蔣慶斌 ，錢金法 ，曹德健，趙 力*

(1.常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州 213012;2.東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096)

在實(shí)際電網(wǎng)運(yùn)行中，電力信號不可能是理想的正弦信號，可能含有多次諧波，而諧波的分析關(guān)系到繼電保護(hù)器能否準(zhǔn)確動作，比如，電網(wǎng)中的三次和五次諧波會對零序電流、零序電壓產(chǎn)生影響，在某些情況下，這種影響可能導(dǎo)致一些保護(hù)(包括單相接地選線保護(hù))誤動作。此外，諧波分析中，需要對信號進(jìn)行頻譜校正，通過頻譜校正算法可以知道實(shí)際運(yùn)行中的信號的基波頻率，從而可以用來作為低周減裁保護(hù)的判斷依據(jù)。

我們知道，任何周期信號都可以分解為含有基波頻率和一系列為基波頻率倍數(shù)的諧波的正弦波分量。諧波也是正弦波，且每個(gè)諧波也有各自的幅度、頻率和相位。采用傅里葉級數(shù)對非正弦周期信號進(jìn)行分析是諧波分析的最基本的方法。在實(shí)際運(yùn)用中，我們處理的一般都是經(jīng)過模數(shù)轉(zhuǎn)換后的信號數(shù)據(jù)，所以合理的分析方法是使用離散傅里葉變換(DFT)以及快速傅里葉變換(FFT)，目前使用比較多的有三種方法:Rifi 頻譜估計(jì)法［1］、相位差法頻率估計(jì)法［2］、FFT+DFT 譜連續(xù)細(xì)化分析法［3］。其中相位差法頻率估計(jì)法又有兩種不同的方法:通用相位差校正法和分段DFT 相位差校正法。然而對于繼電保護(hù)器來說，想實(shí)現(xiàn)譜細(xì)化分析比較困難，一般的繼電保護(hù)器都是采用一個(gè)固定的采樣頻率，而采用相位差法頻率估計(jì)的計(jì)算量比較可觀，所以本文所設(shè)計(jì)的繼電保護(hù)器采用Rifi 頻譜估計(jì)來進(jìn)行諧波分析。

1 諧波分析的基本原理

“諧波”一詞起源于聲學(xué)［4］，在信號處理方面有著廣泛的應(yīng)用。根據(jù)法國數(shù)學(xué)家傅里葉分析證明，任何周期信號都可以分解為含有基波頻率和一系列為基波頻率倍數(shù)的諧波的正弦波分量。諧波也是正弦波，且每個(gè)諧波也有各自的幅度、頻率和相位。采用傅里葉級數(shù)對非正弦周期信號進(jìn)行分析是諧波分析的最基本的方法。在實(shí)際運(yùn)用中，我們處理的一般都是經(jīng)過模數(shù)轉(zhuǎn)換后的信號數(shù)據(jù)，所以合理的分析方法是使用離散傅里葉變換(DFT)以及快速傅里葉變換(FFT)。

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，我們不可能對無限長的連續(xù)信號進(jìn)行分析，這肯定不符合工業(yè)設(shè)計(jì)中實(shí)時(shí)性的要求。我們在對信號采樣后，截取一段數(shù)字信號來進(jìn)行分析。在這一過程中，會產(chǎn)生誤差或錯(cuò)誤。比如波形的離散采樣會帶來混疊問題，波形截?cái)鄷a(chǎn)生泄漏問題，不同步采樣會帶來柵欄效應(yīng)。

當(dāng)信號頻率不是FFT 的頻率分辨率Δf 的整數(shù)倍時(shí)，由于FFT 的“柵欄”效應(yīng)引起頻譜泄漏，此時(shí)信號的實(shí)際頻率位于FFT 主瓣內(nèi)兩條最大譜線之間，可以借助第二譜線與最大譜線的幅度比值來估計(jì)信號的實(shí)際頻率在兩條譜線之間的位置，即基于FFT 幅度比值的頻率插值方法，稱為Rife 頻率估計(jì)方法［2］。

在Rife 幅值比值法中，對信號進(jìn)行截?cái)嗵幚?，相?dāng)于給信號加一矩形窗。矩形窗由于其旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣，可能導(dǎo)致變換中帶進(jìn)了高頻干擾和泄漏，甚至出現(xiàn)負(fù)譜現(xiàn)象［5］，選擇一個(gè)合適的窗能夠有效地抑制譜泄漏提高精度。余弦窗的旁瓣顯著減少，能夠有效地減少頻譜泄漏。故在實(shí)際運(yùn)用中，余弦窗得到了廣泛的應(yīng)用。下面就加窗后的信號進(jìn)行具體的校正分析。

