣容參賽的得分最高。假設(shè)所有運(yùn)動(dòng)員參賽項(xiàng)目不受限制，當(dāng)參賽隊(duì)伍在各個(gè)項(xiàng)目上獲得的有效分最高時(shí)，該陣容總分最高，那么確定最優(yōu)陣容就轉(zhuǎn)化成在特定策略下，確定各個(gè)項(xiàng)目得分最高的組合，進(jìn)而得到最優(yōu)陣容。

設(shè)參加某個(gè)項(xiàng)目的陣容中有參賽隊(duì)員 i(i=1,…,n)，該隊(duì)員的分布律記為，則該參賽隊(duì)員的期望得分，最樂觀策略下得分表示 k個(gè)實(shí)數(shù) lu相加、相乘。

2 模型

對(duì)這個(gè)問題的分析，有兩種方法。本文將對(duì)同一個(gè)問題，分別運(yùn)用這兩種方法解決。事實(shí)上，這兩種方法是等效的，最后將給出證明。

2.1 總體分布律法

最直接也最嚴(yán)密的思路是根據(jù) m選 n的原則，排列組合出參賽隊(duì)伍在各個(gè)比賽項(xiàng)目上的陣容（在一個(gè)項(xiàng)目上共有種組合），根據(jù)各個(gè)選手的得分分布律，可計(jì)算出該套陣容在該項(xiàng)目上的有效分分布律。根據(jù)分布律，利用兩套準(zhǔn)則，只需在各個(gè)項(xiàng)目上分別比較套陣容的 E和 M，選擇最大值，對(duì)應(yīng)在該項(xiàng)目上的理想組合，綜合即得最優(yōu)陣容。模型如下：

選擇隊(duì)員 i1,…,in組成一套陣容參加某個(gè)項(xiàng)目的比賽，則這套陣容的總體有效分分布律為

在期望策略下有：

在最樂觀策略下有：

具體操作步驟如下：

步驟1：從全部運(yùn)動(dòng)員中不重復(fù)地選擇n個(gè)運(yùn)動(dòng)員。

步驟2：針對(duì)某個(gè)項(xiàng)目，依次從n個(gè)運(yùn)動(dòng)員得分分布律中選擇一個(gè)得分和對(duì)應(yīng)概率，計(jì)算總體分布律的其中一項(xiàng)

步驟3：計(jì)算各個(gè)總體分布律的有效分期望值和最大值。

步驟4：所有分布律中有效分期望或最大值最大的陣容，即為該隊(duì)在該項(xiàng)目上的最佳陣容。

2.2 個(gè)人分布律解法

按總體分布律解法計(jì)算，是通過對(duì)陣容總體分布律進(jìn)行相關(guān)計(jì)算得到結(jié)果。雖然思路清晰直接，但是計(jì)算量過于龐大。若換種角度來處理，可首先根據(jù)個(gè)人得分分布律，計(jì)算各運(yùn)動(dòng)員在各個(gè)項(xiàng)目中的期望得分、最高得分，再根據(jù)這些得分，去確定各個(gè)策略下，有效分最高的陣容。參賽隊(duì)員i的期望有效分記為 Ei，最高有效分記為 Mi。

表1 運(yùn)動(dòng)員1、2、3組成的陣容參加自由體操的有效分總體分布律

表2 運(yùn)動(dòng)員1、2、3的個(gè)人分布律及該陣容的期望分和最高分

操作步驟如下：

步驟1：針對(duì)某個(gè)項(xiàng)目，依次利用個(gè)人分布律，計(jì)算各名運(yùn)動(dòng)員的有效分期望值和最大值。

步驟2：從全部運(yùn)動(dòng)員中不重復(fù)地選擇n個(gè)運(yùn)動(dòng)員。

步驟3：計(jì)算各個(gè)組合陣容下的期望總分值和最大總分值。

步驟4：所有組合中有效分期望或最大值最大的陣容，即為該隊(duì)在該參賽項(xiàng)目上的最佳陣容。

3 結(jié)果與討論

某項(xiàng)體操比賽中，每個(gè)項(xiàng)目允許有3名運(yùn)動(dòng)員上場比賽，選取其中這3名運(yùn)動(dòng)員的成績作為該隊(duì)在這個(gè)項(xiàng)目的參賽成績。以運(yùn)動(dòng)員1、2、3組成的陣容參加自由體操為例，編寫程序計(jì)算得到總的分布律（表1）。得到27.96、29.6分。仍以運(yùn)動(dòng)員2、3、4組成的陣容參加自由體操為例，運(yùn)用個(gè)人分布律法計(jì)算，得到相關(guān)數(shù)據(jù)見表2。

4 等效性的證明

兩種方法的計(jì)算結(jié)果相同。事實(shí)上兩種方法是等效的，顯然后者將更簡便。證明如下：

記在特定參賽項(xiàng)目上，某陣容的總體分布律期望為 E、最高分為 M。

先證明在最樂觀策略下：

再證明在均值策略下：

同理

則得結(jié)論

證明完畢。

既然兩種方法是等效的，而由后者計(jì)算可以大大簡化計(jì)算量，尤其是運(yùn)動(dòng)員分布律比較復(fù)雜時(shí)，更有必要利用后者來求解問題。且由證明過程可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于陣容的選取，選取每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的策略可以任意組合。例如，選取某套陣容時(shí)，運(yùn)動(dòng)員依據(jù)均值策略，根據(jù)最樂觀策略。

5 結(jié)語

本文對(duì)已有平時(shí)訓(xùn)練成績的運(yùn)動(dòng)員組合參賽問題進(jìn)行了探析。鑒于該問題，已有很多學(xué)者進(jìn)行研究，模型的建立和方法都很成熟，所以本文并沒有重點(diǎn)討論如何建立模型和如何求解，而是解決了眾多文章中沒有討論所選方法合理性的問題，通過多個(gè)角度的方法解析和等效性證明，既明確了簡便算法，也可以證明眾多參考文獻(xiàn)中模型求解算法的正確性。