設(shè)信號為單一頻率正弦信號

對x(t)進(jìn)行等間隔Δt=T/N 采樣，得到長度為N 的序列

加一個(gè)任意窗w(n)后進(jìn)行離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)得到其連續(xù)頻譜

設(shè)w(n)的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)為W(f)，做歸一化處理后式(3)等價(jià)于

而f=kΔf，k 表示頻譜離散后的第幾根譜線，代入得到

當(dāng)信號非同步采樣時(shí)，峰值頻率f0=k0Δf 不處于離散譜線上，有窗函數(shù)的譜線的對稱性可以得到主瓣內(nèi)譜線幅度最大的兩條譜線k1和k2位于k0的鄰近，且|k1－k2|=1。則信號DFT 后在k1和k2點(diǎn)對應(yīng)的幅度分別為

將兩式相比可得

上式中只有f0是未知數(shù)，可以利用數(shù)值方法得到近似解。

2 余弦窗下的幅值比較法

(1)加漢寧窗后的頻譜校正分析如上描述，漢寧窗的頻域表達(dá)式為

對頻域在0～2π 內(nèi)進(jìn)行N 的采樣，可以得到

其中WR(k)為

則

仍然對單一頻率信號進(jìn)行分析，

由上一節(jié)所分析的加窗后的幅值比較法得到

(2)加海明窗后的頻譜校正分析海明窗頻域采樣后的表達(dá)式為

則

根據(jù)數(shù)值方法可以得到δ值，即可求得校正后的頻譜。

(3)加布萊克曼窗后的頻譜校正分析

布萊克曼窗頻域采樣后表達(dá)式為

代入式(8)則有

同樣可以根據(jù)數(shù)值方法可以得到δ值，即可以得到校正后的頻譜。幅度校正為

3 幅值比較應(yīng)用在繼電保護(hù)器中的改進(jìn)

由上分析，普通的幅值比較法是通過最大譜線和次大譜線的比值進(jìn)行校正的，統(tǒng)稱為雙譜線插值法。通過計(jì)算機(jī)的模擬，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)信號頻率處于最大譜線和次大譜線中心區(qū)域是算法精度非常高，均方根誤差接近克拉美－羅下限，然而當(dāng)信號頻率位于最大譜線或者次大譜線附近時(shí)，算法的精度下降。在電力系統(tǒng)中，信號的基波頻率在50 Hz 附近，且我們知道一般情況下信號的最大譜線位于50 Hz，所以為了克服這種誤差，根據(jù)幅值比較法的思想，選擇三條譜線來做幅值比較的分析，稱為三譜線插值法。

(1)矩形窗下的校正分析

令δ=k1－k0，代入式(24)得

(2)漢寧窗下的校正分析

按照矩形窗下的分析方法，同樣應(yīng)用在漢寧窗下可以得到

4 仿真分析

在實(shí)際電力系統(tǒng)中，電力信號的基波頻率f 在45 Hz～55 Hz 之間變動，在本設(shè)計(jì)中，采樣頻率fs為1 600 Hz，受限于DSP 芯片的處理速度，通常情況下，取64個(gè)點(diǎn)來做FFT。我們知道，電力信號中含有很多諧波分量，所以我們模擬出離散電力信號表達(dá)式為

通過實(shí)際的測量，模擬了其中的參數(shù)，如表1所示。

首先，我們在基波頻率處進(jìn)行了校正，圖1中圖1(a)表示了不采取任何插值手段時(shí)，信號的誤差，最大誤差達(dá)到了6%左右;圖1(b)表示了當(dāng)信號加了矩形窗的Rifi 法插值后的幅度誤差，可以看出誤差依然很大，最大誤差達(dá)到3.8%;圖1(c)表示了信號加了漢寧窗后的幅值比較法的幅度誤差;圖1(d)表示了信號采用本文改進(jìn)的加了漢寧窗后的幅值比較法的幅度誤差。

表1 電力信號諧波分量

圖1 4種校正的幅度誤差曲線

5 結(jié)論

從圖2 中可以看出，本文改進(jìn)的加漢寧窗的幅度比值法針對電力系統(tǒng)中信號來說，誤差最小，達(dá)到了繼電保護(hù)器的諧波參數(shù)測量的要求，能夠做到比較準(zhǔn)確的判斷。且我們可以看出三譜線幅值比較法與基本的RIFI 校正計(jì)算復(fù)雜度差不多。我們在繼電保護(hù)器中進(jìn)行測試，發(fā)現(xiàn)，三譜線幅值比較法完全滿足實(shí)時(shí)性的要求，是一種能夠快速進(jìn)行諧波分析的方法。

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